轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊繼承

摘 要：介紹了轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，包括數(shù)形轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、空間向平面轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等，轉(zhuǎn)化必須建立在等價(jià)的基礎(chǔ)上.

關(guān)鍵詞：解題；轉(zhuǎn)化；等價(jià)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程。”也就是說，解題過程是不斷轉(zhuǎn)化的過程，在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化思想。許多數(shù)學(xué)問題直接去解往往比較困難，如果應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想，從另一個(gè)角度或者另一種方式去思考，能使問題變得簡單明了，易于解決.

一、數(shù)形轉(zhuǎn)化

例1.（教材必修2 P115第7題）設(shè)a，b，c，d∈R，求證：對于任意p，q∈R，

■+■≥■

解析：設(shè)A（a，b），B（c，d），C（p，q）

則AB=■，AC=■

BC=■

因?yàn)閷τ谄矫嫔系娜c(diǎn)A、B、C，總有AC+BC≥AB

所以■+■≥■

小結(jié)與反思：數(shù)是對形的定量分析。形是數(shù)的直觀反映。數(shù)形結(jié)合就是在形中覓數(shù)，數(shù)中思形。把數(shù)量關(guān)系中的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來考慮，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來研究。

加強(qiáng)數(shù)形轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)有助于提高學(xué)生的形象思維和直觀思維能力。

二、換元轉(zhuǎn)化

例2.求函數(shù)y=x-4■+4的最小值.

解析：令■=t（t≥0），有x=t2-1

則y=t2-4t+3=（t-2）2-1（t≥0）

所以，當(dāng)t=2即x=3時(shí)，y有最小值-1

小結(jié)與反思：通過換元法將陌生的問題情境轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)模型（二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題），以利于我們用熟悉的經(jīng)驗(yàn)去解決，達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

三、空間向平面轉(zhuǎn)化

例3.長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為3、2、1，沿長方體的表面從A到C1的最短距離為 .

■

解析：如圖（1），在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1；

如圖（2）所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開，則有AC1=■=■，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是■；

如圖（3）所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1=■=3■，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是3■.

如圖（4）所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1=■=2■，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是2■.

由于3■<2■<■，所以沿長方體表面上由A到C1的最短距離為3■.

小結(jié)與反思：解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間最短路線問題，一般都是將空間幾何體表面展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，對學(xué)生的空間想象力提出了較高的要求。

四、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

例4.已知函數(shù)f（x）=2x-a，x≤0，x2-3ax+a，x>0，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：依題意，要使函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)x≤0時(shí)，方程2x-a=0，即2x-a必有一個(gè)根，此時(shí)00時(shí)，方程x2-3ax+a=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程x2-3ax+a=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根，于是有Δ=9a2-4a>03a>0a>0，由此解得a>■，

因此，滿足題意的實(shí)數(shù)a需滿足0■，即■

小結(jié)與反思：函數(shù)是方程與不等式的中介，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，函數(shù)、方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式問題需要函數(shù)的幫助，有時(shí)需要通過探究函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決問題。

五、實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

例5.已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iphone手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元。設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機(jī)x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x）=400-6x，040

（1）寫出年利潤W（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬只）的函數(shù)解析式。

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，蘋果公司在該款iphone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤。

解析：看到→看到分段函數(shù)及求最大利潤

↓想到→列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)模型或“對

勾”函數(shù)模型求解。

（1）當(dāng)0

當(dāng)x>40時(shí)，W=xR（x）-（16x+40）=-■-16x+7360

所以，W=-6x2+384x-40，040

（2）當(dāng)0

當(dāng)x>40時(shí)，W=-■-16x+7360，由于■+16x≥2■=1600

當(dāng)且僅當(dāng)■=16x，即x=50∈（40，+∞）時(shí)，取等號，所以Wmax=5760

綜合可知，當(dāng)x=32時(shí)，W取得最大值為6104萬美元。

小結(jié)與反思：解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題，得到數(shù)學(xué)問題中的解，再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案。

轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是化復(fù)雜為簡單，化抽象為直觀，化陌生為熟悉，化未知為已知，轉(zhuǎn)化必須建立在等價(jià)的基礎(chǔ)上，而扎實(shí)的基礎(chǔ)知識是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的前提。因此，教師在日常的課堂教學(xué)中要夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，重視培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，為他們在解題中順利“轉(zhuǎn)化”鋪路。

參考文獻(xiàn)：

顧桂斌.優(yōu)化解題的重要手段：轉(zhuǎn)化[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2006（5）.