基于整體性思考的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

王麗

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)有線性與整體性兩種思路，前者強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遞進(jìn)性建構(gòu)，后者強(qiáng)調(diào)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)中需要的知識(shí)與能力的立體性. 后者更能夠準(zhǔn)確分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要什么，因而能夠給予更準(zhǔn)確的指導(dǎo)，更能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；整體性；線性

初中數(shù)學(xué)教學(xué)存在一個(gè)基本矛盾，那就是數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與課時(shí)知識(shí)遞進(jìn)性之間的矛盾. 也就是說，數(shù)學(xué)知識(shí)本身是立體的，并不是線性的. 比如我們都知道數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，初中階段的數(shù)在多個(gè)知識(shí)點(diǎn)中都有體現(xiàn)，從最初的有理數(shù)（以阿拉伯?dāng)?shù)字加上符號(hào)表示），到后面描述數(shù)之間關(guān)系的函數(shù)，以及方程. 那么學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，怎樣建構(gòu)才是有效的？又如，作為數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)建模，其是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)方法，在眾多的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中也都有運(yùn)用，其又應(yīng)當(dāng)如何實(shí)施有效的教學(xué)呢？更重要的是，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是一個(gè)線性的循序漸進(jìn)的過程，以時(shí)間為序的教學(xué)決定了課堂上很難有立體的教學(xué)行為——一個(gè)知識(shí)的建構(gòu)不可能“東拉西扯”地將所有聯(lián)系到的知識(shí)都納入建構(gòu)過程. 如何認(rèn)識(shí)這樣的矛盾？筆者的觀點(diǎn)是：線性教學(xué)順序是客觀存在的，但教師心中要有數(shù)學(xué)教學(xué)的整體觀. 基于整體觀去實(shí)施教學(xué)，尤其是在學(xué)生有認(rèn)知需要的時(shí)候，及時(shí)提供相應(yīng)的知識(shí)聯(lián)系，這應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)課堂上教師的職業(yè)自覺.

從整體性視角研究初中數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)

通常情況下我們研究學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，往往是從學(xué)生接納某個(gè)具體的概念或規(guī)律本身出發(fā)的，譬如“反比例函數(shù)”的教學(xué)，在建構(gòu)其概念的時(shí)候，往往就是默認(rèn)學(xué)生已經(jīng)掌握了反比例概念、函數(shù)的概念，再通過一定的示例，得出反比例函數(shù)的基本形式，然后定義其為反比例函數(shù)，最后進(jìn)行應(yīng)用. 其實(shí)很多數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)都遵循著這樣的模式，這一模式并非沒有可取之處，起碼其教學(xué)效率是較高的，但其忽視了學(xué)生在建構(gòu)過程中的具體想法，尤其忽視了學(xué)生建構(gòu)反比例概念過程中可能想到的其他一些知識(shí)，需要其他一些能力. 這就使得傳統(tǒng)的概念教學(xué)不可避免地具有灌輸?shù)奶卣?

而將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放到整體觀的視角之下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)際教學(xué)過程中需要多一個(gè)“關(guān)注學(xué)習(xí)過程中的可能性”的意識(shí). 現(xiàn)仍以“反比例函數(shù)”的教學(xué)為例，進(jìn)行具體闡述.

教師設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，需要思考到的知識(shí)除了反比例關(guān)系與函數(shù)之外，還需要考慮如何回憶函數(shù)與自變量的關(guān)系，需要考慮如何引入函數(shù)的三種基本表現(xiàn)形式，需要考慮如何讓圖像成為函數(shù)學(xué)習(xí)的一種直覺，還需要考慮學(xué)生在原有的一次函數(shù)學(xué)習(xí)過程中形成的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)——而這種經(jīng)驗(yàn)又往往是默會(huì)的形式，難以用語(yǔ)言表達(dá)，教師自身對(duì)學(xué)生這種默會(huì)知識(shí)的理解也常常是默會(huì)的，只能憑著教學(xué)過程中的一種感覺去判斷，而判斷水平的高低則由教學(xué)經(jīng)驗(yàn)（不是教學(xué)年齡）來決定.

在課堂教學(xué)中，教師則需要根據(jù)學(xué)生建構(gòu)反比例函數(shù)概念與實(shí)際運(yùn)用時(shí)的反應(yīng)，判斷應(yīng)當(dāng)采取的教學(xué)措施. 這里強(qiáng)調(diào)的整體觀，主要體現(xiàn)在教師對(duì)學(xué)生建構(gòu)反比例函數(shù)的整體過程的把握，這里要特別強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)概念構(gòu)建的背景或者說情境，良好的情境可以讓學(xué)生調(diào)動(dòng)所有的知識(shí)基礎(chǔ)與思維，去努力構(gòu)建對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí). 而如果缺失了這個(gè)背景，學(xué)生很有可能滑入機(jī)械記憶的泥沼. 當(dāng)然，這里還有一些思想方法的因素，如從特殊到一般（分析與綜合）、從具體到抽象（數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象）、數(shù)形結(jié)合等，這些方法又是普遍應(yīng)用的，在反比例函數(shù)的教學(xué)中，更多的屬于一種思想方法的變式運(yùn)用.

建立了這樣的整體性教學(xué)視角，教師就可以保證在實(shí)際教學(xué)中能夠有效地應(yīng)對(duì)學(xué)生的各種可能性（這是教學(xué)中出現(xiàn)生成的關(guān)鍵，也是教學(xué)中出現(xiàn)精彩環(huán)節(jié)的關(guān)鍵）. 也就是說，整體性的視角可以保證教師更好地面對(duì)課堂上出現(xiàn)的各種情況，并且做出更為科學(xué)的判斷，采取更為科學(xué)的措施.

基于學(xué)生的認(rèn)知需要實(shí)施整體性教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建立整體性視角，實(shí)際上是基于學(xué)生的認(rèn)知需要而做出的選擇. 如上所說，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動(dòng)并不是教師所想的那樣簡(jiǎn)單，甚至可以說任何人都無(wú)法準(zhǔn)確地描述學(xué)生學(xué)習(xí)的具體過程（這一點(diǎn)并不奇怪，就是讓教師描述自己的教學(xué)過程，那也是十分困難的事情，或者說是不可能的事情. 國(guó)內(nèi)外有關(guān)默會(huì)知識(shí)的研究就說明了這一點(diǎn)）. 但是，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)盡可能了解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理過程，尤其是學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到困難時(shí)的所思所想，這樣才能真正做到因材施教. 也就是說，因材施教這一教學(xué)基本原則其實(shí)是建立在整體觀的基礎(chǔ)之上的.

這里還是舉“反比例函數(shù)”教學(xué)的例子. 整體觀教學(xué)視角下，筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)包括這樣幾個(gè)部分：一是在概念引入的環(huán)節(jié)精心選擇幾個(gè)具體的事例，以引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生必須建立新的概念（實(shí)際上也是一種數(shù)學(xué)模型）才能解決面臨的實(shí)際問題的意識(shí). 二是利用分析與綜合的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生概括出不同事例中的共同屬性，以確定最終的共同特征. 這時(shí)的共同特征往往是通過生活語(yǔ)言來描述的，或者僅僅是一種感覺. 此時(shí)，學(xué)生的理解可能性很多，盡管最終的目的可能一致，但其途徑一定有所不同. 三是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去抽象學(xué)生建立起來的表象，然后進(jìn)入下定義的教學(xué)環(huán)節(jié). 在這個(gè)過程中，從生活語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，決定了課堂上出現(xiàn)的是一種殊途同歸的情形，這個(gè)過程中教師要關(guān)注不同的學(xué)生個(gè)體，尤其是他們遇到的抽象過程中的困難，并給予幫助.

到了具體的課堂上，就按照上面的三個(gè)組成部分實(shí)施教學(xué)，因?yàn)橐呀?jīng)充分考慮了學(xué)生學(xué)習(xí)中的各種可能性，因此過程一般會(huì)比較順利. 這里筆者舉幾個(gè)細(xì)節(jié)來具體闡述.

細(xì)節(jié)一：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)中. 當(dāng)提出反比例函數(shù)的圖像是什么樣子時(shí)，學(xué)生普遍的思維形式是直接思考可能的圖像形狀，這是一種直覺性的但水平很低的思維方式，也基本上想不到正確的樣子. 因此此時(shí)教師要從學(xué)生的思維角度出發(fā)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo). 具體的指導(dǎo)途徑倒不難，就是提醒學(xué)生回憶所學(xué)過的一次函數(shù)的圖像是如何得到的. 學(xué)生自然就會(huì)想到描點(diǎn)法. 到了這個(gè)時(shí)候，學(xué)生又會(huì)分成兩類：一類是立即動(dòng)手去尋找數(shù)據(jù)，確定點(diǎn)，然后描點(diǎn)；還有一類學(xué)生會(huì)不急著動(dòng)手，而是憑著自己的想象去猜想，這個(gè)猜想不是沒有依據(jù)的猜想，而是有思路的猜想. 事實(shí)證明，后者往往是數(shù)學(xué)猜想能力較強(qiáng)的學(xué)生，對(duì)前者的指導(dǎo)就是確定點(diǎn)需要精確，對(duì)后者的指導(dǎo)就是培養(yǎng)他們想象表象的構(gòu)建能力. 這是不同的指導(dǎo)，也是整體觀教學(xué)設(shè)計(jì)下的產(chǎn)物.

細(xì)節(jié)二：給出一些具體的反比例函數(shù)圖像，讓學(xué)生判斷這些函數(shù)圖像分別處于哪些象限，并判斷函數(shù)隨自變量變化的趨勢(shì). 這里的一個(gè)重要工作，是讓學(xué)生基于不同的函數(shù)進(jìn)行分析與歸納，然后得出一般性的結(jié)論. 這也是一個(gè)需要因材施教的過程，因?yàn)榻虒W(xué)實(shí)踐中筆者注意到的情形是：有些學(xué)生只滿足于單個(gè)問題的解決，缺乏尋找共性的意識(shí)，這就導(dǎo)致他們不能在原有水平上更進(jìn)一步. 這些學(xué)生所需要給予的指導(dǎo)就是同中求異、異中求同思維的指導(dǎo)；還有一部分學(xué)生知道要總結(jié)共同點(diǎn)，但是不能有效地發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)，這實(shí)際上是思維能力有問題（不是思維意識(shí)有問題），于是教師所給予的指導(dǎo)應(yīng)當(dāng)更細(xì)致一點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)具體到問題的細(xì)節(jié)當(dāng)中，指導(dǎo)學(xué)生尋找?guī)讉€(gè)題目的共同點(diǎn). 這類學(xué)生的思維能力一般來說比前一種要弱，因此指點(diǎn)需要更為精細(xì).

在教學(xué)反思中提升整體性的教學(xué)認(rèn)知

通常情況下，數(shù)學(xué)教學(xué)中難以建立整體觀，其中一個(gè)重要的原因就是應(yīng)試. 在應(yīng)試這根指揮棒所指揮下的教師，基本上在數(shù)學(xué)課堂上都是線性教學(xué)的模式，而不是整體的、立體的教學(xué)模式. 在這種情況下，只有教學(xué)反思才能有效地幫教師走出教學(xué)慣性，真正建立起整體的教學(xué)觀. 具體來說有以下兩個(gè)方面.

1. 整體的知識(shí)觀

教師頭腦中的知識(shí)體系一定需要是整體的，這個(gè)判斷可以依照自己的復(fù)習(xí)思路來進(jìn)行. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，以知識(shí)為序進(jìn)行復(fù)習(xí)，還是以知識(shí)框架（或者思維導(dǎo)圖）來實(shí)施復(fù)習(xí)，這是兩種不同的思路. 前者就是線性思維，而后者就有很典型的整體性特征. 尤其是思維導(dǎo)圖，其往往是在學(xué)生思維延伸的過程中體現(xiàn)實(shí)際思維的特征，延伸到哪里往往就知道學(xué)生在哪些知識(shí)的掌握上比較順利，而無(wú)法延伸的就是復(fù)習(xí)過程中需要努力的. 通過對(duì)復(fù)習(xí)模式的反思，可以讓學(xué)生知道自己整體觀所處的層次.

2. 整體的學(xué)生觀

這一觀點(diǎn)即是如何理解學(xué)生的學(xué)習(xí)，如果認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)需要循序漸進(jìn)，因此教學(xué)就需要依次進(jìn)行，這極有可能是線性觀的教學(xué)思維. 而如果認(rèn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)的時(shí)候，需要綜合運(yùn)用到相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)，需要運(yùn)用到不同的能力支撐，那這種思維一般就是整體觀下的思維. 這種思維所導(dǎo)致的教學(xué)，往往是根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要而“對(duì)癥下藥”的.

總的來說，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建立整體觀，更貼近學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的實(shí)際，因而更容易實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).