真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的質(zhì)疑與思考

王晉遠(yuǎn)

“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)?！保ā缎W(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》第86頁）。關(guān)于分?jǐn)?shù)的定義，科學(xué)準(zhǔn)確。但對分?jǐn)?shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)問題，即真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的概念，經(jīng)過多年來的思考和探究，筆者有一些個(gè)人看法，現(xiàn)提出來供大家商討，以拋磚引玉，引發(fā)思考。

判斷真假分?jǐn)?shù)

筆者認(rèn)為：分子小于或等于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1或者等于1；分子大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1。理由如下：

從分?jǐn)?shù)的定義上看 把單位“1” 平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。如果從極端考慮，假設(shè)把單位“1”分m份，可以把分成的m份全部取完，就可以得到分?jǐn)?shù)，只是一個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)，它的值為1。如果按照現(xiàn)有教材對真分?jǐn)?shù)的定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)就叫做真分?jǐn)?shù)，那么，也是真分?jǐn)?shù)，而也是一種極端的情況，就是把“1”分成m份，一份也不取。如果是真分?jǐn)?shù)，那么也應(yīng)該為真分?jǐn)?shù)，應(yīng)為，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)都是極端的情況，也可以說它們兩個(gè)是一種特殊的真分?jǐn)?shù)。如果規(guī)定為假分?jǐn)?shù)，那么也應(yīng)該為假分?jǐn)?shù)，但的分子比分母小，按照真分?jǐn)?shù)的定義應(yīng)該為真分?jǐn)?shù)，同樣在極端情況得到的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，不可能一個(gè)為真分?jǐn)?shù)，一個(gè)為假分?jǐn)?shù)。

從分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)屬性上看 真分?jǐn)?shù)是把一個(gè)整體看作單位“1”，取出一部分后必然有剩余的一部分，整體是已知的單位“1”；一個(gè)真分?jǐn)?shù)都可以找到另外一個(gè)相對應(yīng)的真分?jǐn)?shù)。如走一段路，已經(jīng)走了全程的，那么就還剩下全程的沒有走。和相對應(yīng)。同樣道理，走一段路，已經(jīng)走了全程的，那么就還剩下全程的沒有走，和相對應(yīng)，只是和是特殊的真分?jǐn)?shù)。而假分?jǐn)?shù)的整體是未知的，任意一個(gè)假分?jǐn)?shù)都不能找到另外一個(gè)對應(yīng)的假分?jǐn)?shù)。因?yàn)榭梢哉业胶推鋵?yīng)的分?jǐn)?shù)，所以，不能為假分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系

從分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的關(guān)系看 當(dāng)分?jǐn)?shù)在表示分率的情況下，百分?jǐn)?shù)可以看作是特殊的分?jǐn)?shù)。比如，在種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)中，如果實(shí)驗(yàn)中全部發(fā)芽，種子的發(fā)芽率為100%，這是一個(gè)真實(shí)的事情，如果種子的發(fā)芽率為101%，這顯然是不可能的假事情。同樣的某班出勤率為100%，那么，缺勤率就為0%，如果說（100%）與（0%）是假分?jǐn)?shù)，顯然與生活實(shí)際是不相符合的。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)該與生活實(shí)際相統(tǒng)一。

從分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系上看 小數(shù)是分母分別是10、100、1000……的特殊分?jǐn)?shù)。目前，小學(xué)階段小數(shù)的分類按照整數(shù)部分可以分為純小數(shù)和帶小數(shù)。一個(gè)整數(shù)部分是零的小數(shù)叫做純小數(shù)，純小數(shù)比1小；一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分不是零的小數(shù)叫做帶小數(shù)或混小數(shù)，帶小數(shù)大于1或者等于1。顯然純小數(shù)與真分?jǐn)?shù)相對應(yīng)，帶小數(shù)與假分?jǐn)?shù)相對應(yīng)。由于0.9999999……是純小數(shù)，但0.9999999……等于1，顯然，純小數(shù)的大小是小于或者等于1，這樣就與新定義的真分?jǐn)?shù)相一致。由此可以看出，純小數(shù)的定義應(yīng)為：一個(gè)整數(shù)部分是零的小數(shù)叫做純小數(shù)，純小數(shù)小于或等于1，帶小數(shù)的定義應(yīng)為一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分都不是零的小數(shù)叫做帶小數(shù)或混小數(shù)，帶小數(shù)大于1。

從發(fā)展看自然數(shù)

自然數(shù)由數(shù)數(shù)開始。自然數(shù)最初的表示法是用一個(gè)符號代表每個(gè)物體。人類在認(rèn)識自然數(shù)時(shí)，最初是從1、2、3開始，0的認(rèn)識要晚一些，印度學(xué)者婆羅摩笈多于公元628年提出零的觀念，一般認(rèn)為是首個(gè)接近現(xiàn)代意義上的0。從歷史上看，歐洲人起初認(rèn)為0不是一個(gè)“自然”數(shù)。認(rèn)為自然數(shù)不包含零的其中一個(gè)理由是因?yàn)槿藗冊陂_始學(xué)習(xí)數(shù)字的時(shí)候是由“1、2、3、4、5……開始，而不是由“0、1、2、3、4、5……”開始的。國內(nèi)外數(shù)學(xué)界一種認(rèn)為0是自然數(shù)，另一種認(rèn)為0不是自然數(shù)。

目前，國外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了國際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》的《量和單位》中規(guī)定自然數(shù)包括0。按照原來真分?jǐn)?shù)的定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，那么，分子是0，分母不是0的分?jǐn)?shù)也是真分?jǐn)?shù)，只不過是一種特殊的真分?jǐn)?shù)。根據(jù)真分?jǐn)?shù)的特性，是真分?jǐn)?shù)，那么相對應(yīng)的也應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，只是和是一種特殊的真分?jǐn)?shù)，這與0是自然數(shù)，0也是一種比較特殊的自然數(shù)一樣，在數(shù)的整除部分的研究中，要將0除外，這也符合特殊與一般的辯證規(guī)律。

綜上分析與思考，筆者認(rèn)為：分子小于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1或者等于1；分子大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1。這樣分?jǐn)?shù)的分類才比較科學(xué)、準(zhǔn)確，也符合生活實(shí)際，同時(shí)前后知識才能相互融合，達(dá)成概念內(nèi)涵與外延上的一致性，也符合特殊性與一般性的辯證規(guī)律。

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（作者單位：陜西省咸陽市永壽縣教研室）