數(shù)學(xué)思維在解題過(guò)程中的培養(yǎng)

林勇兵

【摘要】心理學(xué)家認(rèn)為：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。幾年的教學(xué)實(shí)踐使我認(rèn)識(shí)到思維能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，一個(gè)學(xué)生是否具有良好的思維能力，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；思考；靈活

心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。在學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的過(guò)程中也要學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)思考的重要性不亞于學(xué)會(huì)知識(shí)，它將使學(xué)生終身受益。數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生思維的發(fā)展是我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的靈魂，教數(shù)學(xué)一定要教思維。 但是不能空洞地、形式地教思維，而要以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體教思維，學(xué)數(shù)學(xué)也一定要學(xué)思維，學(xué)生學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，將受用無(wú)窮。

幾年的教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維缺乏靈活性，解題方法比較單一，欠缺思維遷移能力，解題過(guò)程缺少舉一反三的能力，思維比較狹窄，因此在平時(shí)的教學(xué)中，我也比較注重學(xué)生思維的培養(yǎng)。鍛煉他們思維的廣闊性，下面就我在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面的幾點(diǎn)感悟作個(gè)初步探討：

一、啟迪學(xué)生多角度、多途徑解題，做到思維起點(diǎn)靈活

在平時(shí)的解題過(guò)程中，學(xué)生對(duì)相似的問(wèn)題往往會(huì)用固定的方法去解，這不是一種好現(xiàn)象，會(huì)給學(xué)生造成解題思維窄，不思考的問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生分析題目時(shí)走不出思維的沼澤區(qū)。因此，教師在教學(xué)時(shí)可從多角度、多方面進(jìn)行分析，促使學(xué)生朝多思維的方向發(fā)展，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

我在教學(xué)八年級(jí)上冊(cè)時(shí)碰到這樣一題：

如圖，已知AB//CD，猜想∠ABE，∠BED，∠EDC三者間的數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生初看此題無(wú)從下手，條件只有一個(gè)，就是兩直線平行，結(jié)論是什么？那我們?nèi)绾螁l(fā)學(xué)生呢？

我們可以引導(dǎo)學(xué)生看已知條件，

師：題目已知什么？

生：AB//CD

師：從已知條件——平行，你能聯(lián)想到什么呢？

生：同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

師：那這里有這些嗎？

生：沒(méi)有。

師：那我們?cè)趺崔k呢？可以構(gòu)造嗎？

這樣自然而然可以把學(xué)生調(diào)動(dòng)起來(lái)了，思維也一下子活躍起來(lái)了。

一生：我們可以添加平行線。

師：不錯(cuò)。

接下來(lái)是啟發(fā)學(xué)生如何添加平行線了。

有生說(shuō)：

思路一：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF，將∠BED看作∠BEF與∠DEF的和，一生上臺(tái)板演。

師：除了這種方法，還有其他的方法嗎？

思路二：如圖2，可以過(guò)點(diǎn)D作BE的平行線，那么∠EDC可以看作∠EDF與∠DFB的和。生上臺(tái)板演。

師：還有嗎？

生：連接BD。

思路三：如圖3，連接BD，學(xué)生一看明白了，∠ABD和∠CDE分別被分成了兩個(gè)角，而且還用到了三角形的內(nèi)角和定理，生上臺(tái)板演。

這時(shí)學(xué)生的思路紛紛打開(kāi)了。

師再說(shuō)，還有其他的方法嗎？大家也可以討論一下。

師：可以延長(zhǎng)嗎？

生：延長(zhǎng)CD和BE，生板演。

師：你們認(rèn)為這些方法哪種方法簡(jiǎn)單，易懂？

生：都差不多。

小結(jié)：其實(shí)我們回過(guò)頭來(lái)看這些思路，這道題歸根結(jié)底就是利用了平行線的性質(zhì)。

通過(guò)這道題的解答，使學(xué)生思維起點(diǎn)靈活多了。我們教師在教學(xué)過(guò)程中有時(shí)不應(yīng)輕易地否定某一種方法，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生在討論和對(duì)比中自己去認(rèn)識(shí)不同方法的優(yōu)劣。同時(shí)，也體驗(yàn)了解決問(wèn)題方法的多樣。

再如，我們可以將這題變一變。

變式一：將點(diǎn)E移到圖乙的位置，但仍保持AB//CD， 那么∠B，∠D，∠BED之間也有這樣的關(guān)系嗎？如沒(méi)有，那它們有什么關(guān)系呢？

像這樣一個(gè)好問(wèn)題的一題多解勝過(guò)多題一解，既能使學(xué)生鞏固知識(shí)，活用知識(shí)，激發(fā)興趣，而且還能培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力。像中考中的一些考題，大多數(shù)是課本練習(xí)題的變式或組合，變換問(wèn)題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式內(nèi)容，但無(wú)論怎么變，問(wèn)題的本質(zhì)始終不變。

二、要求學(xué)生克服思維定式，及時(shí)調(diào)整策略，使思維過(guò)程嚴(yán)密

對(duì)于一道比較熟悉的題目，學(xué)生會(huì)用已有的解題思路去思考問(wèn)題，不管題目所涉及的條件是否改變，他都會(huì)一如既往的按原先思考的思路去分析，這樣的結(jié)果往往使學(xué)生形成一種思維定式，題目稍有變化，解題就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。對(duì)于這種情況，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生跳出定勢(shì)，調(diào)整解題策略，從不同的角度去分析問(wèn)題，有助于學(xué)生樹(shù)立正確的解題方法。

例：如果關(guān)于x的方程（ m-2）x2-2x+1=0有解，那么m的取值范圍是（ ）

A. m<3 B. m≤3

C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2

一看此題，學(xué)生直觀感覺(jué)就是利用根的判別式去求出m，馬上求出選B。

師：還有同學(xué)有不同意見(jiàn)的嗎？

生：還要求m-2≠0，所以選D。

師：一個(gè)比一個(gè)考慮周到，都很不錯(cuò)。

師：還有同學(xué)有不同意見(jiàn)的嗎？

學(xué)生有些茫然。

師：根的判別式適合于一元二次方程，請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮x題目。

師：有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：這沒(méi)說(shuō)是一元二次方程，有可能是一元一次，要分類討論。

這一問(wèn)，學(xué)生恍然大悟，這樣能使學(xué)生及時(shí)地調(diào)整策略，使解題思路及時(shí)得到糾正.

三、要求學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)，朝思維的正遷移靈活地學(xué)習(xí)

在平時(shí)學(xué)習(xí)中，解決相似問(wèn)題就是學(xué)會(huì)在已知的數(shù)學(xué)關(guān)系中找到新的數(shù)學(xué)關(guān)系，促使學(xué)生學(xué)會(huì)掌握解決問(wèn)題的方法.在解決過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生可能在思考問(wèn)題中會(huì)有所偏差，這是不利于解決問(wèn)題的。因此，我們可以采取多樣的解決方法，譬如可以發(fā)揮遷移學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)，在學(xué)習(xí)小組中，讓學(xué)生出聲思維，集體討論，不討論怎樣解題，而討論怎樣去思考，并由小組同伴及時(shí)點(diǎn)撥，使思維得到很好的訓(xùn)練，努力提高解決問(wèn)題的能力。

例：解方程組

學(xué)生剛接觸此題，不知怎么辦才好，無(wú)頭絮，那我們可以提問(wèn)，

師：對(duì)于這題，你哪些是熟悉的，哪些是陌生的？

生：熟悉的——這是方程，有兩個(gè)方程，含有兩個(gè)未知數(shù)；不熟悉的——含有兩個(gè)求和數(shù)的方程不知如何解？

師：如果轉(zhuǎn)變成一個(gè)方程，一個(gè)未知數(shù)，你會(huì)不會(huì)解？

生：會(huì)。

師：那我們?nèi)绾稳サ粢粋€(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程呢？

可以讓學(xué)生分組交流，通過(guò)學(xué)生分組交流會(huì)讓學(xué)生得到很多解決問(wèn)題的方法。

如有些學(xué)生說(shuō)把兩個(gè)方程相加，那我們看看，兩個(gè)方程相加，可以得到一個(gè)方程，但還是有兩個(gè)未知數(shù)，你會(huì)嗎？接下去有些學(xué)生反應(yīng)，那把兩個(gè)方程相減，哎，不錯(cuò)，一個(gè)方程，同時(shí)也少了一個(gè)未知數(shù)了，行了，哈哈。

我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看看這道題的解決方法，其實(shí)這就是我們數(shù)學(xué)中的消元思想，這是利用消元思想來(lái)解方程組。

譬如，我們可以將這種方法應(yīng)用到解三元一次方程組中，這時(shí)我們無(wú)須花多大的功夫，自然會(huì)靈活地運(yùn)用了。

四、啟發(fā)學(xué)生挖掘隱含條件，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，靈活地轉(zhuǎn)化并解決問(wèn)題

在學(xué)生解題過(guò)程中，一些條件往往被巧妙地隱藏在題設(shè)的背后，學(xué)生往往發(fā)現(xiàn)不了這個(gè)隱含條件，給解題帶來(lái)很大的困難。因此，如何啟發(fā)學(xué)生找隱含條件是關(guān)鍵。首先要求學(xué)生學(xué)會(huì)仔細(xì)分析題意，盡可能挖掘題意所涉及的條件。

例：化簡(jiǎn)

一學(xué)生板演：原式=

師：為什么不把絕對(duì)值去掉。

生：不知道x的取值范圍，無(wú)法去掉。

師：題目其實(shí)已經(jīng)告訴你了，你仔細(xì)找找。

另一生：有，因?yàn)橛幸饬x，所以x-3>=0。

這樣問(wèn)題就得以解決了，像這樣挖掘隱含條件的過(guò)程，往往是尋求解題思路的過(guò)程，隱含條件一旦暴露，便為解題提供了新的信息和依據(jù)，因而我們可以從挖掘隱含條件入手，尋求解題的突破口，打開(kāi)解題之門。

例如，當(dāng)x= 時(shí)，分式的值為0。

像拿到這樣一題，看到分式的值為0，馬上想到分子等于0，從而得到x=5或x=-5。結(jié)果快速地出來(lái)了，那這個(gè)結(jié)果正確嗎？學(xué)生把結(jié)果代到分母中試試，發(fā)現(xiàn)x=5不行，所以當(dāng)x=-5時(shí)，分式的值為0。

解得結(jié)果后把結(jié)果代入原題目中，檢驗(yàn)解答過(guò)程是否適當(dāng)。

再如，已知關(guān)于x的方程x-7=k+1與4k-x=1-2x有相同的解，就k的值。

師：你對(duì)這題是如何理解的？你認(rèn)為這道題解題的關(guān)鍵在哪里？

生：相同的解。

師：那你是怎么理解相同的解呢？

生：就是x的值相同。

師：對(duì)了，那x的值怎么樣去解呢？

接下去讓學(xué)生小組交流解決此題。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生的思維活躍，就要教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題的基本方法，這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生的正確思維方式。通過(guò)一題多解（證）的訓(xùn)練和隱含條件的挖掘，提高發(fā)散思維能力等，還得要學(xué)生善于思考，必須重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，沒(méi)有扎實(shí)的雙基，思維能力是得不到提高的。

以上幾點(diǎn)是本人在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的點(diǎn)滴體會(huì)，當(dāng)然數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)方式遠(yuǎn)不止這些，在日常教學(xué)過(guò)程中，還會(huì)出現(xiàn)新的問(wèn)題，那就要求學(xué)生用新的思維方法去解決新的問(wèn)題。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是一個(gè)不斷探索，不斷學(xué)習(xí)的過(guò)程。

【參考文獻(xiàn)】

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