關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布高階矩的教學(xué)注記

朱成蓮

摘 要：文章利用負(fù)二項(xiàng)分布的分解定理，給出負(fù)二項(xiàng)分布的高階矩的遞推公式，并給出了遞推公式的應(yīng)用，加深對(duì)負(fù)二項(xiàng)分布的認(rèn)識(shí)和理解，為負(fù)二項(xiàng)分布的教學(xué)提供更多教學(xué)素材。

關(guān)鍵詞：負(fù)二項(xiàng)分布；矩；教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）18-0097-03

Abstract： In this paper， theorem of decomposition of negative binomial distribution is applied. The recurrent formula of higher order origin moment on negative binomial distribution is given. The recurrence formula is applied. The understanding of negative binomial distribution is deepened. More teaching materials are provided for the teaching of negative binomial distribution.

Keywords： negative binomial distribution； moment； teaching

引言

我們知道在一個(gè)伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為p（0

一、相關(guān)定義及引理

定義1 設(shè)X是隨機(jī)變量，如果X的分布律為P（X=k）=qk-1p，0

由課本可知：E（X）=■，D（X）=■。

引理1設(shè)函數(shù)f（x）=■，（其中x≠0），？誺為任一正整數(shù)，則f（x）的？誺階導(dǎo)數(shù)為

f （？誺）（x）=■

證明 利用二項(xiàng)式定理，將（1-x）？誺展開(kāi)，可得

f（x）=■（1-x）？誺=■■C■■（-1）kxk=■+■C■■（-1）kxk-1，

而■C■■（-1）kxk-1是？誺-1次多項(xiàng)式，故■C■■（-1）kxk-1的？誺階導(dǎo)數(shù)

[■C■■（-1）kxk-1] （？誺）=0，

從而

f （l）（x）=（■）（l）=（x-1）（l）=（-1）（-2）…（-l）x-1-l=■。

引理2[1]設(shè)l次多項(xiàng)式g（x）=x（x+1）…（x+l-1），（l為正整數(shù)），g（x）可表示為

g（x）=x（x+1）…（x+l-1）=xl+？姿1xl-1+…+？姿l-1x

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i個(gè)數(shù)，這里■k1k2…ki表示所有可能的i個(gè)不同的kj的乘積之和。

引理3[2]如果X～B_（n，p）的充分必要條件是X可分解為n個(gè)獨(dú)立同幾何分布的隨機(jī)變量的和，即X=■Xi，其中 x1，x2，…，xn相互獨(dú)立，且Xi～G（p），i=1，2，…n。

二、主要結(jié)果

定理1 設(shè)隨機(jī)變量X～G（p）（0

證明 由于X～G（p），所以有P（X=k）=p（1-p）k-1，k=1，2，…，從而E[X（X+1）…（X+l-1）]=■k（k+1）…（k+l-1）p（1-p）k-1

=p■k（k+1）…（k+l-1）（1-p）k-1

=p■[（-1）l（1-x）k+l-1] （l）|x=p

=（-1）lp[■（1-x）k+l-1] （l）|x=p

（當(dāng)0

=（-1）lp[■] （l）|x=p。

由于[■] （l）|x=p=■。

得

E[X（X+1）…（X+l-1）]=（-1）lp■■=■。

設(shè)隨機(jī)變量X～G（p），（0

推論（1）當(dāng)l=1時(shí)，得E（X）=■。

推論（2）當(dāng)l=1時(shí)，得E（X）=E[X（X+1）]-E（X）=■-■，從而

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=■。

下面我們給出幾何分布高階原點(diǎn)矩的遞推公式，設(shè)X～G（p），（0

定理2 設(shè)隨機(jī)變量X～G（p），（0

E（Xl）=■-■？姿iAi。

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i個(gè)數(shù)，這里■k1，k2，…ki表示所有可能的i個(gè)不同的kj的乘積之和。

證明 有引理2中知，對(duì)任意正整數(shù)l，有

Xl=x（x-1）…（x+l-1）-■？姿ixl-i。

利用定理1得

E（xl）=E[X（X+1）…（X+l-1）-■？姿iE（xl-i）=■-■？姿iAi。

定理3 設(shè)隨機(jī)變量X～B-（n，p），對(duì)任意的正整數(shù)？誺，則

證明設(shè)X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且Xi～G（p），i=1，2，…，n。

由引理3知，X=■Xi。

定理3給出了負(fù)二項(xiàng)分布的高階原點(diǎn)矩的遞推公式，也揭示了負(fù)二項(xiàng)分布的高階原點(diǎn)矩與幾何分布的高階原點(diǎn)矩之間的聯(lián)系。

三、有關(guān)應(yīng)用

應(yīng)用定理2的遞推公式求幾何分布的高階原點(diǎn)矩，關(guān)鍵在于確定系數(shù)？姿i，下面分別就l的取值情況分別給出相應(yīng)的？姿i的值，i=1，2，…，l-1。

當(dāng)l=1時(shí)，？姿0=1；

當(dāng)l=2時(shí)，？姿1=1；

當(dāng)l=3時(shí)，

當(dāng)l=4時(shí)，

設(shè)隨機(jī)變量X～G（p），下面我們應(yīng)用定理2分別求出 E（X3）、E（X4）

由推論知，E（X）=■，E（X2）=■-■。

應(yīng)用定理2得

同理可得

設(shè)隨機(jī)變量X～B-（n，p），下面應(yīng)用定理2.3分別求E（x），E（x2），E（x3），X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，Xi～g（p），i=1，2，…，n。

以此類(lèi)推，求出各階矩。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)研究負(fù)二項(xiàng)分布的高階原點(diǎn)矩，給出了幾何分布、負(fù)二項(xiàng)分布的高階原點(diǎn)矩的遞推公式，也揭示了負(fù)二項(xiàng)分布的高階原點(diǎn)矩與幾何分布的高階原點(diǎn)矩之間的聯(lián)系。在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的理解情況，進(jìn)行多思路，多方法探討問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)及研究熱情。

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