函數(shù)中無處不在的最值問題

☉江蘇省揚中高級中學(xué) 范 麗

函數(shù)中無處不在的最值問題

☉江蘇省揚中高級中學(xué) 范 麗

函數(shù)的最值問題一直是高考考查的重點.最值問題可以衍生出許多其他問題，其中的題型千變?nèi)f化，而這也給函數(shù)最值問題的學(xué)習(xí)增加了很大難度.即便如此，只要學(xué)生平時做好積累、勤加練習(xí)、及時總結(jié)和歸納，函數(shù)的最值問題便不會成為學(xué)習(xí)上的攔路虎.

一、三角函數(shù)的最值問題

三角函數(shù)的最值問題也是高考中的重要考點，這種問題一般都需要對三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，將原三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成可以直接求最值的函數(shù)，下面的例子就是通過對原三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形求最值的典型例題.

例1求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值.

所以當(dāng)sinx=-1時，ymin=-6；當(dāng)sinx=1時，ymax=4.

所以函數(shù)y=5sinx+cos2x的最大值為4，最小值為-6.

點撥：本題如果用常規(guī)的求導(dǎo)法求解，求解過程會非常煩瑣，此時明智的做法是通過恒等變形，將原三角函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過熟悉的函數(shù)來求最值，從而使解題過程大大簡化，達(dá)到事半功倍的效果.

二、二次函數(shù)的最值問題

高考對二次函數(shù)的考查屢見不鮮，求二次函數(shù)的最值問題更是常見.但是此類問題不是單純考查二次函數(shù)的最值，而是要確定在某區(qū)間內(nèi)的最值，有時候區(qū)間還含有未知數(shù)，這就給解題帶來了很大難度.這種問題一般通過分類討論的方法來解決，通過下面的例子可以來了解這類問題.

例2（2016年揚州高考二模第23題）已知函數(shù)f（x）=x2-7x+15，求f（x）在x∈［t，t+1］上的最大值.

解析：本題若沒有x∈［t，t+1］這一限制條件，而是一個確定的范圍，則問題非常簡單，只要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，就可以求出函數(shù)的最值.但是有了這個限制條件之后，問題就變得比較復(fù)雜，需要進(jìn)行分類討論.

綜上所述，當(dāng)t＞3時，f（x）的最大值為f（t+1）=t2-5t+9；當(dāng)t≤3時，f（x）的最大值為f（t）=t2-7t+15.

點撥：本題是通過導(dǎo)數(shù)法求二次函數(shù)最值的典型例題，但是由于所求最值的區(qū)間含有未知數(shù)，給解題平添許多難度，解決此題需要對含有未知數(shù)的區(qū)間進(jìn)行分類討論.但是只要根據(jù)函數(shù)的對稱軸，按部就班地對未知數(shù)的取值進(jìn)行討論即可，盡管過程比較復(fù)雜，但是也可以得到想要的結(jié)果.

三、對數(shù)型函數(shù)的最值問題

初等函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合構(gòu)成對數(shù)型函數(shù)，由于對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，使得這類問題千變?nèi)f化.對數(shù)型函數(shù)的最值問題也很常見，一般是通過函數(shù)的單調(diào)性來考查最值，通過下面的例子可以深入了解此類對數(shù)型函數(shù)求最值的問題.

例3求函數(shù)f（x）=log2（-x2-4x+12）的最大值.

解析：本題首先應(yīng)該通過換元將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.可令μ=-x2-4x+12=-（x+2）2+16，易得0＜μ≤16.因為y=log2μ在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以log2μ≤log216=4.所以f（x）的最大值為4.

點撥：本例通過換元法將對數(shù)式中的二次函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得函數(shù)變成一般的對數(shù)函數(shù)，通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只要求出換元之后函數(shù)μ的最值，那么f（x）的最值問題也就迎刃而解了.

四、不規(guī)則函數(shù)的最值問題

對于一些不規(guī)則函數(shù)的最值問題，最基本的方法就是導(dǎo)數(shù)法，通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.有時不規(guī)則函數(shù)中含有參數(shù)，這類問題就需要分類討論，根據(jù)對參數(shù)的分類討論，從而得出函數(shù)的最值.下面的例子就是關(guān)于此類問題的一道綜合題，比較具有代表性.

（1）若f（x）在（0，1］上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求f（x）在區(qū)間（0，1］上的最大值.

解析：本題是一般函數(shù)單調(diào)性問題，可以通過導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解，但是在解題過程中有一些細(xì)節(jié)需要引起學(xué)生的注意.

點撥：本例的解題過程比較復(fù)雜，但是只要抓住參數(shù)的取值這條主線，按部就班他進(jìn)行分類討論，相對復(fù)雜的問題也是可以得到解決的.需要注意的一點是，對于比較難的綜合題，第（1）問一般是第（2）問的鋪墊，通過仔細(xì)研究第（1）問，會對比較有難度的第（2）問的解決產(chǎn)生較大幫助.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中對于函數(shù)最值問題的考查非常頻繁，這也是高考中的重點內(nèi)容，這類問題一般綜合性比較強，解決此類問題需要扎實的基礎(chǔ)知識，這需要學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中多加聯(lián)系，認(rèn)真總結(jié)和歸納，而老師也應(yīng)該做好必要的引導(dǎo)工作.

1.陳春明.善用最值另辟蹊徑——例談函數(shù)最值的運用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（11）.

2.陳亞琴.三角函數(shù)的求解方法概覽［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）.

3.劉馨憶.導(dǎo)數(shù)視角下函數(shù)最值問題的轉(zhuǎn)化求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（6）.