字斟句酌找問題

師者，傳道授業(yè)解惑也?；笳?，問題也?？梢哉f我們的教學就是在不斷地發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中進行和發(fā)展下去的。教學中，應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的講授和指導，也有學生的自主探索與合作交流。教師要創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程。問題是最好的老師，我們作為老師首先要引領學生學會去發(fā)現(xiàn)問題，進而解決問題，最高層次讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題?？梢哉f培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要。如何發(fā)現(xiàn)問題，就需要我們在字里行間去字斟句酌地找問題。

例如在講授函數(shù)的概念時，首先要讓學生理解函數(shù)的定義：一般地，設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A。在函數(shù)y=f（x），x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。這里引導學生思考問題：為什么A，B是兩個非空的數(shù)集？集合A中任意的數(shù)都有唯一的像，那么A中的不同元素（數(shù)）的像相同嗎？會不會出現(xiàn)A中多個元素同時對應B中的某一個元素的情形；如何理解某種對應關系？再有我們在講這個問題時是從A來著眼的，那么對于集合B有無特別的要求？比如集合B中有沒有元素（數(shù)）不被A中元素所對應？如果再能從這個方向加以闡釋，就更能加深對概念的理解。為更好的理解概念，舉一例：已知集合A={1，2，3，4}，集合B={1，2，3，4，5}，問從A到B能構成多少個不同的函數(shù)？顯然在函數(shù)的定義下，集合A中任意一個數(shù)在集合B中都有唯一確定的數(shù)與之對應，那么集合A中的數(shù)1可以對應集合B中的任意一個數(shù)，即有5種不同的選擇，同樣另外三個數(shù)每個也都有同樣的5種不同的選擇，從而構成了5×5×5×5=54=625個不同的函數(shù)。即若1對應5，2，3，4也可以對應5，當然也可以對應其它的任何一個數(shù)，但只能對應一個數(shù)。在這個定義下，集合B中的5個數(shù)中最多有4個數(shù)能被A中的元素對應，最少有一個。這里我們就可以理解為A中元素都有唯一的像，B中元素不一定的原像，若有，可能不唯一。另就對應關系而言，“某種確定的”就意味著可能這種關系是確定的，是存在的，能不能準確的寫出來不一定。如上例A中1，2，3，4分別對應B中的1，2，3，4時，這個對應關系可以寫成y=f（x）=x，x∈A，而如果打亂這種對應，如1對應2，2對應1，3對應4，4又對應2，這時這種對應關系就不易用一個明確的表達式寫出來，但這種對應關系是確定的，存在的，只不過無法寫出來罷了。這里引導學生去對概念進行逐字逐句，準確、細致的分析，有助于培養(yǎng)學生的問題意識，有助于學生思維能力的培養(yǎng)和提高。

再如問題：若函數(shù)y=lg（x2+2ax+3）的定義域為R，求a的取值范圍，若值域為R呢？顯然定義域為R時，學生理解對數(shù)式中真數(shù)所對應的內函數(shù)u（x）=x2+2ax+3只須△<0即可，從而可求出a的取值范圍為{a|-[32}，值域為R，而函數(shù)②的定義域為R，但值域卻為[0，+∞），不為R，為什么？函數(shù)①中的內函數(shù)x2-3x+2的本來的范圍是[-[14]，+∞），但由于它作為對數(shù)式的真數(shù)，只能為正數(shù)，故這個范圍中的所有負數(shù)和零被定義域限制掉了，只剩下了所有的正數(shù)，即它取到了所有的正數(shù)，這樣值域才是R的，而函數(shù)②中的內函數(shù)x2-4x+5的范圍是[1，+∞），雖然都是正數(shù)，但不是所有正數(shù)，故值域只能是[0，+∞）。這兩個函數(shù)的定義域和值域能不能看出所求函數(shù)y=lg（x2+2ax+3）的值域為R需要什么條件？到這里相信學生應該能夠理解只須△≥0即可，則可求出a的取值范圍為{a|a≤-[3或a≥3]}。

又如函數(shù)周期性定義中：對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f（x+T）=f（x），那么就稱y=f（x）為周期函數(shù)，稱為T這個函數(shù)的周期。在這個定義中我們要關注幾個關鍵詞“定義域”，“存在”，“非零常數(shù)T”。在這里我們討論函數(shù)的周期性，一般指的是連續(xù)函數(shù)。第一個詞“存在”，就意味著有的函數(shù)有，有的函數(shù)沒有，并不是所有函數(shù)都是周期函數(shù)。第二個詞“非零常數(shù)T”，既然是非零常數(shù)，那么這個常數(shù)T是正是負還是可正可負？又由什么來決定的呢？第三個詞是定義域，定義域是什么形式的，是（-∞，+∞），還是（a，+∞）還是（-∞，a），還是（a，b）？在高中階段，周期問題要求不高，了解就行，但還是需要分析一下，當非零常數(shù)T為正時，定義域不能是（-∞，a），而應為（-∞，+∞）或（a，+∞），為什么？當T為負時，定義域不能為（a，+∞），而只能為（-∞，+∞）或（-∞，a），這里可以說定義域與這個常數(shù)T是相互制約的。例如函數(shù)y=f（x）的定義域為（3，+∞），這時周期只有為正數(shù)時才能使對定義域內的任何數(shù)x，f（x+T）=f（x）才能成立，而如果這個周期為負值，如T=-2，那么對定義域內的數(shù)4，就會有f（4+（-2））=f（4）出現(xiàn)，由定義域為（3，+∞），f（-2）是沒有意義的。從這點來說，平時我們說的若T是一個函數(shù)的周期，那么T的整數(shù)倍也是函數(shù)的周期，就是假命題了。

從以上三例可以看出，要想發(fā)現(xiàn)問題進而解決問題，首先就需要我們深刻理解問題，充分理解它的本質，發(fā)掘它的深層含義。唐人盧延讓《苦吟》中有“吟安一個字，捻斷數(shù)根須”，我們現(xiàn)在雖然不需去捻斷數(shù)根須，但也要努力做到在字里行間去思考，逐字逐句去分析，也就是所謂的字斟句酌找問題。

作者簡介：

常坤（1974.10—），性別：男；籍貫：安徽省蚌埠市懷遠縣；最高學歷：本科；郵編：233400；單位：安徽省懷遠縣第三中學。