追尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的自然融入

孫建國

追尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的自然融入

孫建國

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)環(huán)節(jié)。否則，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)就容易顯得突兀。為此，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)基于“三個(gè)理解”，選準(zhǔn)設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)，巧用設(shè)計(jì)留白。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；一體化設(shè)計(jì)；高中數(shù)學(xué)

隨著“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代的到來，圖形計(jì)算器、iPad等手持終端已進(jìn)入校園，基于手持終端的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的作用也越來越得到認(rèn)可。為使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教與學(xué)中真正發(fā)揮好作用，需要對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與教學(xué)進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)，即把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)過程的一個(gè)環(huán)節(jié)來設(shè)計(jì)，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的、時(shí)機(jī)、方法與教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情等相匹配。筆者選取其中一些教學(xué)案例片段，結(jié)合本人的實(shí)踐與思考，談一談數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)教學(xué)一體化設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)體會。

一、基于“三個(gè)理解”，讓實(shí)驗(yàn)與教學(xué)水乳交融

人教社編審章建躍博士曾撰文說過，數(shù)學(xué)教師要做到“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，并強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提。［1］因此，對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)的時(shí)候也應(yīng)該做到“三個(gè)理解”，這樣才能讓學(xué)生“學(xué)會”和“會學(xué)”。

【案例1】簡單線性規(guī)劃問題的解法探究。

在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5第3.3節(jié) “簡單的線性規(guī)劃問題”第1課時(shí)的教學(xué)中，一位教師啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決如下問題：

預(yù)設(shè)的實(shí)驗(yàn)步驟如下：

①利用圖形計(jì)算器畫出上述約束條件表示的平面區(qū)域，如圖1；

圖1

②在平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)M；

③測量點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算z=2x+y的值；

④在平面區(qū)域中（包括邊界）內(nèi)拖動點(diǎn)M，通過觀察z=2x+y的值的變化來找出最大值。

但在教學(xué)過程中的情形如何呢？學(xué)生要么找不到最優(yōu)解，要么找到了卻說不出為什么，課堂陷入了尷尬。

這種設(shè)計(jì)的初衷是引導(dǎo)學(xué)生在圖形計(jì)算器上動手操作，通過反復(fù)地“試誤”和“比較”來找出最優(yōu)解，但偏偏在“三個(gè)理解”上出了問題。首先，從理解數(shù)學(xué)來說，讓學(xué)生在平面區(qū)域內(nèi)用“窮舉法”找出使z值最大的點(diǎn)M的方法不可行，因?yàn)樵撈矫鎱^(qū)域是無窮集，點(diǎn)M的取法不可能窮盡，因而找出最優(yōu)點(diǎn)M只能憑運(yùn)氣；第二，從理解學(xué)生來說，當(dāng)學(xué)生第一次接觸有2個(gè)變量的函數(shù)最值，過去的經(jīng)驗(yàn)完全用不上時(shí)，上述設(shè)計(jì)中教師沒有找準(zhǔn)學(xué)生思維的盲點(diǎn)；第三，從理解教學(xué)來說，教師沒有抓住例題解決過程中的新知運(yùn)用環(huán)節(jié)，沒有為學(xué)生形成解決同類問題的“一般觀念”而鋪設(shè)階梯。

鑒于上述考慮，我覺得可以在一體化設(shè)計(jì)時(shí)刪去上述實(shí)驗(yàn)中的第④步，而改用以下幾個(gè)問題來引導(dǎo)學(xué)生，效果則可能完全不同。

問題1：請?jiān)谄矫鎱^(qū)域內(nèi)找出一個(gè)點(diǎn)，使z=2，并與同學(xué)交流。

問題2：大家所找出的點(diǎn)M有什么共同點(diǎn)？

問題3：平面內(nèi)所有使z=2的點(diǎn)M組成一個(gè)什么圖形？

問題4：用圖形計(jì)算器驗(yàn)證，當(dāng)直線l：2x+y=2向上平移時(shí)，其上每一點(diǎn)對應(yīng)的z=2x+y將如何變化？為什么？

問題5：用圖形計(jì)算器驗(yàn)證，當(dāng)直線l：2x+y=2向下平移時(shí)，其上每一點(diǎn)對應(yīng)的z=2x+y將如何變化？為什么？

上述基于“三個(gè)理解”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與教學(xué)一體化設(shè)計(jì)，可以減少學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的盲目性，有效地喚醒學(xué)生原有的知識、方法和經(jīng)驗(yàn)，并以問題串適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生，使其按照思維階梯一步一步找到解決同類問題的方法步驟，形成所謂的“一般觀念”。

二、選準(zhǔn)切入點(diǎn)，讓實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中流光溢彩

筆者在研究過程中，按實(shí)驗(yàn)的目的差異把高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)性實(shí)驗(yàn)。其中驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)主要指學(xué)生為了驗(yàn)證已知結(jié)論 （公式、定理、法則和猜想等）而進(jìn)行的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；發(fā)現(xiàn)性實(shí)驗(yàn)則是對數(shù)學(xué)結(jié)論的“再發(fā)現(xiàn)”過程，它們都是手腦并用、有意義的思維活動。但一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)卻存在著可有可無、采點(diǎn)不當(dāng)?shù)膯栴}。

【案例2】正整數(shù)平方和公式的“發(fā)現(xiàn)”。

正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)是（蘇教版）高中數(shù)學(xué)選修2-2“推理案例賞析”中所錄的案例之一。它由以下兩部分組成：一是利用歸納推理“發(fā)現(xiàn)”公式，二是利用演繹推理證明公式。下面重點(diǎn)討論公式的發(fā)現(xiàn)過程。

課本案例設(shè)計(jì)的發(fā)現(xiàn)過程如下：

設(shè)S1（n）=1+2+3+…+n，S2（n）=12+22+32+…+n2

先通過列出下表：

n 111 3 2 3 4 5 6…3 6 10 15 21 …5 14 30 55 91 …5791113 S1（n）S2（n）S2（n）S1（n ）333333…

本案例的初衷是讓學(xué)生欣賞綜合運(yùn)用合情推理和演繹推理解決真實(shí)數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力，從這個(gè)意義上來說，在這個(gè)案例中，選擇電子表格呈現(xiàn)對比數(shù)據(jù)使得自然數(shù)平方和公式的發(fā)現(xiàn)非常直觀，這個(gè)點(diǎn)選得不錯，但其實(shí)借助圖形計(jì)算器或電腦軟件，這個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)門檻可以降得更低。

學(xué)生已學(xué)過函數(shù)的概念和一些基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不妨啟發(fā)學(xué)生用另一個(gè)直觀工具——圖象來觀察“和與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系”。學(xué)生可利用圖形計(jì)算器作出（n，S（n））散點(diǎn)圖，并根據(jù)圖象特征合理猜想函數(shù)S（n）的可能類型（如圖 2）。接下來，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與思考。

圖2

教師：根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布特征，你想到了什么函數(shù)圖象？

學(xué)生：半條拋物線。

教師：如果（n，S（n））在一條拋物線上，請求出函數(shù)解析式Sn=f（n），并用計(jì)算器驗(yàn)證其正誤。

學(xué)生：利用前3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法得到：Sn=2.5n2-3.5n+2，但計(jì)算發(fā)現(xiàn)S4=28，與12+22+ 32+42=30不符。

學(xué)生：難道是三次函數(shù)？

教師：請求出這個(gè)三次函數(shù)表達(dá)式，并利用計(jì)算器驗(yàn)證其正誤。

三、巧留設(shè)計(jì)空白，讓實(shí)驗(yàn)激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新

我們常?？吹剑壳罢n堂教學(xué)中的一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有的只是由學(xué)生播放、演示由教師事先制作的課件，有的則是學(xué)生在教師的統(tǒng)一指令下亦步亦趨，這種包辦的做法忽視了學(xué)生的個(gè)體差異，也不能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲。因此在一體化設(shè)計(jì)時(shí)，教師可以注意對實(shí)驗(yàn)的方法與步驟留白，讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)自主構(gòu)思實(shí)驗(yàn)的方法和步驟，以提高學(xué)生借助工具去解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。以下是筆者執(zhí)教“函數(shù)圖象的平移和伸縮變換”一課的案例片段。

【案例3】探究函數(shù)圖象的橫向伸縮變換。

教師：剛才我們研究了函數(shù)圖象的縱向變換規(guī)律，請你通過實(shí)例研究函數(shù)圖象的橫向伸縮變換。

教師：非常好！請大家測量橫向變（窄）寬的比例，然后歸納出一般結(jié)論。

學(xué)生（邊演示邊講）：過函數(shù)y=f（x）圖象上任一點(diǎn)A作y軸的垂線，與函數(shù)y=f（kx）的圖象交于B點(diǎn)，分別測量A、B的坐標(biāo)，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)

教師：很好！根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)，我們可以得出什么一般結(jié)論？

教師：如何證明上述結(jié)論對任何函數(shù)和正數(shù)k成立呢？

教師：很好。還有其他方法嗎？

學(xué)生：像橫向伸縮變換的證明一樣，設(shè)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)。則，故知點(diǎn)在函數(shù)y=f（k·x）圖象上，所以將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)保持不變，即可得點(diǎn)B，考慮到點(diǎn)A的任意性，結(jié)論成立。

函數(shù)圖象的橫向伸縮變換是伸縮變換的難點(diǎn)所在。按照傳統(tǒng)的教學(xué)次序，各版本高中數(shù)學(xué)教材都不約而同地將此內(nèi)容安排在學(xué)過三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)之后，并以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）為例來研究。教學(xué)中學(xué)生會參照周期的變化，來直觀感知橫坐標(biāo)變化的理由。雖然這樣設(shè)計(jì)增加了直觀性，但降低了認(rèn)識的深度。造成部分?jǐn)?shù)學(xué)資優(yōu)生的困惑：伸縮變換的規(guī)律對于非周期函數(shù)是否適用呢？如果也適用，那么理由是什么？等等。鑒于此，筆者為所教的實(shí)驗(yàn)班學(xué)生設(shè)計(jì)了本課，并在高一階段就讓學(xué)生來探究函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律。在本課的教學(xué)過程中，對函數(shù)圖象的縱向伸縮變換的研究是在教師引導(dǎo)、示范下通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完成的，但在研究橫向伸縮變換時(shí)，考慮到學(xué)生已有了研究函數(shù)平移變換、縱向伸縮變換的經(jīng)歷，筆者加大了學(xué)生的探究自由度，結(jié)論的探究和證明完全交給學(xué)生去完成，最終收獲了滿滿的驚喜。學(xué)生不僅得出了正確的結(jié)論，而且證明方法也簡明、正確、嚴(yán)謹(jǐn)。

匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。因此在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義是毋庸置疑的。為了讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為課堂提質(zhì)增效，必須基于 “三個(gè)理解”，并為學(xué)生預(yù)留創(chuàng)新的空間，從而使“發(fā)現(xiàn)”觸手可及，水到渠成。而這也是全面落實(shí)課程目標(biāo)，更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)育人功能的應(yīng)有之義。

［1］章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（01）.

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0012-03

孫建國，江蘇省太倉高級中學(xué)（江蘇太倉，215411）教師，高級教師，蘇州市名教師。