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    平凡真功顯 秒解素養(yǎng)現(xiàn)*
    ——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說起

    2017-06-05 15:03:23李學(xué)軍曲文瑞
    關(guān)鍵詞:交點實數(shù)零點

    ●李學(xué)軍 曲文瑞

    (平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

    平凡真功顯 秒解素養(yǎng)現(xiàn)*
    ——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說起

    ●李學(xué)軍 曲文瑞

    (平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

    作為數(shù)學(xué)教師要研究解題,要研究學(xué)生的解題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維求思考和解決問題,去體會、體驗在解題過程中的糾結(jié)和成功之后的快樂,實現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).文章結(jié)合2017年浙江省數(shù)學(xué)模擬卷中的一道填空題,深入挖掘考點,深刻探尋題源,為2017年的高考復(fù)習(xí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)提供一種思考的方向.

    解法;探源;教學(xué);啟迪

    2016年12月17日浙江省考試院在全省范圍內(nèi)對參加2017年高考的學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)模擬測試,元濟(jì)中學(xué)、湖州二中及平湖中學(xué)這3所學(xué)校結(jié)盟進(jìn)行了網(wǎng)上閱卷,其中第17題的平均分為0.73,作為填空題的壓軸題,真正發(fā)揮了對學(xué)生的選拔功能.

    1 考題重現(xiàn):似曾相識燕歸來

    題目 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個零點,則3a+b的取值范圍是______(答案:(-5,0)).

    人教A版教材必修1第87頁明確指出:方程有實數(shù)根?函數(shù)與x軸有交點?函數(shù)有零點.

    本題的實質(zhì)是考查對函數(shù)零點概念的理解,并且融多種數(shù)學(xué)思想及解法于一體,這也是處理函數(shù)零點問題中最基本的想法.本題緊扣教材,無論是函數(shù)值范圍的處理還是數(shù)形結(jié)合思想都源于教材.該題作為填空題的壓軸題語言簡潔,解題入口寬、層次多、區(qū)分度好,具有非常明顯的“浙江風(fēng)采”.

    2 解法探究:橫看成嶺側(cè)成峰

    解法1 直接法

    x2+ax+b=0的2個不相等的實數(shù)根為

    圖1

    于是

    設(shè)3a+b=z,如圖1,由

    得交點P(-2,1).

    當(dāng)直線3a+b=z經(jīng)過點O(0,0)時,z=0;當(dāng)直線3a+b=z經(jīng)過點P(-2,1)時,z=-5,因此3a+b∈(-5,0).

    點評 該題對于大多數(shù)考生來說要么基本沒有想法,要么有想法但無行動.的確,在平時的高考復(fù)習(xí)中,學(xué)生對字母的運算是存在畏難心理的.另外,在平時復(fù)習(xí)的過程中也很少遇到.因此,該解法在考試的過程中,很少被考生想到,更不要說用好.

    解法2 根的分布

    因為函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個零點,所以

    整理得

    接下來的處理方式有2種:

    方法1 接下來走規(guī)劃的路徑,通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解(同解法1).

    方法2 把不等式組變形為

    點評 通過數(shù)形結(jié)合的方式找出關(guān)于a,b的不等式組,大多數(shù)學(xué)生比較推崇方法1,因此在考場上,學(xué)生更喜歡走這樣的路徑.對于方法2來說,學(xué)生很難在短時間內(nèi)想到,利用不等的關(guān)系進(jìn)行消元,然后再利用函數(shù)的單調(diào)性,求出相關(guān)函數(shù)的上界或下界.

    解法3 韋達(dá)定理

    由題意設(shè)方程x2+ax+b=0的2個不相等的實數(shù)根分別為x1,x2,且0

    x1+x2=-a,x1x2=b,

    從而 3a+b= -3(x1+x2)+x1x2=

    (x1-3)(x2-3)-9.

    因為0

    -3

    從而

    4<(x1-3)(x2-3)<9,

    -5<(x1-3)(x2-3)-9<0,

    亦即

    -5<3a+b<0.

    點評 該解法把變量a,b用新的有范圍的變量x1,x2來表示,根據(jù)x1,x2的范圍來限制出3a+b的范圍.這是一種非常值得推廣的解題方法,但是這種解法說起來輕巧,在遇到實際問題時,馬上進(jìn)入解題通道的確有難度.

    解法4 構(gòu)造函數(shù)

    3a+b=-3(x1+x2)+x1x2=x1(x2-3)-3x2,

    因為0

    從而

    -5<3a+b<0.

    點評 該解法把3a+b用一個有限定范圍的新的變量表示出來,這種表述可以是相等的也可以是不等的.而本題恰恰是用不等關(guān)系表示,難度明顯增加,解法4和解法2中的方法2有異曲同工之妙.

    解法5 構(gòu)造不等式

    由題意可得下面的不等式組

    因為f(0)=b,f(1)=1+a+b,所以

    b=f(0),a=f(1)-f(0)-1,

    從而

    3a+b=3f(1)-2f(0)-3.

    -5<3f(1)-2f(0)-3<0,

    -5<3a+b<0.

    點評 把a(bǔ),b用變量f(0),f(1)表示出來,f(0),f(1)的范圍通過畫圖(如圖2)可以看出,充分利用不等式的同向可加性,但在相加的過程中應(yīng)盡可能利用整體的作用,否則容易把范圍擴(kuò)大.

    圖2 圖3

    解法6 數(shù)形結(jié)合

    因為函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個零點,所以方程x2+ax+b=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個不相等的實數(shù)根.

    設(shè)g(x)=-x2,h(x)=ax+b,如圖3,g(x)和h(x)的圖像在x∈(0,1)有2個交點,h(x)=ax+b的圖像經(jīng)過點P(3,t)和g(x)=-x2上一點M.當(dāng)直線MP為N(1,-1)處的切線時,t=-5;當(dāng)直線MP為O(0,0)處切線時,t=0,因此

    -5

    -5<3a+b<0.

    點評 在研究等式、不等式解的時候,通常有2種思考方向:其一是構(gòu)造一個函數(shù),研究這個函數(shù)與x軸的交點問題;其二是構(gòu)造2個函數(shù),研究2個函數(shù)圖像的交點問題.本題構(gòu)造一個靜態(tài)函數(shù)和一個動態(tài)函數(shù),而3a+b恰好可以構(gòu)造出具體的幾何意義,這才是此題的本質(zhì)所在.

    3 探源:那人卻在燈火闌珊處

    源頭1 已知:f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

    2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點,且0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

    (2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

    源頭2 設(shè)a,b∈R,函數(shù)f(x)=ax2+b(x+1)-2.若對任意實數(shù)b,方程f(x)=x有2個相異的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.

    (2015年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第16題)

    源頭3 已知b,c∈R,二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與x軸有2個不同的交點,求c2+(1+b)c的取值范圍.

    (2014年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第18題)

    4 教學(xué)啟迪:吹盡狂沙始到金

    一道精彩的考試題目不僅體現(xiàn)在“表美”,更多的是“神美”的傳遞.通過對經(jīng)典試題的鉆研,在一定程度上能夠引導(dǎo)教師根據(jù)實際調(diào)整教學(xué)內(nèi)容以及根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和方法,進(jìn)而會直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.這道填空壓軸題雖然有著“入手易,解法多”的特點,但是在操作的過程中,部分學(xué)生仍然有力不從心的感覺.2017年浙江省數(shù)學(xué)高考文理科合卷,在復(fù)習(xí)教學(xué)時必須把握好教學(xué)的難易,需要落實基本概念,強(qiáng)化基本運算,需要落實基本方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀[1].因此,在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中我們應(yīng)該更多關(guān)注以下幾個方面:

    1)以生為“心”.

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“懂而不會,會而不全”的現(xiàn)象是非常普遍的,歸根結(jié)底學(xué)生關(guān)注的焦點只是是否聽懂、是否聽會,而忽視了是否自己能夠獨立、高效地完成.在解題的過程中我們需要關(guān)注解法,但是作為數(shù)學(xué)教學(xué),更需要學(xué)生親身體驗計算的過程,酸甜苦辣只有自己親自嘗過才知道其中的滋味.

    2)以思為“先”.

    在平時的學(xué)習(xí)過程中要經(jīng)常對所學(xué)的知識和題型進(jìn)行歸納,尋找規(guī)律和突破口.在平時的教學(xué)中要盡量留給學(xué)生足夠的時間讓學(xué)生讀題、審題,在這個過程中讀出若干個思維角度,審出題目的結(jié)構(gòu),理解問題的本質(zhì).教師和學(xué)生共同養(yǎng)成解題之后有反思的良好習(xí)慣,讓學(xué)生既要知其然,更要知其所以然.通過反思養(yǎng)成對題目深入的探索,比如舉一反三、一題多解、一題多變、多題一解,真正實現(xiàn)羅增儒先生倡導(dǎo)的“通過有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無數(shù)道題的數(shù)學(xué)機(jī)智”.

    3)以展突“破”.

    解題是一種創(chuàng)造性的活動,作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),積累一定的解題經(jīng)驗對以后解題過程中快速提取信息是大有裨益的,對一些相似的問題進(jìn)行歸納總結(jié)之后,總會有些許的感悟,可以嘗試對題目進(jìn)行改編、拓展、推廣,并在這個過程中鞏固方法、辨別異同、提升能力.波利亞曾形象地指出:“好問題同某些蘑菇有些相似,它們大都成堆的生長,找到一個之后,你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找,很可能就有幾個.”

    總之,題目是做不盡、探不完的.《莊子·養(yǎng)生主》中說:“吾生而有涯,而知也無涯.”通過這次浙江省考試院的模擬調(diào)研,筆者有一種感觸:學(xué)生在考場上的思路探尋,教師在考后的解法探究,命題者在命題時的藍(lán)圖設(shè)計,儼然構(gòu)成了一幅李白筆下的“舉杯邀明月,對影成三人”的精彩且具有濃厚浙江風(fēng)味的美妙畫卷.

    [1]王紅權(quán).含絕對值的不等式問題復(fù)習(xí)研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(12):29-34.

    2016-12-20;

    2017-02-16

    李學(xué)軍(1976-),男,吉林省德惠市人,中學(xué)高級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

    O123.1

    A

    1003-6407(2017)04-39-03

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