高考中的遞推數(shù)列

☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 張森焱

高考中的遞推數(shù)列

☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 張森焱

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容，遞推數(shù)列是其中的一個(gè)難點(diǎn)，它類型多，解法靈活，技巧性強(qiáng)，是考查學(xué)生邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸能力的良好載體，也是近年來高考?？嫉膬?nèi)容.下面介紹對(duì)遞推數(shù)列的幾種考查方式，以期拋磚引玉.

一、遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

遞推關(guān)系是給出一個(gè)數(shù)列的重要形式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是得出一個(gè)數(shù)列的基本途徑，也是轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用——化抽象為具體.

方法1.累加法

在數(shù)列｛an｝中，已知首項(xiàng)a1，且滿足an+1=an+f（n），數(shù)列｛f（n）｝是可以求和的.

以上n個(gè)等式相加得，

這里的第n個(gè)等式（最后一個(gè)）是an-an-1=…，而不是an+1-an=….

方法2.累乘法

（2）f（n）=kan（ak≠0，a≠1），即數(shù)列｛f（n）｝為等比數(shù)列，其中a為公比，首項(xiàng)為ka.

方法3.構(gòu)造等差數(shù)列法

將所求的數(shù)列關(guān)系式變形，構(gòu)造等差數(shù)列.

常見構(gòu)造的等差數(shù)列的形式有三種：

方法4.構(gòu)造等比數(shù)列法

例4在數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，有an+1=3an+2n+1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

形如an+1=qan+d（d（q-1）≠0）的遞推關(guān)系，都可運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列的方法來求其通項(xiàng)公式.具體做法是：設(shè)an+1+x=q（an+x），由an+1=qan+d解得，所以數(shù)列｝是公比為q的等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)公式.

方法5.先猜后證

這種數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，需要先求出這個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，尋找其規(guī)律，猜想其結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

猜想an=n（2n-1）=2n2-n，下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，結(jié)論當(dāng)然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=2k2-k，

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

綜合①與②知，對(duì)任何正整數(shù)n，an=2n2-n恒成立.

遞推數(shù)列的類型多種多樣，求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也有很多.萬變不離其宗，很明顯它們的實(shí)質(zhì)是通過合理、適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化為求解等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)問題而已.只要我們辨清它是哪種類型，用對(duì)應(yīng)方法解決它即可.

二、對(duì)于不等遞推關(guān)系的考查

不等遞推關(guān)系型時(shí)常出現(xiàn)在一般的競(jìng)賽或?？贾?，此類問題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，看似平淡無奇，卻極富韻味.

例6已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=1.

（1）求f（2005）的值；

（2）求f（2007）的值.

解：（1）聯(lián)想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，試用疊加法.

由f（x+3）≤f（x）+3這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”，得f（2005）≤f（2002）+3，f（2002）≤f（1999）+3，f（1999）≤f（1996）+ 3，…，f（4）≤f（1）+3，將這668個(gè)不等式兩邊相加得f（2005）≤f（1）+3×668=2005.

由f（x+2）≥f（x）+2這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”，得f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，f（2001）≥f（1999）+ 2，…，f（3）≥f（1）+2，將這1002個(gè)不等式兩邊相加，得f（2005）≥f（1）+2×1002=2005.

據(jù)“兩邊夾法則”，得f（2005）=2005.

（2）方法1：仿（1）直接疊加不便求解，可嘗試將已知遞推式變形后再使用疊加法.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）+2≤f（x+3），又f（x+3）≤f（x）+3，所以f（x+1）+2≤f（x）+3，即f（x+1）≤f（x）+1.

由f（x+1）≤f（x）+1，得f（2007）≤f（2006）+1，f（2006）≤f（2005）+1，f（2005）≤f（2004）+1，…，f（2）≤f（1）+1，將這2006個(gè)不等式兩邊相加，得f（2007）≤f（1）+2006= 2007.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（2007）≥f（2005）+2，f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，…，f（3）≥f（1）+2，將這1003個(gè)不等式兩邊相加，得f（2007）≥f（1）+2×1003= 2007.據(jù)“兩邊夾法則”，得f（2007）=2007.

方法2：方法1操作起來比較麻煩，若能把“不等遞推關(guān)系式”轉(zhuǎn)化為“相等遞推關(guān)系式”，則問題就變得熟悉了.

同方法1中步驟，得f（x+1）≤f（x）+1，①；

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）≥f（x-1）+2.又由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x-1）≥f（x+2）-3.所以f（x+1）≥f（x-1）+2≥f（x+2）-3+2=f（x+2）-1≥f（x）+2-1=f（x）+1，即f（x+1）≥f（x）+1，②.綜合①②，知f（x+1）=f（x）+1.所以通項(xiàng)為f（n）（n∈N*）的數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)f（1）=1，公差d=1，所以f（2007）=1+（2007-1）×1=2007.

方法3：方法2應(yīng)用“兩邊夾法則”，變“不等遞推關(guān)系式”為“相等遞推關(guān)系式”，然后用等差數(shù)列的知識(shí)使問題的求解得到簡(jiǎn)化.若對(duì)解法的探究就此止步，是否意猶未盡？聯(lián)想數(shù)列求某一項(xiàng)的值常用周期數(shù)列法，故一鼓作氣作如下探索. g（x+1）=g（x）?通項(xiàng)為g（n）（n∈N*）的數(shù)列是周期數(shù)列，且周期T=1?g（2007）=g（1）=0?f（2007）=g（2007）+ 2007=2007.

三、對(duì)遞推數(shù)列值域的考查

對(duì)于數(shù)列｛a｝n，若設(shè)集合M=｛an|n∈N*｝，則M是數(shù)列｛an｝的值域.數(shù)列的值域有可能成為高考的新亮點(diǎn).

例7已知無窮數(shù)列｛an｝滿足an+1=a2n-2a（nn∈N）*，若集合M=｛an|n∈N*｝中只有兩個(gè)元素，求數(shù)列｛a｝n首項(xiàng)a1的值.

解：顯然a1≠a（2若a1=a2，則a3=f（a2）=f（a1）=a1，其中（fx）=x2-2x，依次類推數(shù)列｛an｝為常數(shù)列，與已知矛盾），從而a3=a2與a3=a1中有且只有一個(gè)成立.

（1）當(dāng)a3=a2時(shí)，a22-2a2=a2，則a2=0，或a2=3.

若a2=0，則a1=0（舍去，此時(shí)an=0），或a1=2；

若a2=3，則a1=3（舍去，此時(shí)an=3），或a1=-1.

（2）當(dāng)a=a時(shí)，（a2-2a）2-2（a2-2a）=a，即a（a-3）（a2-

事實(shí)上，本例的本質(zhì)只不過是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與二階周期點(diǎn)在數(shù)列值域問題中的一個(gè)應(yīng)用.先熟悉兩個(gè)概念.