滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

顧曉華，江蘇省無(wú)錫市五愛(ài)小學(xué)教師，江蘇省第十一批特級(jí)教師，江蘇省第四期“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象。積極踐行“返璞歸真教數(shù)學(xué)”，讓小學(xué)數(shù)學(xué)課堂回歸教與學(xué)的自然狀態(tài)。領(lǐng)銜兩輪原無(wú)錫市北塘區(qū)“小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室”，主編了北塘區(qū)教育局名師工作室叢書(shū)《成長(zhǎng)的秘密：有你同行》。

[摘 要]讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教育最核心的任務(wù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要通過(guò)化繁為簡(jiǎn)、重視細(xì)節(jié)、游戲、故事、數(shù)學(xué)活動(dòng)、梳理和反思等策略，使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力，快樂(lè)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，自然而然地掌握數(shù)學(xué)思想方法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想；滲透；教學(xué)策略

畫(huà)龍點(diǎn)睛的故事中，點(diǎn)睛之后的龍有了靈性，從供人觀賞的壁上丹青變成了可以自由騰飛的超級(jí)神物。這個(gè)故事對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)是 ：數(shù)學(xué)知識(shí)、公式、解題模式，都只是雕蟲(chóng)小技，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，才是“點(diǎn)睛之筆”。

一、化繁為簡(jiǎn)，宏觀滲透

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過(guò)抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系[1]。對(duì)于這三大數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則。以蘇教版（2015年）五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”一課為例，其中兩道例題完整地體現(xiàn)了抽象、推理、模型三大數(shù)學(xué)思想。

【例1】擺1個(gè)三角形用3根小棒；擺2個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是2×3；擺3個(gè)三角形用的小棒根數(shù)是（ ）×3……三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)有什么關(guān)系？你能用一個(gè)式子表示嗎？如果用a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是（ ）×（ ）。

【例2】甲乙兩地之間的公路長(zhǎng)280千米，一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地。你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎？已經(jīng)行駛了50千米，剩下的千米數(shù)是280-（ ）；已經(jīng)行駛了b千米，剩下的千米數(shù)是（ ）-（ ）。如果b=120，剩下多少千米？如果b=200呢？

一是抽象。兩例中，不論是否已知要擺的三角形個(gè)數(shù)和行駛的路程，都可以用字母代表未知數(shù)，這是將確定與不確定，已知與未知簡(jiǎn)化和抽象的過(guò)程。

二是模型。學(xué)生需要從“擺三角形”“行路”等情境中抽象出三角形數(shù)與小棒數(shù)的關(guān)系、已行路程與剩下路程的關(guān)系，用語(yǔ)言表達(dá)這些關(guān)系，用含有字母的式子提煉這些關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

三是推理。推理發(fā)生在抽象與建立模型的過(guò)程中。例1中，從已知三角形個(gè)數(shù)時(shí)小棒的求法，推理出未知三角形個(gè)數(shù)時(shí)小棒的求法公式“a×3”，屬于歸納推理；例2中，根據(jù)歸納推理得出的求剩下距離的公式“280-b”，進(jìn)一步推理出行駛到120千米時(shí)，剩下160千米，屬于演繹推理。在歸納與演繹的反復(fù)應(yīng)用中，使學(xué)生初步領(lǐng)悟抽象與模型的數(shù)學(xué)思想。

二、深入分析，微觀滲透

除了三大宏觀數(shù)學(xué)思想，那些從微觀上細(xì)分出來(lái)的各種多樣化的數(shù)學(xué)思想方法也如影隨形般地滲透在教材中，與數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與各種實(shí)驗(yàn)活動(dòng)緊密聯(lián)系、融為一體。教師要在教材顯性內(nèi)容的背后，去挖掘、尋覓數(shù)學(xué)思想方法的“隱性支架”，讓它發(fā)揮應(yīng)有的作用。

如“小數(shù)數(shù)位順序表”的教學(xué)。教師首先介紹小數(shù)點(diǎn)的“發(fā)明史”，讓學(xué)生了解這個(gè)實(shí)心小圓點(diǎn)的來(lái)之不易。接著，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整數(shù)和小數(shù)部分進(jìn)行分析、比較，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)部分從最小計(jì)數(shù)單位“個(gè)”開(kāi)始，以“滿十進(jìn)一”的方式不斷疊加，直到無(wú)限，只有最小計(jì)數(shù)單位，沒(méi)有最大計(jì)數(shù)單位；而小數(shù)部分從最大計(jì)數(shù)單位“十分之一”開(kāi)始，以“退一作十”的方式不斷細(xì)分，直到無(wú)限，只有最大計(jì)數(shù)單位，沒(méi)有最小計(jì)數(shù)單位。無(wú)論是整數(shù)部分還是小數(shù)部分，每個(gè)數(shù)位都對(duì)應(yīng)唯一的計(jì)數(shù)單位，數(shù)位確定了，計(jì)數(shù)單位也就唯一確定了……這樣引導(dǎo)學(xué)生深入細(xì)致地觀察、剖析與比較，從微觀角度實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“對(duì)應(yīng)”與“無(wú)窮”思想的滲透。

三、游戲滲透

為了避免學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形成冰冷、枯燥、繁瑣的刻板印象，教師可選擇“親民”游戲，讓學(xué)生在活動(dòng)或探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

如三年級(jí)上冊(cè)“多彩的分?jǐn)?shù)條”一課，教師首先組織折紙活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)長(zhǎng)短不一的分?jǐn)?shù)條是怎樣制作出來(lái)的，通過(guò)直觀比較發(fā)現(xiàn)“1”被分割成越多份，得到的分?jǐn)?shù)條越短，反之則越長(zhǎng)。接著，通過(guò)“搶1”與“清零”游戲，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)條進(jìn)行不同的排列組合，進(jìn)一步觀察比較，使常用分?jǐn)?shù)單位之間、分?jǐn)?shù)單位與“1”之間的關(guān)系生動(dòng)起來(lái)，使學(xué)生對(duì)概念的理解更清晰而穩(wěn)固，為“分?jǐn)?shù)”在更高層次上的抽象奠定了基礎(chǔ)。此后，教師又進(jìn)一步提出：“還有一個(gè)神奇的‘1，它是用5個(gè)分?jǐn)?shù)條拼成的，猜一猜可能是哪些分?jǐn)?shù)？動(dòng)手拼一拼?！睂W(xué)生嘗試根據(jù)手中的分?jǐn)?shù)條列舉出可能的拼法，體驗(yàn)到了有序思考、分類(lèi)思考的好處，感受到“替換”的神奇。此時(shí)，教師再追問(wèn)：“如果跳出今天游戲里的分?jǐn)?shù)，能不能用5個(gè)相同的分?jǐn)?shù)條來(lái)鋪成‘1？”如此循序漸進(jìn)、拾階而上的游戲設(shè)計(jì)，讓學(xué)生“玩”得樂(lè)此不疲，也讓數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的指尖綻放。

四、數(shù)學(xué)史滲透

數(shù)學(xué)史中涉及的數(shù)學(xué)人物、事件、中外趣題或謎題等，包含著數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展的歷史，教師可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)滲透在教學(xué)中。

如五年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生很好奇“是誰(shuí)發(fā)明了‘小數(shù)這種數(shù)？”，教師就在教學(xué)中穿插了十進(jìn)制小數(shù)的發(fā)展歷史，使學(xué)生了解到，現(xiàn)存最早關(guān)于小數(shù)思想的論述出現(xiàn)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的《九章算術(shù)》里，記述了人們?yōu)槭裁葱枰拔⑿　钡臄?shù)，如何命名這種數(shù)，如何規(guī)定細(xì)分的原則等。這段故事也幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到小數(shù)其實(shí)是“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”的另一種表達(dá)方式，進(jìn)一步體會(huì)了這種表達(dá)方式的簡(jiǎn)潔與便利，并由此打通整數(shù)部分與小數(shù)部分計(jì)數(shù)單位之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使數(shù)學(xué)思想方法的“化繁為簡(jiǎn)”“納新入舊”“融舊于新”的神奇作用得以凸顯。

數(shù)學(xué)史涉及的一些謎題常常更能激發(fā)學(xué)生的興趣。教師可讓學(xué)生在設(shè)定的故事情境中去探索未知，觸摸數(shù)學(xué)思想方法的脈搏。如介紹“雞兔同籠”“李白喝酒”“牛吃草”“百僧吃百饅頭”“農(nóng)民割草”等歷史趣題，鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)放性地探究，嘗試用多種途徑、多元思考來(lái)解答同一問(wèn)題。

五、實(shí)踐活動(dòng)滲透

教材安排的綜合實(shí)踐活動(dòng)板塊，其實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解數(shù)學(xué)模型。在抽象與建模過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法形成的過(guò)程。

如六年級(jí)上冊(cè)“樹(shù)葉中的比”一課。教師出示了一簇大小、顏色各不相同的銀杏葉、春天的柳葉、四季常綠的松樹(shù)葉……請(qǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題。最后，學(xué)生的問(wèn)題聚焦到“樹(shù)葉的形狀究竟與什么有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？”并帶著這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)行了實(shí)際測(cè)量，通過(guò)收集、分析并比較數(shù)據(jù)，最終發(fā)現(xiàn)：樹(shù)葉的形狀與其長(zhǎng)寬比有關(guān)，當(dāng)這個(gè)比值接近時(shí)，無(wú)論它們是否來(lái)自同一棵樹(shù)，形狀都大致相似。學(xué)生從“不同的樹(shù)葉”中發(fā)現(xiàn)了“相同之處”，也以自然、默會(huì)的方式習(xí)得了數(shù)學(xué)中“去異存同”的抽象思想。

六、梳理回顧滲透

要讓學(xué)生“悟”到數(shù)學(xué)思想方法，教師還要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的梳理與回顧，在比較、辨析與交流中，讓思想凸顯出來(lái)。

如在學(xué)過(guò)小數(shù)加減計(jì)算方法后，學(xué)生提出了這樣的疑問(wèn)：“10-1.23”為什么對(duì)不齊了？顯然學(xué)生已獲得的“整數(shù)加減法用豎式計(jì)算末尾總是對(duì)齊”的舊經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)“小數(shù)加減法用豎式計(jì)算要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”發(fā)生了認(rèn)知沖突。于是教師將小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的豎式寫(xiě)在黑板上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較發(fā)現(xiàn)：無(wú)論整數(shù)加減法還是小數(shù)加減法，豎式計(jì)算時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)都是對(duì)齊的。如果把整數(shù)改寫(xiě)成小數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)整數(shù)加減法的末尾之所以能對(duì)齊，正是因?yàn)樗男?shù)點(diǎn)始終對(duì)齊。如果把小數(shù)加減法中參加運(yùn)算的兩個(gè)小數(shù)改寫(xiě)成相同位數(shù)的小數(shù)，其末尾也是能對(duì)齊的，如“10-1.23”可以改寫(xiě)成“10.00-1.23”。研究并未就此結(jié)束，在認(rèn)識(shí)到“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”其實(shí)就是“相同數(shù)位對(duì)齊”的另一種表達(dá)方式之后，教師引導(dǎo)學(xué)生深入探究“為什么相同數(shù)位要對(duì)齊”，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“同類(lèi)計(jì)數(shù)單位的數(shù)，才能相加減”，有效建立整數(shù)、小數(shù)加減運(yùn)算的模型[2]。

七、自省反思滲透

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己答錯(cuò)的題進(jìn)行自省反思，有利于促其感悟數(shù)學(xué)思想方法。如例3。

【例3】如圖，正方形被分成了一個(gè)平行四邊形和兩個(gè)完全相同的三角形。已知一個(gè)三角形的面積比平行四邊形的面積少700平方厘米，求三角形和平行四邊形的面積。

有兩位答錯(cuò)題目的學(xué)生作了如下反思。學(xué)生A：我要學(xué)會(huì)冷靜地整理?xiàng)l件，如果把條件記錄下來(lái)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“大白+小灰灰+小灰灰=1600；大白-小灰灰=700”。這樣，就很容易想到用替換的方法來(lái)解題了。（“大白”和“小灰灰”分別是教師以電影人物命名的圖中空白和陰影部分。）學(xué)生B：不要把簡(jiǎn)單的想復(fù)雜，其實(shí)只需要用替換的方法，把大平行四邊形給替換成“三角形+700”，大正方形里去掉700就是3個(gè)三角形的面積了?？梢?jiàn)，這兩位學(xué)生已經(jīng)能從數(shù)學(xué)思想方法的層面去評(píng)價(jià)自己，并改善自己的思維方式了。

綜上所述，要讓學(xué)生在做做游戲、聽(tīng)聽(tīng)故事、動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程中，激活并維持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力系統(tǒng)，通過(guò)梳理回顧所學(xué)、自省反思自悟，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[2]顏春紅.滲透模型思想形成計(jì)算技能[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2015（2）：52.

（責(zé)任編輯 郭向和）