對(duì)兩道高等數(shù)學(xué)題算法的建議

李衛(wèi)高

摘 要： 鑒于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)問題，在解題步驟中缺乏依據(jù)或不夠全面，本著數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，對(duì)其解法分別給出了修改和完善。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 極限 導(dǎo)數(shù) 算法

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2016）12-0194-01

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在解答問題中學(xué)會(huì)嚴(yán)格的按照定義、公式進(jìn)行推理演算，做到前后有依據(jù)，變化有規(guī)則，不僅可以提高對(duì)解題正確性的把握，還能反過來加深對(duì)概念、定理的理解，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，更要注重這方面的要求。

以下是教學(xué)中遇到的兩個(gè)問題：

一、計(jì)算

這是高等數(shù)學(xué)某教材中第一章的課后習(xí)題，題目的用意是讓利用重要極限求解。有不少學(xué)生是這樣解的

答案是對(duì)的，但步驟卻有些牽強(qiáng)，體現(xiàn)在倒數(shù)第二步，對(duì)冪指函數(shù)的底部和指數(shù)分別求極限，這是想當(dāng)然的做法。在極限的運(yùn)算法則中，有四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算，而上面的算法就缺少依據(jù)，巧合的是冪指函數(shù)只要底部與指數(shù)有極限，上面的算法算出的結(jié)果一般是對(duì)的。這是因?yàn)槔眠\(yùn)算法則，我們有

先利用對(duì)數(shù)恒等式把其化為復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求極限方法，把極限符號(hào)提到指數(shù)上，再用乘積運(yùn)算求出指數(shù)的極限，得到結(jié)果。盡管復(fù)雜了一些，但保證了每一步計(jì)算有依據(jù)，提高了對(duì)做題正確的把握。

二、推導(dǎo)冪函數(shù)求導(dǎo)公式

導(dǎo)數(shù)基本公式 是高等數(shù)學(xué)里最為熟悉的公式之一。查閱不同的教材可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)該公式的證明主要有兩種：一是用定義證明；二是利用隱函數(shù)求導(dǎo)。定義證明是很基礎(chǔ)的推導(dǎo)，但計(jì)算過程卻不簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)專業(yè)教材中可見；另一種證法卻很簡(jiǎn)單明了，有不少高等數(shù)學(xué)教材都有使用，證明如下，設(shè)

兩邊取對(duì)數(shù)

兩邊對(duì) 求導(dǎo)

所以

過程非常簡(jiǎn)單，算法的巧妙使得我們不想細(xì)看它的每一步。然而，這里要提出的是，這種推導(dǎo)縮小了 的范圍，第一步取對(duì)數(shù)默認(rèn)了冪函數(shù)及

取正值，而一般的冪函數(shù)也有負(fù)值的情況。

回憶一下冪函數(shù)的定義，設(shè) 為互質(zhì)的正整數(shù)。當(dāng) 為正有理數(shù)，記 ， 為奇數(shù)， ； 為偶數(shù)， 。當(dāng) 為負(fù)有理數(shù)，記 ，

為奇數(shù)， （非零實(shí)數(shù)集）； 為偶數(shù)， 。當(dāng) 為無理數(shù)， 。

當(dāng) ， 。

由冪函數(shù)定義，分情況討論其導(dǎo)數(shù)：

1.當(dāng) ，有 。兩邊取對(duì)數(shù)得 ，對(duì) 求導(dǎo)得 ，于是 （*）

2.當(dāng) ， （ 為奇數(shù)）。 有 符合公式（*）；

為偶數(shù)時(shí)， ，兩邊取對(duì)數(shù)得 ，對(duì) 求導(dǎo)得 ，

仍有 ； 為奇數(shù)時(shí)， ，兩邊同乘-1后取對(duì)數(shù)

，求導(dǎo)得公式（*）。

3.當(dāng) ， 為正有理數(shù)， 。當(dāng) 時(shí)，

適合公式（*）；當(dāng) 時(shí)， 適合公式（*）；當(dāng) 時(shí)，

適合公式（*）。

綜合以上討論，對(duì)任意冪函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)基本公式（*）成立。