計(jì)數(shù)原理與古典概率復(fù)習(xí)要點(diǎn)例析*

● 吳寅靜

(余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

計(jì)數(shù)原理與古典概率復(fù)習(xí)要點(diǎn)例析*

● 吳寅靜

(余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

文章對2017年數(shù)學(xué)高考中計(jì)數(shù)原理與概率的復(fù)習(xí)從知識、能力要求進(jìn)行說明，并對每一個(gè)考點(diǎn)的主要考查方向以典型例題解讀的方式進(jìn)行分析.

計(jì)數(shù)原理;概率;二項(xiàng)式定理

1 知識內(nèi)容

本單元的主要內(nèi)容有：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理、楊輝三角與二項(xiàng)式定理.而古典概率主要內(nèi)容有：事件、事件的關(guān)系與運(yùn)算，互斥、對立、獨(dú)立事件，概率與頻率，古典概型.還有離散型隨機(jī)變量及隨機(jī)變量的分布列、均值、方差，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.2 命題分析

計(jì)數(shù)原理、概率的內(nèi)容在這幾年浙江省的數(shù)學(xué)高考中變化很頻繁，2014年之前是高考的必考內(nèi)容，2015年、2016年則出現(xiàn)在自選模塊中，2017年開始又進(jìn)入高考的考試范圍，考試的內(nèi)容和難度也隨著要求的變化而變化.根據(jù)2017年高考考試說明對這一部分內(nèi)容的要求來看，這些內(nèi)容在難度上屬于適中，考試題型也以選擇、填空題出現(xiàn)的可能性比較大.

從知識要求看，計(jì)數(shù)原理與概率的考查最多的是了解層次的內(nèi)容，要求達(dá)到理解層次的主要是分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，會用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題，會計(jì)算古典概型中事件的概率.

從能力要求看,高考中數(shù)據(jù)處理能力主要是通過排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)來實(shí)施的.關(guān)鍵是考生能對數(shù)據(jù)和隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行提煉得出數(shù)據(jù)特征，同時(shí)考查考生能對眾多數(shù)據(jù)進(jìn)行合理篩選、選擇模型、綜合分析數(shù)據(jù)的思維能力.這對考生的模型建構(gòu)、思維層次等也提出了較高要求.

3 典例剖析

3.1 計(jì)數(shù)原理重基礎(chǔ)

很多考生一想到計(jì)數(shù)原理就是如何用排列組合公式計(jì)算出結(jié)果，對于分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理則不夠重視.從高考的考試要求來看，2個(gè)計(jì)數(shù)原理是概率的基礎(chǔ)，也是考查邏輯思維能力、分類討論思想、分析解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，因此實(shí)際問題解決的起點(diǎn)要從2個(gè)計(jì)數(shù)原理開始，而不是直接從排列組合開始思考.

例1 1)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎情況有______種(用數(shù)字作答).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

圖1

2)如圖1所示，某貨場有2堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是______(用數(shù)字作答).

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考模擬卷第15題)

2)將5個(gè)集裝箱標(biāo)上不同的數(shù)字或字母，按第1個(gè)取的情況分類，再分別用枚舉法即可得共10種.

評注 對計(jì)數(shù)原理的考查越來越回歸本源，2個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決排列與組合問題的基礎(chǔ)，學(xué)會辨別分類還是分步，先分類還是先分步都是解決此類問題的關(guān)鍵.因此在針對這一內(nèi)容的復(fù)習(xí)時(shí)重心要適當(dāng)前移，避免發(fā)生重復(fù)和遺漏計(jì)算、用錯(cuò)公式的情況.

3.2 概率問題重?zé)狳c(diǎn)

高考改革之后，對概率的考查范圍逐漸縮小，但也越來越聚焦在古典概型上.古典概型問題既能考查考生對概率概念的理解程度，同時(shí)也能將計(jì)數(shù)原理中相關(guān)的知識進(jìn)行綜合，因此也成為概率內(nèi)容命題的熱點(diǎn).

例2 1)有20張卡片，每張卡片上分別有2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)k，k+1,其中k=0,1,2,…,19.從這20張卡片中任取1張，記事件“該卡片上2個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和(例如：若取到標(biāo)有9，10的卡片，則卡片上2個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為9+1+0=10)不小于14”為A，則P(A)=______.

2)有5本不同的書，其中語文書2本、數(shù)學(xué)書2本、物理書1本，若將其隨機(jī)地?cái)[放在書架的同一層上，則同一個(gè)科目的書都不相鄰的概率是

( )

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

方法1 如何進(jìn)行分類是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，其分類依據(jù)是從第1本書開始，這個(gè)方式雖然比較常規(guī)但也是解決實(shí)際問題中最為普遍的方式：

①若第1本書是語文書(或數(shù)學(xué)書)，第2本是數(shù)學(xué)書(或語文書)，則有4×2×2×2×1=32種可能；

②若第1本是語文書(或數(shù)學(xué)書)，第2本是物理書，則有4×1×2×1×1=8種可能；

③若第1本是物理書，則有1×4×2×1×1=8種可能.

方法3 對立面的方式不唯一，進(jìn)行排除的同時(shí)一定要關(guān)注重復(fù)計(jì)算的情況：

評注 概率試題的核心是古典概型，古典概型的概率問題常常會與排列、組合融合在一起，而解決排列、組合問題的關(guān)鍵是理清完成該動作是分類還是分步.

3.3 二項(xiàng)式定理重關(guān)鍵

二項(xiàng)式定理因其內(nèi)容的原因其考查難度一直不大，最為常見的考查方向就是與二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)展開式系數(shù)相關(guān)的問題，解決這類問題的關(guān)鍵就是通項(xiàng)公式.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

2)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5，其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù)，則a3=______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析 1)此題關(guān)鍵是弄清相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)，通項(xiàng)公式在這里起到關(guān)鍵作用，即

從而

因?yàn)锽=4A,所以

解得a2=4.又因?yàn)閍>0,所以a=2.

2)解法1 此題的最高次數(shù)只有5，因此直接用通項(xiàng)公式提出關(guān)鍵項(xiàng)的系數(shù)，再進(jìn)行對應(yīng)系數(shù)相等的方式計(jì)算，即

解得

a3=10.

解法2 對f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5的2邊連續(xù)對x求導(dǎo)3次，得

60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2，

再運(yùn)用賦值法，令x=-1得60=6a3，即a3=10.此方法不常用，但也是一種拓寬解題思路的方式.

解法3 通過對原函數(shù)形式的重新構(gòu)造，轉(zhuǎn)化成

f(x)=x5=(1+x-1)5=

(1+x)5-5(1+x)4+10(1+x)3-

10(1+x)2+5(1+x)-1,

從而直接得出a3=10.

評注 二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等歸根結(jié)底就是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決這類問題是關(guān)鍵，必須熟練掌握.同時(shí)二項(xiàng)式中對整個(gè)式子結(jié)構(gòu)的重構(gòu)、變形也是考查考生思維靈活性的一個(gè)方向，也需要在平時(shí)的復(fù)習(xí)中加以訓(xùn)練.

3.4 離散型隨機(jī)變量及其分布列重應(yīng)用

離散型隨機(jī)變量及其分布列在2015年、2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題和自選模塊中都沒有作為考試內(nèi)容，在2017年的高考考試說明中也基本以了解為主，這一塊內(nèi)容的復(fù)習(xí)以掌握基本概念、基本技能為重點(diǎn)，學(xué)會從相對簡單的實(shí)際問題中提煉出問題模型并加以解決.

例4 1)隨機(jī)變量ξ的分布列如表1所示：

表1 隨機(jī)變量ξ的分布列

(2017年浙江省《數(shù)學(xué)高考考試說明》題型示例)

2)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和；

①求X的分布列；

②求X的數(shù)學(xué)期望E(X).

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析 1)出現(xiàn)2個(gè)變量即需要建立方程組，即

2)先確定X的可能取值有3，4，5，6，然后根據(jù)實(shí)際情況計(jì)算每一種情況的概率

由此可得X的分布并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望

評注 離散型隨機(jī)變量及其分布列從現(xiàn)有的情況來看,考查難度不會太大，但由于其具有一定的綜合性和應(yīng)用性，學(xué)生在理解隨機(jī)變量X的取值及其概率計(jì)算時(shí)常常會出錯(cuò)，因此平時(shí)在這方面的復(fù)習(xí)還需關(guān)注.

4 精題集萃

1.將2個(gè)相同的白球、3個(gè)相同的紅球、4個(gè)相同的黑球全部投入A,B,C這3個(gè)袋中，則無空袋的投放方法有

( )A.723種 B.865種 C.900種 D.1 204種

( )

3.甲、乙、丙3人各寫一張賀卡隨意送給丁、戊2人中的一人，則丁、戊2人中恰有一人收到一張賀卡的概率是

( )

4.將5個(gè)大小互不相同的球放入編號為1，2的2個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子里放入的球數(shù)不小于編號數(shù)，則不同的放球方法有______.

5.若(1-2x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+

6.一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，3個(gè)面上標(biāo)有數(shù)0，2個(gè)面上標(biāo)有數(shù)1，1個(gè)面上標(biāo)有數(shù)2，將這個(gè)小正方形拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是______.

8.某市教育局組織中學(xué)生足球比賽，共有實(shí)力相當(dāng)?shù)?支代表隊(duì)(含有一中代表隊(duì)、二中代表隊(duì))參加比賽，比賽規(guī)則如下：

第1輪：抽簽分成4組，每組2隊(duì)進(jìn)行比賽，勝隊(duì)進(jìn)入第2輪;第2輪：將4隊(duì)分成2組，每組2隊(duì)進(jìn)行比賽，勝隊(duì)進(jìn)入第3輪;第3輪：2隊(duì)進(jìn)入決賽，勝隊(duì)獲得冠軍.

現(xiàn)記ξ=0表示整個(gè)比賽中一中代表隊(duì)與二中代表隊(duì)沒有相遇，ξ=i表示恰好在第i輪比賽時(shí)一中代表隊(duì)與二中代表隊(duì)相遇(其中i=1,2,3).

1)求ξ的分布列；

2)求Eξ.

參 考 答 案

8.解 1)ξ可取0，1，2，3,則

表2 隨機(jī)變量ξ的分布列

2016-12-31；

2017-02-23

吳寅靜(1974-)，女，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)04-44-04