STF瞝ike流中全局和局部分岔的研究

摘 要：基于三維的stretchtwistfold 流，利用反饋控制技術(shù)，提出了一類(lèi)新的STFlike系統(tǒng)。通過(guò)蒙特卡洛假設(shè)檢驗(yàn)這類(lèi)新穎的方法來(lái)研究新系統(tǒng)混沌的存在性，同時(shí)嚴(yán)格證明了異宿軌分岔存在的全局性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，以及音叉分岔、Hopf分岔存在的局部性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：蒙特卡洛假設(shè)檢驗(yàn)；混沌；異宿軌分岔；音叉分岔；Hopf分岔

混沌及其應(yīng)用已被眾多學(xué)者廣泛地研究了數(shù)十年，從理論上嚴(yán)格分析混沌系統(tǒng)的全局和局部動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對(duì)于理解混沌現(xiàn)象的本質(zhì)有著十分重要的作用，而分岔這種含有全局性或局部性的現(xiàn)象廣泛地出現(xiàn)在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中，因而分岔分析在混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究中占有十分突出的位置[3，4，6]。

stretchtwistfold（STF）流最初設(shè)計(jì)出來(lái)用于闡明天體物理中拉伸扭曲折疊磁場(chǎng)產(chǎn)生的機(jī)理，并被公認(rèn)為是研究磁流體力學(xué)中快速發(fā)電的一條重要途徑[1，2，8]。本文中引入了一類(lèi)新的stretchtwistfoldlike（STFlike）系統(tǒng)，原始的STF流是這類(lèi)新系統(tǒng)的一種特殊情形。相比于STF流，STFlike系統(tǒng)有著更加豐富的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，因此本文對(duì)于STFlike系統(tǒng)的研究工作將有助于闡明STF流復(fù)雜的幾何性質(zhì)，從而達(dá)到更加系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)STF流的目的。

1 stretchtwistfoldlike流的提出

基于STF流，在其第一個(gè)和第三個(gè)方程中加入擾動(dòng)項(xiàng)，提出STFlike系統(tǒng)如下：

x·=αz-8xy+cyzy·=11x2+dy2+z2+βxz-dz·=-αx+cz+2yz-βxy （1.1）

其中α和β是正的實(shí)參數(shù)，兩者與原始STF流的拉伸、扭曲、折疊的程度緊密相關(guān)；c和d是實(shí)參數(shù)。

容易證明，當(dāng)c=0及d=3時(shí)，系統(tǒng)（1.1）與STF流是拓?fù)涞葍r(jià)的。

對(duì)于α≥0和β≥0，系統(tǒng)（1.1）總存在兩個(gè)孤立的奇點(diǎn)P+（0，1，0）和P-（0，-1，0）；α>0時(shí)系統(tǒng)（1.1）還有其它的平衡點(diǎn)。作變換：

（x，y，z）→（-x，y，-z），

在此變換下系統(tǒng)（1.1）保持形式不變，因此系統(tǒng)（1.1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。并且通過(guò)計(jì)算知，系統(tǒng)（1.1）的散度為：

·V=2（d-3）y+c，

說(shuō)明它不是保守系統(tǒng)。

下面將應(yīng)用蒙特卡洛零假設(shè)檢驗(yàn)[7]的方法來(lái)檢驗(yàn)幾種混沌系統(tǒng)的例子，每個(gè)被驗(yàn)證的例子將被看作時(shí)間序列，此時(shí)系統(tǒng)的x軸被看作時(shí)間序列的時(shí)間軸。其中，關(guān)聯(lián)維是檢驗(yàn)時(shí)間序列是否源于混沌系統(tǒng)的重要統(tǒng)計(jì)量。具體的方法為采用分層不等概率抽樣方法[9]（PPS算法）抽樣產(chǎn)生100個(gè)替代數(shù)據(jù)樣本來(lái)代替原數(shù)據(jù)，并在每個(gè)樣本中隨機(jī)選取2500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為參考點(diǎn)。

為減少統(tǒng)計(jì)誤差，計(jì)算時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維時(shí)，將取100次計(jì)算的結(jié)果求得關(guān)聯(lián)維的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差。在下圖1中有三條平行于橫軸（表示替代數(shù)據(jù)樣本）的線(xiàn)段，上中下三條線(xiàn)段依次表示的含義為：關(guān)聯(lián)維的均值加上3倍標(biāo)準(zhǔn)差、平均關(guān)聯(lián)維和關(guān)聯(lián)維的均值減去3倍標(biāo)準(zhǔn)差，以及圖中的星號(hào)表示每個(gè)替代數(shù)據(jù)樣本的關(guān)聯(lián)維。

例一：取α=0.1，β=5.6，c=0.1和d=5.6。

通過(guò)圖1的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)聯(lián)維數(shù)的均值按從小到大的順序排在了100個(gè)樣本關(guān)聯(lián)維數(shù)的第96位，可以算得拒絕單邊零假設(shè)檢驗(yàn)的錯(cuò)誤率為6%，拒絕雙邊零假設(shè)檢驗(yàn)的錯(cuò)誤率為12%。這表明在上面的參數(shù)取值條件下，系統(tǒng)（1.1）表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象的可能性要高于其表現(xiàn)出周期軌的可能性。

圖1 （α，β，c，d）∈（0.5，4.1，0.2，6.0），基于PPS算法的替代數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果

Fig.1 Surrogate test based on the PPS algorithm for（α，β，c，d）∈（0.5，4.1，0.2，6.0）

2 異宿軌分岔

在這一部分中，將采用高維廣義的Melnikov方法研究系統(tǒng)（1.1）的異宿軌分岔。

將系統(tǒng)（1.1）重寫(xiě)成如下形式：

X·=f（X）+h（X，μ），（2.1）

其中

f（X）=-8xy11x2+dy2+z2-d2yz，h（X，μ）=αz+cyzβxz-αx+cz-βxy，

和μ=（α，β，c），（0<μ≤1）。

系統(tǒng)（2.1）的線(xiàn)性系統(tǒng)為：

X·=f（X）。（2.2）

令p1=P+，p2=P-及d>2，點(diǎn)p1和p2為系統(tǒng)（2.2）的兩個(gè)雙曲鞍點(diǎn)，在平衡點(diǎn)p1處的特征值Df（p1）為：

λ1=2，λ2=-8，λ3=2d，

在平衡點(diǎn)p2處的特征值Df（p2）為：

λ1=-2，λ2=8，λ3=-2d。

進(jìn)一步地，當(dāng)t→-∞（+∞）時(shí)，x1（t）→p1（p2），此時(shí)存在連接平衡點(diǎn)p1和p2的異宿軌道：

Γ1=x1（t）=（0，-tanh（2t），d-2sech（2t））：t∈R

（2.3）

此隱含著線(xiàn)性變分方程

φ·=A（t）φ（2.4）

在R+和R-上具有指數(shù)二分法，其中

A（t）=Df（x1（t））（2.5）

且式（2.2）關(guān)于Γ1的線(xiàn)性變分方程

φ·=8tanh（2t）000-2dtanh（2t）2d-2cosh（2t）02d-2cosh（2t）-2tanh（2t） φ

恰有兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的有界解：

（0，-2（cosh（2t））2，-2d-2sinh（2t）（cosh（2t））2），

（（cosh（2t））4，0，0）。

因此，dim（TqWu∩TqWs）=2，其中q∈Γ1。

相應(yīng)的，Γ1的線(xiàn)性變分方程的伴隨方程ψ·=-A（t）ψ有唯一的線(xiàn)性獨(dú)立有界解：

ψ=（（sech（2t））4，0，0）。

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算Melnikov函數(shù)得到：

M1=∫+∞-∞ψ·hμ（x（t），0）dt=（316d-2π，0，0），

其中

hμ（x1（t），0）=

d-2cosh（2t）0-d-2sinh（2t）（cosh（2t））200000d-2cosh（2t）

易見(jiàn)M1的秩為1，因此可以得到下面的定理：

定理2.1 設(shè)d>2，μ=（α，β，c）∈UR2+∪R，其中U為R2+∪R中原點(diǎn)的一個(gè)開(kāi)鄰域。那么在R2+∪R中存在一個(gè)原點(diǎn)的鄰域V1U和一個(gè)超曲面H1V1，使得當(dāng)μ=H1時(shí)，系統(tǒng)（2.1）存在雙曲鞍點(diǎn)p1（μ）和p2（μ）及連接它們的異宿軌道Γμ：x=x（t，μ），異宿軌滿(mǎn)足：

pi（μ）-pi=O（μ），i=1，2，

x（t，μ）-x1（t）=O（μ），t∈R，

及μ=0處的切空間H1以M1為法向量。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：馮繼雄（1992），男，漢族，湖北黃岡人，華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，碩士生，研究方向：微分方程中的混沌動(dòng)力系統(tǒng)與分岔理論。