數(shù)學(xué)教材例題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法

左佳麗

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法作為當今深化改革數(shù)學(xué)教育的重點，現(xiàn)行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》在實施建議部分就有明確要求：要引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想.一次函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的函數(shù)模型，深入發(fā)掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有十分重要的意義.本研究以北師版數(shù)學(xué)教材八年級上冊“一次函數(shù)”中的例題為例，系統(tǒng)闡述例題蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù) 數(shù)學(xué)思想 解題

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）15-0180-02

一、一般化與特殊化思想

波利亞在《怎樣解題》中明確指出，一般化是指“從考慮一個對象過渡到考慮包含這個對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含這個較小集合的更大集合”.

例1 選自八年級上冊79頁

寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？

⑴汽車以60km/h的速度勻速行駛，形式路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關(guān)系；

⑵圓的面積y （cm2）與它的半徑x （cm）之間的關(guān)系；

⑶某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x h后這個水池內(nèi)有水ym3.

這是一道考察一次函數(shù)和正比例函數(shù)概念的例題.我們已經(jīng)知道一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般形式為.這道例題之所以稱其蘊含了一般化與特殊化的數(shù)學(xué)思想方法，主要是指兩個方面：（1）對于函數(shù)表達式的判定，當字母變成某一個特殊的數(shù)的時候，學(xué)生是否能抓住其實質(zhì)，做出正確的判斷，這是指一般到特殊；（2）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，這是指特殊到一般.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本方法與思想.在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合考慮，把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將抽象思維與形象思維結(jié)合.數(shù)形結(jié)合主要包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面.

例2 選自八年級上冊91頁

某種型號的摩托車的油箱加滿油后，油箱中的剩余油量y（升）與摩托車行駛路程x（千米）之間的關(guān)系如圖4—8所示.根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）油箱最多科儲油多少升？

（2）一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？

（3）摩托車每行駛100km消耗多少升汽油？

（4）油箱中的剩余油量小于1L時，摩托車將

自動報警.行駛多少千米后，摩托車將自動報警？

這是一道一次函數(shù)的問題解決型例題.將生活中的實際問題作為問題情境，讓學(xué)生體會一次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用.結(jié)合函數(shù)圖像解決問題.一方面考查學(xué)生對知識的掌握情況，另一方面讓學(xué)生體驗函數(shù)圖像對解決數(shù)學(xué)問題的重要作用.

三、分類討論思想

數(shù)學(xué)分類討論思想，是指將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種邏輯方法.有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中.

例3 選自八年級上冊80頁

我國自2011年9月1日起，個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入低于3500元的部分不收稅；月收入超過3500元但低于5000元的部分征收 的所得稅，……如某人月收入3860元，他應(yīng)繳個人工資、薪金所得稅為（3860-3500）×3%=10.8（元）.

（1）當月收入大于3500元而又小于5000元時，寫出應(yīng)繳所得稅y（元）與月收入x（元）之間的關(guān)系式；

（2）某人月收入4160元，他應(yīng)繳他應(yīng)繳個人工資、薪金所得稅多少元？

（3）如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅19.2元，那么此人本月工資、薪金收入是多少元？

這同樣是一道一次函數(shù)的問題解決型例題.相較于前面一道題，此題最大的特色在于要用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法來解決問題.事實上，這也是學(xué)生首次接觸分段函數(shù)的題目.對不同段的工資，應(yīng)繳納個人所得稅也不一樣，這就需要教師對學(xué)生進行引導(dǎo)，讓學(xué)生體會分類討論的實質(zhì).

四、數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型方法的本質(zhì)是化歸，將一個現(xiàn)實問題化歸成一個數(shù)學(xué)問題，之后用數(shù)學(xué)只是解決這個問題，在翻譯回去成為現(xiàn)實問題的解答.模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識.

例4 選自八年級上冊89頁

在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù).某彈簧不掛物體時長14.5cm；當所掛物體的質(zhì)量為3kg時，彈簧長16cm.寫出y與x之間的關(guān)系式，并求當所掛物體的質(zhì)量為4kg時彈簧的長度.

這是一道以其他學(xué)科（物理）為問題情境的例題，同樣也是一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.由于題目已經(jīng)明確說明長度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）是一次函數(shù)，因此，解決問題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)建一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，即求一次函數(shù)的解析式.設(shè)出，求出的值，問題就迎刃而解了.

只要有數(shù)學(xué)解題，就會數(shù)學(xué)思想方法.老師在教學(xué)過程中，不但要教給學(xué)生知識，更要教會學(xué)生數(shù)學(xué)中所蘊含的思想方法.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]波利亞著，閆育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[3]馬波.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.