“嘗試錯誤”法在高職數(shù)學教學中的應(yīng)用

莫照發(fā)

一、引言

高職院校高等數(shù)學教學工作面臨授課學時少、教學內(nèi)容多、生源質(zhì)量下降等事實。以筆者所承擔的學院電子類專業(yè)高職數(shù)學課程教學為例，高職數(shù)學學時數(shù)僅為每周2節(jié)，加之新生軍訓、國慶、中秋放假還要沖掉部分學時，余下學習時間已不足30學時。加之學生的數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，數(shù)學相對于專業(yè)其他課程又比較難學，學生對數(shù)學學習有“怕學、怕錯”的畏難情結(jié)。在筆者所教授的兩個班級總共130人的問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，“對數(shù)學學習感興趣”的學生只有25人，所占比例不到20%，而“對數(shù)學學習不感興趣”的卻有87人，占比約為67%，其他18人經(jīng)過訪談發(fā)現(xiàn)，他們對高等數(shù)學的學習談不上“感興趣”，也談不上“討厭”，一副“無所謂”的態(tài)度。對高等數(shù)學不感興趣的學生當中許多人甚至有“害怕上數(shù)學課”的學習心理，“恐高癥”因此成為當前高職數(shù)學課堂教學面臨的巨大困境。

在當前高職課堂教學中，“滿堂灌”的教學現(xiàn)象比較普遍，教學模式比較單一，這種現(xiàn)象對培養(yǎng)具有較強技術(shù)應(yīng)用能力的高職人才十分不利。傳統(tǒng)的高職數(shù)學課堂教學大多依賴于“講授經(jīng)典例子+模仿例題式配套練習+課后作業(yè)鞏固”的教學模式，基本上是以教師為中心實施教學的范式，學生學習的積極性和主動性不高，教學質(zhì)量難如人意。怎樣利用較少的授課時間來獲得較好的教學質(zhì)量，是廣大高等數(shù)學教學工作者應(yīng)思考的問題。

改革舊有的教學觀念和教學方法迫在眉睫?；厥捉F(xiàn)代各種教學模式流派，桑代克的“嘗試錯誤”教學理念曾經(jīng)一度被冠以行為主義的教學立場而令諸多一線教師諱莫如深，經(jīng)筆者仔細考量，發(fā)現(xiàn)其仍不失為適合于當前高職數(shù)學教育教學現(xiàn)狀的一味良方。

二、“嘗試錯誤”教學法的理論基礎(chǔ)及現(xiàn)實意義

錯誤是學生在學習過程不可避免的現(xiàn)象，在數(shù)學教學中企圖讓學生完全避免錯誤是不可能的，也是沒有必要的。正如哲學家波普爾所說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試錯方法。”美國心理學家桑代克（Thomdike，1874-1949）的“刺激——反應(yīng)”學說就是一種以“嘗試錯誤”為主要特色的教學理念。桑代克以“餓貓迷籠”做實驗，提出學習不是建立觀念之間的聯(lián)結(jié)，而是建立刺激——反應(yīng)（S-—R）之間的聯(lián)結(jié)，即在一定的刺激情境與某種正確反應(yīng)之間形成聯(lián)結(jié)，其中不需要觀念或思維的參與。桑代克的研究觀點認為學習的聯(lián)結(jié)過程是通過不斷的修正錯誤來建立的，即在不斷重復的嘗試中，錯誤的反應(yīng)逐漸被摒棄，正確的反應(yīng)則不斷得到加強，最后形成了固定的“刺激——反應(yīng)”聯(lián)結(jié)。拋開桑代克“認知無需觀念或思維參與”的不合理成分，結(jié)合現(xiàn)今高職數(shù)學教學的困境及學生的特點，我們認為可以將高等數(shù)學的學習過程視為學生積極主動嘗試錯誤的過程，教學則是一個不斷矯正學生錯誤以達到正確認知的過程。聯(lián)臺國教科文組織第十九次國民教育國際會議資料中指出：“應(yīng)當研究學生所犯錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學生思維規(guī)律的手段?！睂τ趯W生出現(xiàn)的錯誤，要采用積極的態(tài)度，正如蘇霍姆林斯基所說：“任何一種教育現(xiàn)象，孩子在越少感到教育者的意圖時，它的教育效果就越大，我們把這條規(guī)律看成是教育技巧核心。”

在現(xiàn)今高職數(shù)學教學面臨諸多困境的現(xiàn)實背景下，嘗試錯誤教學模式是切實可靠的。因為，從教學對象分析，學生基礎(chǔ)不好的前提下，運用發(fā)現(xiàn)、探究等認知心理學教學模式勢必遇到很大的困難；從教師角度分析，嘗試錯誤教學模式簡單易行，便于開展教學和掌控課堂；從學習的內(nèi)在心理機制分析，嘗試錯誤模式允許學生犯錯并最終通過錯誤來習得正確的解題思想方法，更利于培養(yǎng)學生的數(shù)學學習信念。

三、高職數(shù)學課堂“嘗試錯誤”教學四步曲

根據(jù)行為主義心理學教學理論，學習即“刺激——反應(yīng)”之間聯(lián)結(jié)的加強，教學的藝術(shù)關(guān)鍵在于如何安排強化。據(jù)此，我們提煉出“嘗試錯誤”教學法的四個教學步驟：

1.試誤。通過精心備課，通曉學生的錯誤心理，順勢而為，因勢利導，故意把學生引向錯誤的解題方向，屬于嘗試錯誤的過程。

2.析誤。通過回顧解題過程，幫助學生發(fā)現(xiàn)錯在哪里，總結(jié)產(chǎn)生錯誤的原因，屬于一個醒悟、知錯的過程。

3.糾誤。幫助學生找到改正錯誤的辦法，正確解決數(shù)學問題，屬于改正錯誤的過程。

4.思誤。對錯誤進行反思自省的過程，包含豐富的元認知策略，能夠幫助學生今后減少錯誤現(xiàn)象，少走彎路，更快更準地找到正確的解題方法。

隨著各高職院校專業(yè)及課程改革不斷深化，高職數(shù)學課程已經(jīng)逐步被壓縮為以微積分初步為核心內(nèi)容的教學構(gòu)架。本文擬從“極限”“導數(shù)”“積分”等微積分數(shù)學知識中各選一例以說明“嘗試錯誤”教學法及其應(yīng)用。

例1：求未定式極限limn→0x2·sin1xsinx

試誤：由于它是一個未定式，若根據(jù)洛必達法則則有：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→02x·sin1x+x2·cos1x·-1x2cosx=limx→02x·sin1x-cos1xcosx

此時學生發(fā)現(xiàn)題目已經(jīng)做不下去。

析誤：教師即時幫助學生分析錯誤的原因是limx→0cos1x不存在，既然不存在當然就不符合洛必達定理的條件了，即不能運用洛必達法則來解決它。

糾誤：可運用第一個重要極限及無窮小相關(guān)知識解決：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→0xsinx·xsin1x=limx→0 xsin1x=0

反思：洛必達法則的其中一個重要前提是在變形過程中，limx→0f ′（x）g′（x）必須存在，否則將導致計算錯誤。為了幫助學生在計算極限時養(yǎng)成靈活的解題策略，例如計算limx→+∞1+x2x時，引導學生兩次運用洛必達法則，發(fā)現(xiàn)式子又還原為原來的問題，形成了“惡性循環(huán)”。讓學生明白洛必達法則也不是“包治百病”的“靈丹妙藥”，有時候也可能會“失靈”。事實上，本題的求解通過一個簡單的恒等變形即可求出：

limx→+∞1+x2x=limx→+∞1+1x2=1

例2：求復合函數(shù)y=sin2x的導數(shù)

試誤：y′=（sin2x）′=（sinu）′=cosu=cos2x其中令u=2x。

析誤：為了讓學生更簡單的發(fā)現(xiàn)錯誤，我們可以利用三角恒等變形幫助學生分析。

（sin2x）′=（2sinx·cosx）′=2[（sinx）′·cosx+（cosx）′·sinx]=2（cos2x-sin2x）=2cos2x。此時，大部分學生都知曉原先結(jié)論的錯誤，但對原因不甚明了。這時還要從復合函數(shù)的概念著手分析，由于y=f（u），而u=φ（x），因此復合函數(shù)y=f（φ（x））求導過程中會遇到兩個變量u和x。題目要求解的問題是y′=yx即y對x的導數(shù)，而不是y對u的導數(shù)y′u。所以錯誤的原因是“只對u求了導數(shù)而沒有對x求導數(shù)”。

糾誤：引導學生運用復合函數(shù)求導的鏈式法則dydx=dydu·dudx進行正確求解。

思誤：復合函數(shù)求導時，由于是對“x”求導而不是對“u”求導，一定要求導到自變量x方可。為此，必須運用鏈式法則進行計算。在幫助學生總結(jié)鏈式法則規(guī)律時，筆者用“剝洋蔥”和“送快遞”兩個形象的比方幫助學生理解求導法則，即必須遵循“逐層求導”的原理。

例3：求解x·sinxdx

試誤：相當一部分學生還感覺困難和不敢下手時，筆者動員學生大膽嘗試，故意引導學生將U視為sinx，即

x·sinxdx=UV-VdU=sinx·x22-x22d（sinx）=sinx·x22-12x2·cosxdx

析誤：這時筆者“警示”學生，在積分運算中，通過變形以后，被積函數(shù)的次數(shù)不降反升（從1變到2），往往是一種“不祥預感”。此時，絕大部分學生經(jīng)過暗示后，基本上都明白了錯誤的原因在于誤將U視為sinx所致。但是依舊有少部分學生半信半疑，筆者繼續(xù)按照上述錯誤思路計算下去，結(jié)果又將次數(shù)升高到了3，而依舊沒有求解成功。此時所有學生才恍然大悟。

糾誤：正確的做法應(yīng)該是將U視為x ，即：

x·sinxdx=UV-VdU=-x·cosx+cosxdx=……

思誤：幫助學生反思得出“選U要選對”的解題經(jīng)驗，提醒學生如果一旦發(fā)現(xiàn)選U以后計算過程“情況不妙”，例如次數(shù)升高或者計算不下去等現(xiàn)象，通常說明選U失敗，必須重新選擇被積函數(shù)中另外那部分的函數(shù)作為U，此技巧美名其曰“回頭是岸”。筆者趁機向?qū)W生滲透情感態(tài)度價值觀教育：人生之中也有偶爾碰壁的時候，但是犯錯誤以后要知道改正和反思，要汲取經(jīng)驗教訓，正所謂“浪子回頭金不換”。在數(shù)學課堂中適時施以人文關(guān)懷，學生頓時興致盎然，改變了部分學生對數(shù)學學習的根本看法。

“嘗試錯誤”法在高職數(shù)學教學中的應(yīng)用

四、結(jié)語

恩格斯說過：“無論從哪方面學習都不如從自己所犯錯誤的后果中學習來得快?！眹L試錯誤法經(jīng)過實踐證明是一種行之有效的高職數(shù)學教學方法，它能夠增強學生學習的積極性和主動性?；诋斍案呗殧?shù)學學時偏少及高職生源質(zhì)量普遍下降等事實，運用“嘗試錯誤法”有助于克服學生害怕數(shù)學、害怕錯誤的學習心理，在嘗試錯誤教學法中適當滲透人文教育、挫折教育、情感教育，有利于培養(yǎng)高職學生數(shù)學學習的興趣和自信心。

[本文系廣東省數(shù)學會高職高專分會2016年教科研課題“高職數(shù)學課程教學模式改革研究與實踐”（項目編號：粵數(shù)分會研[2016]03號）研究成果之一。]

責任編輯何麗華