高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探微

☉江蘇省宜興中學(xué) 王 震

高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探微

☉江蘇省宜興中學(xué) 王 震

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)當(dāng)通過對數(shù)學(xué)知識的不斷探究，尋找各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系.其中關(guān)于恒成立問題的解題策略是作為高中生應(yīng)當(dāng)熟練掌握的一項(xiàng)重要知識技能，我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注重對自身抽象概括能力和推理證明能力的培養(yǎng)，結(jié)合計算聯(lián)系，提升自身的綜合數(shù)學(xué)水平.我們要對各種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和研究，尤其是在證明恒成立問題的時候，常常用到的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和整體等眾多數(shù)學(xué)思想，需要我們通過大量的練習(xí)進(jìn)行牢固的掌握.下面我們就針對恒成立問題的解題策略進(jìn)行簡單的討論.

一、恒成立問題的函數(shù)法解題策略

在恒成立問題的解答過程中往往需要我們掌握大量的基礎(chǔ)知識作為鋪墊，同時能夠?qū)@些知識進(jìn)行熟練的運(yùn)用.對每一部分知識的運(yùn)用，我們都要對它們的基本性質(zhì)和定理、推論和特點(diǎn)等進(jìn)行熟練的掌握，結(jié)合題目要求通過恰當(dāng)?shù)氖侄芜M(jìn)行解答.其中，我們運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)去解決一些恒成立的問題，就是我們常說的函數(shù)法.在高中階段我們所接觸的函數(shù)以一次函數(shù)和二次函數(shù)居多，因此這里我們重難點(diǎn)對這兩種函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用進(jìn)行討論，下面我們通過例題來進(jìn)行討論.

1.一次函數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用

例1現(xiàn)在給出一個一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+2m-4，定義域?yàn)閤∈［-1，1］，而且函數(shù)f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

例2對任取x∈［-3，1］，如果不等式（2a+1）x+a+2＞0恒成立，試求a的取值范圍.

由此看來，雖然一次函數(shù)在恒成立問題中的形式可能不盡相同，但是只要我們抓住主要條件，對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以順利地得出答案.

2.二次函數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用

關(guān)于二次函數(shù)，又分為一元二次函數(shù)和二元二次函數(shù)，但是在高中數(shù)學(xué)練習(xí)題中對恒成立問題的考查更多的是與一元二次函數(shù)的結(jié)合，因此這里我們重點(diǎn)介紹一下一元二次函數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用.一元二次方程與一元二次不等式和二次函數(shù)三者之間的聯(lián)系密不可分，在解題過程中我們可以通過相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行應(yīng)用，同時借助二次函數(shù)的圖像或者是一元二次方程的根的判別式進(jìn)行解題.

例3已知存在x∈R，使得不等式mx2+2x+3＞0恒成立，請計算m的取值范圍.

分析：此題是關(guān)于不等式的恒成立問題，而且題目中包含了二次函數(shù)，因此，我們可以引入一個二次函數(shù)f（x）=mx2+2x+3，我們再進(jìn)行進(jìn)一步的分析，當(dāng)m=0時，顯然不等式成立；當(dāng)m＞0時，我們知道這個二次函數(shù)的對稱軸的正負(fù)及圖像開口向上，因此應(yīng)當(dāng)選取圖像在x軸上方的部分.當(dāng)m＜0時，同理，應(yīng)當(dāng)選取圖像在x軸上方的部分.通過對這三種情況進(jìn)行綜合考慮，我們在對其分別進(jìn)行完整的計算，就可以得出m的取值范圍為（0，3）.

通過這道題我們可以發(fā)現(xiàn)，對于含有參數(shù)的不等式恒成立問題，我們需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，然后再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

二、恒成立問題的參量法解題策略

高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的求解，我們可以通過自身數(shù)學(xué)知識的積累，在解題過程中通過靈活的應(yīng)用完成對問題的解答和求證.經(jīng)過長期的發(fā)展，我們對解決恒成立問題形成了許許多多的方法，每一種方法都是針對不同類型的問題的，因此，我們應(yīng)當(dāng)能夠通過對不同方法的學(xué)習(xí)，提高我們的解題能力.其中參量法在恒成立問題中的應(yīng)用，幫助我們對相關(guān)類型的問題獲得了更加高效的解答，同時也能加深我們對相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識.

1.換元在恒成立問題中的應(yīng)用

恒成立問題經(jīng)常會伴隨著不等式的證明出現(xiàn)，而其中又經(jīng)常會涉及參量.對于參量的處理就是我們解決問題的關(guān)鍵，這里我們通過對參量的換元進(jìn)行應(yīng)用，能夠有效解決一部分關(guān)于恒成立的問題，提高解題效率，在解題過程中帶給我們更多的收獲.下面我們通過例題進(jìn)行詳細(xì)的說明.

例4對于任意的a∈［-1，1］，如果能夠使得函數(shù)f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a＞0恒成立，請確定x的取值范圍.

分析：一般我們在看到關(guān)于恒成立問題的時候，首先想到的解題思路是根據(jù)題目給出的直接條件進(jìn)行求解，并不知道在解題過程中會遇到什么樣的困難，這樣的解答方法是不是最有效的.因此，在練習(xí)過程中我們應(yīng)當(dāng)首先對題目進(jìn)行深入的分析，經(jīng)過長期的分析，我們形成習(xí)慣并且積累了經(jīng)驗(yàn)，在以后考試的過程中就可以幫我們提高審題的速度，從而幫我們節(jié)約時間.這里，我們發(fā)現(xiàn)如果對二次函數(shù)f（x）中二次項(xiàng)的系數(shù)a進(jìn)行分類討論，一般要分成三部分，然后對a等于0、a大于0及a小于0每一種情況下函數(shù)的范圍，以及相應(yīng)的x的取值范圍進(jìn)行確定，最后也可以求出答案.但是我們發(fā)現(xiàn)，這個過程有一點(diǎn)復(fù)雜.因此，我們可以通過換元法進(jìn)行求解，主要思想就是把參量a看作變量，將原函數(shù)中的變量x看成參量，這樣原來的二次方程問題就轉(zhuǎn)化成了一次方程的問題，然后根據(jù)題目的要求進(jìn)行求解，我們就能夠比較輕松地得出答案.如果我們對這樣做的結(jié)果不放心，在練習(xí)的過程中我們可以通過多種解法進(jìn)行驗(yàn)證，一方面，提升自己的解題能力，另一方面，培養(yǎng)我們對恒成立問題的快速解答效率.

2.分離在恒成立問題中的應(yīng)用

對于包含參量的恒成立問題的解答，除了可以應(yīng)用換元法，我們在實(shí)際解題過程中還發(fā)現(xiàn)可以通過分離參量，也可以實(shí)現(xiàn)快速的解答.分離參量實(shí)際上就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中對那些包含了參量的不等式，將其中的參量提取出來，需要對不等式進(jìn)行相應(yīng)的變形，將原來比較復(fù)雜的恒成立問題轉(zhuǎn)化為形式比較簡單的只關(guān)于一端含有參量的形式的問題進(jìn)行解決.

例5當(dāng)存在x∈R滿足不等式4a+sinx+a2≥0并且使其恒成立時，請確定a的取值范圍.

分析：首先我們發(fā)現(xiàn)題目中包含了兩個變量，一個是x，一個是a，而且a含有二次項(xiàng)，因此我們對不等式進(jìn)行變形使得不等號一邊只含有關(guān)于a的方程，另一邊只要有x.此時得到關(guān)于a的代數(shù)式a2-4a，然后我們可以把不等號的另一端看成一個函數(shù)，可以求解這個函數(shù)的最值.回過頭來我們再考慮a2-4a，最后得出關(guān)于a的不等式a2-4a＞5，求解這個不等式所得出來的a的取值范圍就是最后的答案.

通過這樣的方式對恒成立的問題進(jìn)行求解，需要我們能夠在練習(xí)的過程中積累大量的經(jīng)驗(yàn)，同時在解題過程中要保持頭腦思路的開闊，這樣才可以更有效地解決問題.

三、恒成立問題的構(gòu)造法解題策略

在解決恒成立問題的時候，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)題目中給出的條件無法直接被我們用來解題，需要我們進(jìn)行深入提取有效的條件.這個時候如果我們能夠根據(jù)題目條件進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)或者其他數(shù)學(xué)形式，在應(yīng)用在解題過程中就會比較順利地找到答案，下面我們對幾種常用的構(gòu)造法進(jìn)行簡單的討論.

1.復(fù)數(shù)構(gòu)造法在恒成立問題中的應(yīng)用

作為高中生我們對復(fù)數(shù)都有一定的了解并且能夠在問題中進(jìn)行應(yīng)用，復(fù)數(shù)有兩部分組成：實(shí)部和虛部，因此我們可以將實(shí)數(shù)中的一些性質(zhì)推廣到復(fù)數(shù)中，而復(fù)數(shù)的一些性質(zhì)在實(shí)數(shù)中也有所體現(xiàn).在恒成立問題中有些需要借助復(fù)數(shù)的構(gòu)造才可以更加快速準(zhǔn)確的解答，下面我們來看例題.

分析：首先我們要仔細(xì)的觀察題目中的不等式，分析一些不等式的特點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)可以設(shè)z1=x+yi，z2=（x-3）+（y+4）i.然后利用絕對值不等式的性質(zhì)對z1和z2進(jìn)行計算，在代入到待證不等式中就可以完成證明.

那么通過這個例題我們有什么發(fā)現(xiàn)呢？首先，我們知道了在證明不等式恒成立的時候，可以通過構(gòu)造函數(shù)來進(jìn)行證明.其次，我們所構(gòu)造的函數(shù)或者其他的數(shù)學(xué)形式應(yīng)該是一種條件構(gòu)造，也就是要構(gòu)造出外延和擴(kuò)大的表達(dá)形式，利用其對縮小形式進(jìn)行證明，但是這個過程不可顛倒，否則會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論.最后，對復(fù)數(shù)的構(gòu)造，需要我們熟練掌握復(fù)數(shù)的性質(zhì)，要通過大量的練習(xí)，不斷的積累經(jīng)驗(yàn).

2.幾何構(gòu)造法在恒成立問題中的應(yīng)用

在恒成立問題的不等式證明過程中，我們運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解題還會經(jīng)常用到構(gòu)造幾何圖形或者幾何函數(shù)的方法進(jìn)行計算求解.例如，我們可以將幾何中的求最大值或者最小值問題，與不等式問題中的邊界條件進(jìn)行結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對問題的證明或者解答.

分析：這個題需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識積累才可以進(jìn)行深入的分析和解答，題目中的等式|z-i|+|z+i|=4實(shí)際上是對橢圓方程的復(fù)數(shù)形式的反映，當(dāng)我們知道了這一點(diǎn)，就可以對題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為證明橢圓方程上的點(diǎn)到一個定點(diǎn)的最大距離，這個距離是.我們可以設(shè)存在點(diǎn)P2sinθ）為橢圓上的任意一點(diǎn)，然后計算A點(diǎn)和P點(diǎn)的距離，最后會發(fā)現(xiàn)只有cosθ是未知條件，但是我們又知道cosθ是絕對值不大于1的，因此進(jìn)行代入就可以完成證明.

在數(shù)學(xué)恒成立問題中通過構(gòu)造法進(jìn)行求解，需要我們能夠透過題目給出的條件發(fā)現(xiàn)其中的特點(diǎn)，對這些特點(diǎn)的表面形式進(jìn)行驗(yàn)證.要對相關(guān)知識之間的聯(lián)系從本質(zhì)上進(jìn)行利用，經(jīng)過這樣的堅持訓(xùn)練，作為高中生，我們就可以逐漸積累豐富的關(guān)于恒成立問題的解題經(jīng)驗(yàn)，同時能夠不斷促進(jìn)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的發(fā)展，最終促進(jìn)我們自身數(shù)學(xué)綜合能力的提升.

綜上所述，作為高中生要想更好地提升自己的數(shù)學(xué)成績，首先，要端正自己的學(xué)習(xí)態(tài)度.其次，要激發(fā)自己對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.在針對數(shù)學(xué)中的恒成立問題進(jìn)行學(xué)習(xí)的時候，應(yīng)當(dāng)開闊自己的解題思路，綜合運(yùn)用所掌握的各種數(shù)學(xué)知識.要想能夠快速選擇最合理的方法解答問題，需要我們在日常學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中付出巨大的努力.我們還要善于總結(jié)，每遇到一個新問題，就要進(jìn)行深入的分析，盡可能掌握更多的題目類型，使我們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)更加扎實(shí).但是由于高中數(shù)學(xué)知識具有一定的難度，因此我們在學(xué)習(xí)過程中一定要能夠靈活應(yīng)變，遇到困難要堅持，只有解決了這些困難，才會使我們的數(shù)學(xué)能力獲得進(jìn)一步的提升.