以形驅(qū)數(shù)，高中數(shù)學教學的思路及延伸思考

朱斌

[摘 要] 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學的基本特征，研究形與數(shù)，還需要研究學生在學習過程中所使用的思維方式. 事實證明，與形相關(guān)的未必是形象思維，而與數(shù)相關(guān)的也未必是抽象思維. 具體的要根據(jù)學生的學習反饋來推理、判斷學生實際使用的思維方式. 考慮到學生更多的習慣形象思維的特點，因此在數(shù)學教學中建立“以形驅(qū)數(shù)”的思路，可以取得較好的教學效果.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；以形驅(qū)數(shù)；教學反思

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學的重要思想，也是數(shù)學教學的重要內(nèi)容，從概念內(nèi)涵角度講，數(shù)形結(jié)合強調(diào)的是數(shù)學研究的兩個基本對象“數(shù)”與“形”，在數(shù)學學習過程中的相互作用，在強調(diào)“結(jié)合”這一要求的時候，教師的第一反應往往是由于概念構(gòu)建或問題解決的需要，讓數(shù)與形同時發(fā)揮相應的作用. 這從知識發(fā)生的邏輯角度來看是合理的，也是必要的. 但考慮到教學是一種特殊的活動，現(xiàn)代教學理念強調(diào)以學定教，那在學生的數(shù)學學習過程中，數(shù)形是不是同步發(fā)展的呢？在筆者看來，事實并非如此，盡管我們認為高中數(shù)學教學中學生的思維更多的是抽象思維，但實際上高中學生在數(shù)學學習的過程中，形象思維往往發(fā)揮著重要的作用，某種程度上還是思維方式邁向抽象思維的基礎(chǔ)，而對數(shù)與形的思維加工方式顯然是不同的，數(shù)是抽象的存在，必定以抽象思維方式為主，而形則是形象的存在，離不開形象思維的支撐. 在教學中可以嘗試以形驅(qū)數(shù)，從而讓更多的學生能夠在自身思維方式的作用之下，獲得更好的學習效果.

以形驅(qū)數(shù)，更符合學生的認知規(guī)律

研究表明，高中學生在數(shù)學學習中更多習慣使用的還是形象思維，這與傳統(tǒng)的認識可能有所不同，事實上當我們認為學生的數(shù)學學習是由抽象思維支撐的時候，更多的是從數(shù)學學科特點出發(fā)的，而不是從學生的認知實際出發(fā)的.學習心理專家研究表明，人在學習過程中，更習慣以形象思維方式來進行，如果遇到陌生情境或較難的問題的時候，更是如此. 如果此過程中形象思維無法發(fā)生作用，那學習就不會發(fā)生，就會出現(xiàn)“學困”的情形. 這里可以通過一個具體的例子來說明.

在“函數(shù)的概念和圖像”的教學中，我們總認為概念是由文字和公式描述的，而圖像是由圖來描述的，因此圖像更容易為學生所接受. 而實際上學生在學習的過程中，恰恰是對圖像的加工會出現(xiàn)更大的困難，這是為什么呢？

分析函數(shù)的概念可知，函數(shù)的概念描述是“一般地，設A，B是兩個非空數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù).”這段描述不可謂不生澀，但學生理解起來卻不會有太大的困難，為什么，因為在理解這個事例的時候，筆者讓學生結(jié)合具體的事例來進行，看到“A，B是兩個非空數(shù)集”，就想到自由落體運動中的路程與時間，看到“對應法則f”，就對應自由落體運動的關(guān)系式y(tǒng)=……這樣，學生在理解這段文字描述的時候，其實大腦中是有自由落體的表象的. 這個表象恰恰是形象思維加工的對象，也就是說此過程中，形象思維發(fā)揮著重要的作用，正是因為形象思維的支撐，所以學生理解函數(shù)的定義并不顯得十分的困難.

而當學生在理解函數(shù)的圖像的時候，學生的思維方式是怎樣的呢？圖一定對應著形象思維嗎？筆者曾對多名學生做過口頭調(diào)查，并結(jié)合他們新學函數(shù)圖像知識與解題的過程進行判斷，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，事實并非完全如我們所想象的那樣.因為在新課上，函數(shù)圖像常常是怎樣形成的呢？是用現(xiàn)代教學手段如計算機中的excel軟件生成的，這個過程看似形象，其實卻與學生的構(gòu)思存在較大的距離. 學生會怎樣認識函數(shù)圖像？用學生的話說：我想知道函數(shù)為什么需要，又為什么可以用圖像表示？圖像對于理解函數(shù)又有什么作用？在學習的過程中似乎沒有看出來……針對學生的這一困惑，筆者分析這部分學生在構(gòu)建對函數(shù)圖像的認識的時候，他們沒有與函數(shù)的本質(zhì)對應起來，他們不知道圖像其實也是一種描述變量與函數(shù)關(guān)系的方式. 于是筆者就引導學生認識：函數(shù)是做什么用的？是描述兩個集合之間滿足唯一對應關(guān)系時的變化的. 函數(shù)是用什么來描述的？是用文字語言描述的. 文字語言是抽象的，要想更形象地看出函數(shù)與變量的對應關(guān)系，有沒有更形象的方式？學生自然想到圖像. 教師應當追問：為什么圖像也可以描述函數(shù)呢？那就要看圖像的橫軸與縱軸分別表示什么？其又是如何顯示變量的變化，以及函數(shù)隨著變量的變化而變化的……

事實證明，通過這樣的分析，學生頭腦中函數(shù)圖像的理解就不是生硬的，他們準確地把握到了函數(shù)的圖像其實只是描述兩個非空數(shù)集在對應法則作用下的對應關(guān)系的另一種方式. 而事實上，一旦學生這樣理解，就意味著他們的思維方式不再是純粹的抽象思維，而是在運用形象思維理解函數(shù)文字定義基礎(chǔ)上，進一步通過形象思維完成對函數(shù)圖像理解的思維方式的遷移. 從這個角度講，達到了以形驅(qū)數(shù)的效果，其是符合學生的認知規(guī)律的.

以形驅(qū)數(shù)，促進數(shù)學知識更好構(gòu)建

以形驅(qū)數(shù)是面向?qū)W生的思維方式而提出的教學思路，這一思路在數(shù)形同在的數(shù)學知識構(gòu)建中，有著很好的促進作用，這是已經(jīng)為筆者的實踐所證明了的. 現(xiàn)以一個例子來說明：

“橢圓的標準方程”是高中數(shù)學圓錐曲線中的基礎(chǔ)內(nèi)容，其上接學生已經(jīng)熟悉的圓的方程，下啟雙曲線等圓錐曲線的學習，本課的學習在數(shù)學方法與圓錐曲線這一章的思路構(gòu)建中有著重要的作用. 從數(shù)形角度來看，橢圓本身是屬于“形”的，且此形對于學生而言具有某種前概念（當然并不完善，需要經(jīng)由同化的過程完成構(gòu)建），而方程是屬于“數(shù)”的，用數(shù)的關(guān)系來表示形，在橢圓標準方程這一內(nèi)容的學習中表現(xiàn)得淋漓盡致. 而學生的過程，亦可由以形驅(qū)數(shù)展開.

第一步，建構(gòu)橢圓概念（具體略），待學生認識到橢圓并非隨便將圓壓扁，而是具有一種特殊規(guī)則的曲線時，學生自然就產(chǎn)生問題：一個滿足什么條件的圓才是真正的橢圓？這個過程也可以舉出實例，如如何制造出真正的橢圓面的碎石機等，以驅(qū)動學生更好地探究何為真正的橢圓.

第二步，讓學生建立準橢圓表象. 此時，學生是知道橢圓是吻合某個規(guī)則的，但學生又不知道具體的規(guī)則是什么？因此只能構(gòu)建一個準橢圓的表象，這個表象可以由教師呈現(xiàn)生活中的橢圓線或面，然后讓學生通過回憶的方式去建立表象. 建立表象的過程，就是運用形象思維加工學習對象的過程，此過程中，形象思維可以得到充分的運用. 其后，提出問題：怎樣建立橢圓的標準方程？

第三步，建立關(guān)于橢圓標準方程的想象表象. 想象表象與一般表象不同，其是學生在已有事實的基礎(chǔ)上想象而成，其具有創(chuàng)造性性質(zhì). 而從思維的角度來看，其以形象思維為基礎(chǔ)，以抽象思維促進其中創(chuàng)新成分的形成. 學生要構(gòu)建出的想象表象應當具有先后順序：先是在剛才建立的橢圓表象的基礎(chǔ)上引入坐標系，使得橢圓的中心與直角坐標系的原點重合. 其后，根據(jù)此前已經(jīng)學過的橢圓的概念，在x軸上確定兩個焦點的位置，然后根據(jù)橢圓的定義，建立橢圓上任意一點P到兩個焦點距離等于2a的等量關(guān)系. 這是定義演繹的產(chǎn)物，屬于邏輯推理的結(jié)果，從思維的角度來看，屬于抽象思維. 實際上在此過程中，學生的思維已經(jīng)完成從形象向抽象的轉(zhuǎn)變.

第四步，對剛才建立的等量關(guān)系式進行抽象加工，使之演繹成標準方程的形式. 具體的情形，數(shù)學同行都比較熟悉，這里不贅述，只從思維角度進行分析. 顯然這是一個更高水平的推理過程，其中運用到移項、平方等基本的數(shù)學處理方式，同時必須向?qū)W生表明的是：既然是尋找標準方程，那一定有一個標準的形式，這是標準方程賴以存在的形式基礎(chǔ). 有了這樣的認識，最終的橢圓標準方程的建立過程，就比較順利.

在以上四個步驟當中，學生的思維完成從形象到抽象的轉(zhuǎn)換，思維加工的對象也從具體的“形”轉(zhuǎn)向了以方程形式呈現(xiàn)的“數(shù)”，這可以說是一個比較標準的以形驅(qū)數(shù)的學習過程，也正是這個過程，驅(qū)動了學生有效的橢圓標準方程的構(gòu)建.

以形驅(qū)數(shù)，樹立數(shù)學教學科學認識

回過頭來再思考以形驅(qū)數(shù)的教學思路，可以發(fā)現(xiàn)這是一個形神兼顧的教學思路. 從形的角度來看，其立足于數(shù)學研究的兩個最基本的對象：數(shù)與形；從神的角度來看，其從學生數(shù)學學習過程中的思維方式入手，著重關(guān)注了學生習以為常的形象思維方式，以及在數(shù)學問題驅(qū)動之下的抽象思維方式.

如果說這個思路有值得注意的地方，那就是對學生學習方式的確定是不以教師的想象為主的，而是以事實為依據(jù)的；不是通過數(shù)學知識的形式去判斷學生的思維方式，而是以學生的學習過程中的表現(xiàn)、反饋來判斷學生的思維方式的. 這種尊重事實、強調(diào)從學生學習反饋來判斷學習過程的思路，恐怕是高中數(shù)學教學中需要重視的. 在筆者看來，這也是一個樹立科學的教學認識的過程，如果對學生的學習認識是有偏差的，那所選擇的教學思路肯定也就容易出問題.