一類偏微分方程邊值問題的有限差分格式

武文佳

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

一類偏微分方程邊值問題的有限差分格式

武文佳

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

對一類二維常系數(shù)橢圓型偏微分方程，建立了一種四階緊有限差分格式。證明了有限差分解的存在性和唯一性，用離散能量分析的方法給出了數(shù)值解的L2-范數(shù)和H1-范數(shù)誤差估計(jì)。

常系數(shù)橢圓邊值問題； 緊有限差分格式； 誤差估計(jì)

偏微分方程在自然科學(xué)、工程技術(shù)、力學(xué)、生物學(xué)以及化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。科學(xué)和工程中的許多數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述[1-3]，對偏微分方程的求解在科學(xué)研究過程中尤為重要。絕大多數(shù)偏微分方程的定解問題都無法給出精確的解析解，因此，微分方程的數(shù)值求解引起了學(xué)者廣泛的關(guān)注。

近年來，有限元方法、有限差分及譜方法等已經(jīng)成為微分方程數(shù)值求解的主要方法[4-9]。有限差分方法是用于求解微分方程定解問題最常用的數(shù)值逼近方法。本文對一類常系數(shù)二維橢圓型偏微分方程，建立了一種四階緊有限差分方法，并給出了相應(yīng)的理論分析。

1 四階有限差分格式的建立

本文主要研究如下二維常系數(shù)橢圓邊值問題：

(1)

式中，Ω?R2為矩形區(qū)域的組合；函數(shù)f(x,y,u)和φ(x,y)在定義域內(nèi)充分光滑，函數(shù)f(x,y,u)關(guān)于u為非線性的；a、b、c、d為不依賴于(x,y)的常數(shù)，且a>0,b>0。

(2)

引入如下中心差分算子:

(3)

用上述算子替換式(1)中的微分算子，得

(4)

式中，τi,j為截?cái)嗾`差，

(5)

(6)

式中，系數(shù)

(7)

定義有限差分算子

(8)

設(shè)σ=hx/hy為步長比，計(jì)算可得

(9)

式中，

(10)

且

(11)

(12)

顯然，由式(11)可知，存在正常數(shù)h*，使得對所有的hx

q(k1,k2)≥0,k1,k2=-1,0,1

(13)

上述性質(zhì)表明算子Ph為非負(fù)的。假設(shè)

(14)

同樣由式(10)、(11)可知，給定任意非負(fù)常數(shù)M，存在正常數(shù)h(M)，使得對所有的hx

(15)

在實(shí)際計(jì)算中，h(M)和h*的精確值可通過計(jì)算p(k1,k2)和q(k1,k2)得到[11]。

(16)

定理1表明，算子Lh具有連續(xù)算子同樣的極值原理。

2 有限差分解的存在性

本文用上、下解的方法研究緊有限差分格式(式(12))解的存在性和唯一性。首先給出差分格式(式(12))的上、下解的定義。

(17)

且引入如下記號:

(18)

(i,j)∈Ωh

引理1 假設(shè)式(14)成立，M為非負(fù)常數(shù)。若hx

(19)

證明 根據(jù)式(19)，結(jié)合文獻(xiàn)[13]中260頁的定理1可證引理1的結(jié)論成立。

由引理1可得到極大解和極小解的存在性結(jié)果如定理2所示。

定理 2 假設(shè)式(14)成立，如果

證明 取迭代初始值

通過Picard型迭代

(20)

(21)

(22)

再根據(jù)引理1可得

即

同理可證

這就證明了式(21)在m=1時(shí)的情形。最后，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對所有的m≥1，式(21)均成立。

由式(21)可知，極限

改革開放初期，上海主要電源點(diǎn)僅有閘北、楊樹浦、南市、閔行和吳涇電廠，電力供應(yīng)特別緊張。經(jīng)過40年的發(fā)展，上海電力供應(yīng)形成1/3市內(nèi)和2/3市外的總格局，基本解決了電力供應(yīng)保障的問題。

(23)

存在且滿足

(24)

3 有限差分解的唯一性

(25)

記

?xvi,j=(vi+1,j-vi,j)/hx

?yvi,j=(vi,j+1-vi,j)/hy

對任意的vi,j∈Vh,引入如下Sobolev范數(shù)：

(26)

簡單計(jì)算可知，對任意vi,j,ωi,j∈Vh，有

(27)

及

(28)

引理2 對任意vi,j∈Vh，有以下估計(jì)式：

(29)

證明

(2) 為了證明式(29)中第2個(gè)估計(jì)式，注意到

(30)

式中，

(31)

則由式(27)、(28)，有

(32)

且

(33)

由式(27)可知

(δxv,v)=-(v,δxv)

這說明

同理可得

因此有

(L3v,v)=0

(34)

將式(32)～(34)代入式(30)，可得到式(29)中第2個(gè)估計(jì)式。

(3) 根據(jù)式(27)可得

這就證明了式(29)的第3個(gè)估計(jì)式成立。

下面根據(jù)上述引理2，證明有限差分解的唯一性。

定理3 設(shè)定理2的條件成立，若

(35)

(36)

(37)

這表明

因此由引理2可得

再結(jié)合式(35)可知

即對所有的(i,j)∈Ωh，有

定理3表明，本文構(gòu)造的緊有限差分格式(式(12))的解是唯一的。

4 有限差分格式的誤差分析

(38)

(39)

(40)

式中，

(41)

則當(dāng)hx

故可得

由上述估計(jì)和引理2可知式(41)成立。

定理4表明，本文建立的緊有限差分格式具有四階精度。

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Finite Difference Scheme for a Class of Boundary Value Problems

WUWenjia

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306,China)

A fourth-order compact finite difference scheme is proposed for a class of two-dimensional elliptic boundary value problems with the constant coefficients. Existence and uniqueness of finite difference solutions are investigated. Convergence and the fourth-order accuracy of the proposed method are shown with respect to discreteL2-andH1-norm.

elliptic boundary value problem with constant coefficients; compact finite difference scheme; error estimation

2016 -11 -13

上海電機(jī)學(xué)院學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目資助(16JCXK02)

武文佳(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解，E-mail: wuwj@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2017)01 -0056 - 07

O 241.82

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