類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

謝桂真

摘 要：類比是一種相似性的比較方法，在立體幾何與平面幾何、解析幾何及不等式中有著廣泛的應(yīng)用。本文剖析了類比法的原理、意義及類型，探討了類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 類比 對(duì)應(yīng) 應(yīng)用

類比法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中最常用、最有效的方法之一，在科學(xué)發(fā)展史上起過(guò)重要作用。法國(guó)數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！逼渌S多數(shù)學(xué)家雖然沒(méi)有發(fā)表類似的看法，但他們?cè)诳茖W(xué)研究中自覺(jué)地運(yùn)用類比方法取得的成就，則是用事實(shí)和行動(dòng)肯定了這種方法的價(jià)值。這方面最典型的例子是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉用一元2n次方程去模擬超越方程 。這是有限與無(wú)限間的類比，從而導(dǎo)出 的著名結(jié)論。盡管目前關(guān)于數(shù)學(xué)的表達(dá)方法和表現(xiàn)手段呈多樣化，但類比法因其特殊的魅力仍可作為人們解決問(wèn)題的主要手段。

一、類比的原理、類型及用途

1.類比的原理

類比法是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤耐评矸椒?，可以用如下圖表來(lái)顯示。

2.類比的意義

類比推理是一種“合情”的“似然”推理，這一結(jié)論的正確性不能肯定。

例：長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體可以運(yùn)用類比推理，因?yàn)樗鼈冇蓄惐雀鶕?jù)。長(zhǎng)方形交于一頂點(diǎn)的兩條邊互相垂直，相對(duì)的兩條邊互相平行，而長(zhǎng)方體交于一頂點(diǎn)的三個(gè)面兩兩互相垂直，相對(duì)的兩個(gè)面互相平行。

類比推移一：又因長(zhǎng)方形的對(duì)角線互相垂直平分，那么長(zhǎng)方體任兩個(gè)對(duì)棱面也互相平分，這個(gè)類比是正確的。

類比推移二：又因長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)的d的平方等于交于一頂點(diǎn)的兩條邊a和b（長(zhǎng)和寬）的平方和，即d2=a2+b2，那么，長(zhǎng)方體任一對(duì)棱面面積S的平方等于交于一頂點(diǎn)三個(gè)面面積S1，S2，S3的平方和，即

S12=S22+S32。

這個(gè)類比推理是不正確的，舉一簡(jiǎn)單的反例，棱長(zhǎng)為1的正方形。

S2=（1× 2）2=2；S12+S22+S32=3，2≠3。

即使類比推理結(jié)論不一定完全正確，但如果推理的作用大于它的缺陷，那么就是可行的。在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，利用類比可以解決一些復(fù)雜的問(wèn)題。這是由于自然界無(wú)論是宏觀還是微觀，同類事物的相似性遠(yuǎn)大于它的差異性。

3.類比的分類

第一，簡(jiǎn)單共存類比。它是根據(jù)對(duì)象的屬性之間具有簡(jiǎn)單共存關(guān)系而進(jìn)行的推理。多項(xiàng)式的四則運(yùn)算與整數(shù)的四則運(yùn)算之間的類比就是簡(jiǎn)單的共存類比。

第二，因果類比法。它是根據(jù)對(duì)象的屬性間可能有同一種因果關(guān)系而進(jìn)行的推理。例如在三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)分每條中線為2：1，四面體中，類比出可能成立的結(jié)論：四條中線（頂點(diǎn)與對(duì)底面重心的連線）交于一點(diǎn)且交點(diǎn)分每條中線為3：1。

第三，對(duì)稱類比法。它是根據(jù)對(duì)象屬性之間具有對(duì)稱性而進(jìn)行的推理。

第四，協(xié)變類比（數(shù)學(xué)相似類比法）。它是根據(jù)對(duì)象屬性之間具有某些確定的協(xié)變關(guān)系（即函數(shù)變化關(guān)系）而進(jìn)行的推理。

第五，綜合類比法。它是根據(jù)對(duì)象屬性的多種關(guān)系的綜合相似而進(jìn)行推理。

二、類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.立體幾何與平面幾何進(jìn)行類比

筆者在學(xué)習(xí)平面的概念時(shí)，將平面同直線進(jìn)行類比。直線是兩端無(wú)限延伸，它沒(méi)有粗細(xì)之分，而平面是向四周無(wú)限延伸，也沒(méi)有厚薄的區(qū)別。一個(gè)點(diǎn)可把一條直線分成兩條射線，同樣，一條直線可將一平面分成兩個(gè)半平面。在學(xué)習(xí)二面角的定義的時(shí)候，將二面角和平面幾何中的角進(jìn)行類比，平面幾何中的角的定義“從公共端點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線叫做角的邊”；在立體幾何中，二面角是這樣定義的——“從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面”。通過(guò)和之前學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行類比，學(xué)生很容易接受。

在立體幾何教學(xué)中判斷兩個(gè)定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合，分別是怎樣的圖形時(shí)，可讓學(xué)生自己與平面幾何進(jìn)行類比，找出哪些類同之處，哪些不同之處，明確立體幾何在平面幾何上如何繼承與發(fā)展，對(duì)學(xué)生迅速建立空間概念，掌握空間圖形性質(zhì)，是很有好處的。

在學(xué)習(xí)多面體時(shí)，可以把平面幾何中的點(diǎn)和直線與立體幾何中的直線和平面對(duì)應(yīng)起來(lái)，那么平面圖形中的多邊形也能與立體圖形中的多面體進(jìn)行類比。如果把平面幾何中邊數(shù)最少的三角形與立體幾何中面數(shù)最少的四面體對(duì)應(yīng)起來(lái)，可以用類比的方法將三角形的一些性質(zhì)引向空間，得出四面體的一些性質(zhì)，不妨以正三角形與正四面體為例作一比較。

在正三角形中各邊相等，各角相等且都等于 ，任一頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線足為對(duì)邊的中點(diǎn)且垂線長(zhǎng)均相等，外接圓與內(nèi)切圓同心且圓心分所在高之比為2：1；在正四面體中，各面全等，各二面角相等，都等于 ，任一頂點(diǎn)到對(duì)面的垂線足為對(duì)面三角形的中心且長(zhǎng)相等，外接球與內(nèi)切球同心，且球心把所在高分為3：1。

在推導(dǎo)正四棱臺(tái)體積公式時(shí)，可先由學(xué)生回憶一些圖形的面積和體積公式，由梯形的面積公式 ，學(xué)生通過(guò)類比的方法猜想正四棱臺(tái)的體積公式有以下三種形式：

然后通過(guò)考慮特殊情況：當(dāng) 時(shí)， 是正四棱錐的體積公式，當(dāng) 時(shí)， 是正方體的體積公式。從而得到（3）是正四棱臺(tái)的體積公式。

上述問(wèn)題可圖示為：

2.解析幾何中橢圓與雙曲線、拋物線的類比

（1）定義中的類比。學(xué)習(xí)了橢圓的定義“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓”，推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，研究了橢圓的性質(zhì)以后，在講授雙曲線這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，可通過(guò)類比的方法，得出雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)。

同樣，在得出橢圓、雙曲線的第二定義“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比等于c/a的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)a>c>0時(shí)是橢圓，當(dāng)00時(shí)得到的曲線是拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線”。

（2）習(xí)題中的類比。已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作拋物線的弦AB與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切。

證明：如圖1，不妨設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p2o），設(shè)AB中點(diǎn)為M，過(guò)A、B、M分別作AA1、BB1、MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線L，垂足分別為A1、B1、N，由拋物線的定義得2︱MN︱=（︱AA1︱+︱BB1︱）= （︱AF︱+︱BF︱）=︱AB︱，所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

通過(guò)對(duì)題目的感知、理解，根據(jù)拋物線定義進(jìn)行解答之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索：聯(lián)想到圓錐曲線的統(tǒng)一性，在橢圓和雙曲線中情況會(huì)怎樣？

問(wèn)題1：若橢圓方程為 ， 其右焦點(diǎn)為F，以過(guò)F的弦AB為直徑的圓與橢圓的右準(zhǔn)線L的位置關(guān)系如何？

問(wèn)題2：若雙曲線的方程為 ，其右焦點(diǎn)為F，以過(guò)F的弦AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線L的位置關(guān)系如何？

通過(guò)類比，學(xué)生能夠較快得出結(jié)論：?jiǎn)栴}1的答案是相離，問(wèn)題2的答案是相交。

3.函數(shù)中的類比

（1）講授內(nèi)容的類比。在講授函數(shù)單調(diào)性時(shí)，學(xué)習(xí)了增函數(shù)的定義：“如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，那么就說(shuō) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)”。增函數(shù)定義可以類比出減函數(shù)的定義“如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，那么就說(shuō) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)”。這樣既熟悉在數(shù)學(xué)研究中的類比思想，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力。

在講對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，因?qū)?shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，故把對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)類比，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域是指數(shù)函數(shù)的值域和定義域。對(duì)數(shù)函數(shù) 的圖像與

的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，因此由 的圖像即可得到 的圖像，然后再根據(jù)圖像的特征得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。故，如果兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，對(duì)于這種情況，教師通常可以用類比法來(lái)解決。

（2）習(xí)題中的類比。

例1：設(shè)函數(shù) ，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的方法，求 的值。

分析：觀察每個(gè)因式的提點(diǎn)，類比推導(dǎo)等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的倒序相加法，嘗試計(jì)算。

發(fā)現(xiàn) 正好是一個(gè)定值，

由此可知，通過(guò)弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，找出它與某類問(wèn)題的區(qū)別和聯(lián)系便可以變更出新的命題。

在提倡素質(zhì)教育的今天，除了使學(xué)生 “學(xué)會(huì)”之外，更重要的還應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“會(huì)學(xué)”會(huì)思考，掌握科學(xué)的思維方法，比如類比法。因此，今天強(qiáng)調(diào)類比的重要性，不僅在于它是一種解題策略，更在于它是素質(zhì)教育中不可缺少的一環(huán)。 （作者單位：青島海洋技師學(xué)院）