高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“預(yù)習(xí)”的若干思考

彭慧

[摘 要] “預(yù)習(xí)”是課堂教學(xué)的重要先導(dǎo)部分. 實(shí)踐表明，成功的“預(yù)習(xí)”有助于課堂教學(xué)效益的提升. 本文以高中數(shù)學(xué)為探究的載體，從高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“預(yù)習(xí)”環(huán)節(jié)出發(fā)，從三個(gè)方面闡述“預(yù)習(xí)”設(shè)置的具體手段與策略，以饗讀者.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；預(yù)習(xí)設(shè)置；思考

隨著新課程改革的不斷深化，數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)視角從“教師如何教”轉(zhuǎn)向“學(xué)生怎么學(xué)”，教師更多地關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能. 這就要求數(shù)學(xué)教師在理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育的價(jià)值與內(nèi)涵以及教育心理學(xué)的普遍規(guī)律的基礎(chǔ)上，更多地考察學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，以系統(tǒng)的觀點(diǎn)、辯證的觀點(diǎn)、發(fā)展的觀點(diǎn)解剖學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)與行為特征，總結(jié)其中的規(guī)律，以利進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程. 本文以司空見(jiàn)慣的“預(yù)習(xí)”環(huán)節(jié)為例，介紹筆者的做法.

預(yù)習(xí)內(nèi)容安排與目標(biāo)設(shè)定做到兩個(gè)精準(zhǔn)

預(yù)習(xí)內(nèi)容安排與目標(biāo)設(shè)定是預(yù)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)的基本問(wèn)題，預(yù)習(xí)過(guò)程的有效性、針對(duì)性與之密切相關(guān)，這要求做到兩個(gè)精準(zhǔn)，具體如下：

1. 對(duì)學(xué)生目前狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有精準(zhǔn)的了解

很多數(shù)學(xué)教育名家提倡教師多深入地了解學(xué)生的情況，這是站在教育哲學(xué)的高度所闡發(fā)的數(shù)學(xué)教育的真諦. 數(shù)學(xué)教師深入學(xué)生的途徑常有：?jiǎn)柧矸?、訪談法、課堂觀察法、課堂師生互動(dòng)法、測(cè)驗(yàn)法、作業(yè)批改評(píng)析法、學(xué)生自我總結(jié)報(bào)告法等.

例如，在“兩角和、差的正弦函數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師可通過(guò)批改前一課時(shí)“兩角和、差的余弦函數(shù)”的課后學(xué)生作業(yè)，了解到學(xué)生對(duì)“兩角和、差的余弦函數(shù)”主要公式的基本含義、用法、變式是否已經(jīng)理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用，對(duì)其較高級(jí)的運(yùn)用技巧是否已經(jīng)真正掌握. 數(shù)學(xué)教師也可以通過(guò)前一課時(shí)教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)的臨場(chǎng)觀察、師生互動(dòng)了解到學(xué)生群體中對(duì)于“兩角和、差的余弦函數(shù)”的公式的推導(dǎo)過(guò)程和理解的程度，是僅僅限于形式上接受了教師的講解，還是已經(jīng)能體悟出其推導(dǎo)過(guò)程中的向量思想與三角函數(shù)思想之間的關(guān)系，尤其對(duì)于向量的內(nèi)積的理解和運(yùn)用的熟練程度如何，是否足以完成本課時(shí)的預(yù)習(xí)任務(wù).

2. 對(duì)預(yù)習(xí)的內(nèi)容、設(shè)定的目標(biāo)在整個(gè)階段性數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的位置具有精準(zhǔn)的把握

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程可能存在個(gè)體性差異，但是在群體發(fā)展過(guò)程中循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上是共性. 數(shù)學(xué)教學(xué)體系經(jīng)過(guò)多年的改革以及教師個(gè)性化教學(xué)過(guò)程的多年磨合，形成了一定的架構(gòu). 這種架構(gòu)中循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上的共性表現(xiàn)得尤其明顯，每一課時(shí)預(yù)習(xí)的內(nèi)容、設(shè)定的目標(biāo)在整個(gè)階段性數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的位置相對(duì)固定，具有其獨(dú)特的作用；反之，預(yù)習(xí)順序的混亂對(duì)教學(xué)過(guò)程而言不僅會(huì)帶來(lái)教學(xué)實(shí)施的困難，還會(huì)增加學(xué)生額外的學(xué)習(xí)難度.

例如，上述提及的“兩角和、差的正弦函數(shù)”數(shù)學(xué)課，教師布置預(yù)習(xí)任務(wù)時(shí)，可循序漸進(jìn)地布置任務(wù)：重新閱讀課本中互余、互補(bǔ)的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系；回顧“兩角和、差的余弦函數(shù)”的主要推論，簡(jiǎn)要證明這些結(jié)論；思考將“互余、互補(bǔ)的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系”與“兩角和、差的余弦函數(shù)”結(jié)合起來(lái)將會(huì)得到什么結(jié)果，這一過(guò)程的推理如何展開(kāi)，得到的這一結(jié)果能否像“兩角和、差的余弦函數(shù)”那樣通過(guò)向量的基本定義和運(yùn)算規(guī)律完成推理，能否嘗試從幾何角度給予“兩角和、差的余弦函數(shù)”“兩角和、差的正弦函數(shù)”一個(gè)不同于課本的推理.這些預(yù)習(xí)問(wèn)題的設(shè)定，次序具有不可逆性，問(wèn)題的呈現(xiàn)具有遞進(jìn)關(guān)系，是因?yàn)檫@些問(wèn)題涉及的知識(shí)、方法的學(xué)習(xí)進(jìn)程對(duì)應(yīng)的次序已經(jīng)在教學(xué)中相對(duì)固定下來(lái)，打亂預(yù)習(xí)的這些問(wèn)題的秩序，學(xué)生在預(yù)習(xí)中的思維會(huì)變得混亂. 此外，通過(guò)預(yù)習(xí)促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化知識(shí)之間聯(lián)系的目的將失去. 從這個(gè)案例中也可以看出，對(duì)預(yù)習(xí)的內(nèi)容、設(shè)定的目標(biāo)在整個(gè)階段性數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的位置具有精準(zhǔn)的把握是極為重要的.

預(yù)習(xí)難度的設(shè)置做到兩個(gè)合適

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)習(xí)難度設(shè)置，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的速度、效益具有不可忽視的影響：預(yù)習(xí)難度過(guò)低，則無(wú)法起到調(diào)動(dòng)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的作用，也無(wú)法起到復(fù)習(xí)、回顧、對(duì)新數(shù)學(xué)知識(shí)和新數(shù)學(xué)方法質(zhì)疑的目的. 預(yù)習(xí)過(guò)程過(guò)難，造成預(yù)習(xí)時(shí)學(xué)生無(wú)法依靠自己的努力基本解決預(yù)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)果要么是花費(fèi)巨大精力仍然解決不了數(shù)學(xué)問(wèn)題，預(yù)習(xí)的進(jìn)度很慢，導(dǎo)致整個(gè)預(yù)習(xí)任務(wù)的剩余部分不能完成；要么導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平中等或者中等以下的學(xué)生直接放棄預(yù)習(xí)，喪失了預(yù)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值. 所以，預(yù)習(xí)難度的設(shè)置應(yīng)該做到兩個(gè)合適，具體如下：

1. 相對(duì)于全體學(xué)生群體的數(shù)學(xué)平均水平合適

班級(jí)學(xué)生的個(gè)體數(shù)學(xué)水平存在差異性，一般情況下很難磨平這一差異，這符合教育心理學(xué)的基本規(guī)律. 成功的數(shù)學(xué)教學(xué)能夠讓全體學(xué)生獲得相對(duì)于自己原有水平的發(fā)展提高. 數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的預(yù)習(xí)難度設(shè)置，不可能具體到針對(duì)每一個(gè)學(xué)生，做好數(shù)學(xué)差異化教學(xué)的前提是讓個(gè)體在整體中獲得數(shù)學(xué)發(fā)展的空間. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的預(yù)習(xí)難度設(shè)置應(yīng)該以貼近全體學(xué)生群體的數(shù)學(xué)平均水平最為合適，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生獲得自由向上的空間，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生則可以著重于基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)方法進(jìn)行預(yù)習(xí)，少數(shù)存在的疑難點(diǎn)留待課堂隨堂學(xué)習(xí)，預(yù)習(xí)的苦難并不構(gòu)成后續(xù)學(xué)習(xí)的障礙.

例如，“復(fù)數(shù)”的定義及其基本運(yùn)算規(guī)律教學(xué)后，通過(guò)批改作業(yè)、課堂提問(wèn)等環(huán)節(jié)，教師了解到學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況之后，可以就作業(yè)的平均水平布置下一課時(shí)的預(yù)習(xí)任務(wù)的難度設(shè)置. 一般難度設(shè)置為根據(jù)復(fù)數(shù)的定義、基本規(guī)律理解幾個(gè)常見(jiàn)的利用這兩者能解決的基本計(jì)算題、具有幾何意義的常見(jiàn)基礎(chǔ)問(wèn)題；而個(gè)別數(shù)學(xué)能力超長(zhǎng)的學(xué)生則可以引導(dǎo)其閱讀《復(fù)數(shù)與幾何》（中國(guó)科技大學(xué)龔昇教授著），學(xué)習(xí)有障礙的學(xué)生可以布置其重新回到前一課時(shí)的學(xué)習(xí)中，減少具有幾何意義的復(fù)數(shù)思考題.

2. 相對(duì)于預(yù)習(xí)后接著將要完成的新授數(shù)學(xué)課堂的平均難度合適

近年來(lái)，隨著高考能力命題的趨勢(shì)日益明顯，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師又走向了另一個(gè)極端，片面追求數(shù)學(xué)教學(xué)的高速度、高難度. 在預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)的難度設(shè)置中，也隨意提高難度. 比如，學(xué)習(xí)了“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”之后，準(zhǔn)備完成“等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用”這一主題的教學(xué). 有的教師在預(yù)習(xí)的難度設(shè)置中出現(xiàn)了涉及變系數(shù)的差分方程的數(shù)列問(wèn)題，而這類問(wèn)題在高數(shù)中有一定的解題范式，但是在高中則由于形式性技巧太多，背后的數(shù)學(xué)思想則很簡(jiǎn)單（就是代數(shù)變形加上變量的整體代換），解算煩瑣，一般不是高中數(shù)學(xué)的主干. 從數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)學(xué)習(xí)的效果來(lái)看，這樣的設(shè)置在難度上極為不妥. 實(shí)際上，通常的班級(jí)平均難度水平主要是運(yùn)用兩類數(shù)列的基本關(guān)系求解常見(jiàn)的一次的差分關(guān)系，教師可以布置一道與之相關(guān)的問(wèn)題讓學(xué)生在預(yù)習(xí)中動(dòng)動(dòng)腦子，激發(fā)興趣.

預(yù)習(xí)結(jié)果的反饋?zhàn)龅絻蓚€(gè)利用

預(yù)習(xí)，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的先導(dǎo)部分，起著復(fù)現(xiàn)相關(guān)舊數(shù)學(xué)知識(shí)、嘗試了解或理解相對(duì)于學(xué)生而言的“新”數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)“新”的數(shù)學(xué)方法、感悟“新”的數(shù)學(xué)思想的作用. 預(yù)習(xí)的結(jié)果通過(guò)恰當(dāng)反饋，可以成為教師組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)入新授數(shù)學(xué)課堂階段學(xué)習(xí)的有益的指南. 因此，預(yù)習(xí)不僅對(duì)學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義重大，預(yù)習(xí)的反饋更是會(huì)對(duì)整個(gè)學(xué)生群體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程產(chǎn)生積極的意義，這將對(duì)教師的教學(xué)行為的有效性提供必要的基礎(chǔ). 在預(yù)習(xí)結(jié)果的反饋中，尤其值得注意兩個(gè)利用.

1. 充分利用預(yù)習(xí)中產(chǎn)生的具有群體指標(biāo)意義的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

現(xiàn)代的班級(jí)授課制，留給數(shù)學(xué)教師安排的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)空資源是有限的，時(shí)段是固定的、預(yù)知的. 班級(jí)學(xué)生的人數(shù)眾多，決定了數(shù)學(xué)教師的教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)、教學(xué)行為的實(shí)施，首先必須對(duì)學(xué)生群體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有意義. 數(shù)學(xué)教學(xué)行為的效果是先看能否使得絕大多數(shù)學(xué)生通過(guò)教師引領(lǐng)的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)、合作探究等行為獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)、方法的掌握以及數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟與適當(dāng)運(yùn)用. 而事前預(yù)習(xí)中產(chǎn)生的具有群體指標(biāo)意義的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以為課堂行為的規(guī)劃、調(diào)整提供可靠的依據(jù).

例如，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查學(xué)生對(duì)“集合”這一板塊的預(yù)習(xí)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生感到困難的是在集合的基本關(guān)系的理解上，此外對(duì)于運(yùn)用集合思想靈活地建立相應(yīng)的解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型存在困難，說(shuō)明教師不必在集合的基礎(chǔ)定義上進(jìn)行過(guò)多的、死板的文字性的解釋. 關(guān)鍵是讓學(xué)生理解，更應(yīng)該將更多的教學(xué)時(shí)空資源留給集合之間的基本關(guān)系以及利用集合這一重要概念解決實(shí)際問(wèn)題上，幫助學(xué)生從實(shí)例的解決中加深對(duì)集合的理解，這也符合辯證法中的“認(rèn)識(shí)過(guò)程往往是螺旋式上升的過(guò)程”這一基本規(guī)律. 有些數(shù)學(xué)教師往往指望一步到位解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題，這是不可取的，也是做不到的.

2. 留心個(gè)別存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的學(xué)生的預(yù)習(xí)結(jié)果

正如很多教育家強(qiáng)調(diào)的，重視個(gè)別存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的學(xué)生，并不是強(qiáng)求一定要通過(guò)教師的努力讓他們與其他學(xué)生達(dá)到相同水平，因?yàn)檫@往往做不到，學(xué)生之間總有個(gè)性化的差異. 但是，數(shù)學(xué)教師通過(guò)預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)事前了解了個(gè)別存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的學(xué)生的預(yù)習(xí)結(jié)果，可以做到在教學(xué)中的某些環(huán)節(jié)通過(guò)技術(shù)性教學(xué)手段，讓這些孩子主動(dòng)揭示自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難之處，積極參與班級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的互動(dòng)中. 既可以活化整個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛，更為整體平均水平的提高準(zhǔn)備了條件，變相促進(jìn)了整體教學(xué)基點(diǎn)的提高，為下一輪新內(nèi)容的教學(xué)提供了保證. 讓每個(gè)學(xué)生獲得具有個(gè)性化的數(shù)學(xué)水平提高，這也是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì).

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教育中，對(duì)于預(yù)習(xí)的作用也不能過(guò)于拔高. 總體來(lái)說(shuō)，必須能面對(duì)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，解決學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)客觀存在的問(wèn)題，這才是預(yù)習(xí)在數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究的視角下?lián)碛械恼嬲齼r(jià)值.