高中數(shù)學(xué)平面向量問題解法探究*

●汪道智

(富陽新登中學(xué) 浙江杭州 311404)

高中數(shù)學(xué)平面向量問題解法探究*

●汪道智

(富陽新登中學(xué) 浙江杭州 311404)

平面向量問題在高考卷及各種模擬卷、競賽卷中常有涉及.教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生碰到向量問題時要么不知道應(yīng)該怎樣入手，要么解法單一.文章試圖將平面向量問題的解法做一個歸納整理，教會學(xué)生該如何解決平面向量問題.

平面向量;數(shù)形結(jié)合;極化恒等式

近年來，高中數(shù)學(xué)的平面向量問題在高考卷以及各地高考模擬試卷中常有涉及，且其解題方法多種多樣.平面向量兼具代數(shù)和幾何特性，是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn).筆者作為一線教師，對近年來各地區(qū)平面向量的高考題以及各地模擬題的類型進行了歸納整理，下面將對平面向量問題的解題方法進行總結(jié)與探究，希望能對學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

1 將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，以數(shù)助形

1.1 坐標法

在教學(xué)中,經(jīng)常提及的平面向量的解決方法是通過建系引入坐標，將向量的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，這樣就可以將“形”與“數(shù)”緊密結(jié)合.建立直角坐標系是平面向量代數(shù)化最直接的方法.

例1 已知a,b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是

( )

(2013年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

圖1

分析 由于a,b是相互垂直的單位向量，故可建立直角坐標系，運用向量的坐標運算來求解.

c-a-b=(x-1,y-1),

又|c-a-b|=1，從而

(x-1)2+(y-1)2=1，

1.2 利用三角函數(shù)來解決向量問題

若建系后條件中出現(xiàn)變量在某個圓上運動時，可以引入三角函數(shù)來處理相關(guān)問題.

圖2

(2016年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

分析 本題中有動點與定點，首先要根據(jù)條件找到動點的軌跡，再用三角函數(shù)去解決.

x0=2+cosθ，y0=sinθ.

2 運用平面向量幾何特性，以形助數(shù)

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

圖3

分析 用基底表示其他向量是解答本題的關(guān)鍵.

9b2-a2=4,

b2-a2=-1,

2.2 平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積定義是a·b=|a|·|b|cosθ，其幾何意義是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.數(shù)量積的幾何意義能幫助學(xué)生理解向量作為工具的真正內(nèi)涵，恰當運用數(shù)量積的幾何意義能很大程度地減少運算量[1].

(2012年湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

圖4

3 圖形構(gòu)造

向量加法、減法等運算特有的幾何意義使得數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想在解題中發(fā)揮著重要的作用.2015年與2016年浙江省數(shù)學(xué)競賽中的平面向量問題都是通過構(gòu)造圖形再利用圖形特征求解的.

(2015年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第14題)

分析 由本題條件可以考慮建系，用坐標運算解題，但變量較多，計算量相對較大.而按照題目要求直接構(gòu)造圖形，可化繁為簡.

AC2=|a|2+|c|2-|a|·|c|cos∠AOC,即

|a|·|c|≤30，于是

a·c=|a|·|c|cos∠AOC≤24

即a·c的最大值為24

圖5 圖6

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第6題)

由圖可知 ED+DC≥EC=26.

故選B.

4 實現(xiàn)平面向量代數(shù)化的主要工具

幾何意義:平行四邊形對角線的平方和等于4條邊的平方和.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

解 根據(jù)向量運算的三角形法則知，min{|a+b|2,|a-b|2}與min{|a|,|b|}大小不定，排除選項A,B.由上述等式，即

|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2，可得

|a|2+|b|2.

故選D.

圖7 圖8

工具2 極化恒等式：

下面舉例說明極化恒等式的妙用：

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析 本題是使用極化恒等式解題的典型例題.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

圖9

分析 此題可以考慮建系，運用坐標運算轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來處理.但是變量較多，對學(xué)生的化歸能力以及計算能力要求較高.本題運用極化恒等式處理非常簡潔明了.

解 如圖9，在△PBC中，由極化恒等式得

在△P0BC中,有

因此對于邊AB上任一點P，恒有

從而

即MP0⊥AB.

工具3 三角形不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析 本題將上述實現(xiàn)平面向量問題代數(shù)化的幾個工具用到了極致.

解 由三角形不等式得

由單位向量e的任意性可得

從而

10=2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2，

于是

(a-b)2≥4.

綜觀近年來的數(shù)學(xué)高考試卷，平面向量的題型越來越靈活多變.在平常教學(xué)中經(jīng)常聽到教師對學(xué)生說：“向量問題能建系則建系.”這是對學(xué)生的一種誤導(dǎo),容易造成學(xué)生碰到難以建系的向量問題而無從下手,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題中不同的條件選擇相應(yīng)的解題方法.如文中提及的基底法、圖形構(gòu)造、數(shù)量積幾何意義、極化恒等式、三角形不等式等，都是解決平面向量問題的基本方法.總之，平面向量問題靈活多變，筆者不可能將所有方法一一列舉，以上只是平時向量教學(xué)中的一些解題方法小結(jié)，意在教學(xué)中加強學(xué)生對解題工具的選擇能力，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

[1] 王蘇文.巧用數(shù)量積的幾何意義[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013(4)：16-17.

[2] 王紅權(quán).巧用極化恒等式 妙解一類向量題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(8)：24-25.

2016-12-21；

2017-02-16

汪道智(1980-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-14-04