HPM視角下的概念課教學(xué)

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 張素婷

HPM視角下的概念課教學(xué)

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 張素婷

教育部考試中心發(fā)布的2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容指出：要增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.而數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，它與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，一直以來都是HPM工作者研究的熱門領(lǐng)域之一.HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組的簡稱，自成立以來，數(shù)學(xué)史的教育價值已經(jīng)受到普遍認(rèn)可，在高中數(shù)學(xué)新課程中滲透數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀［1］.

概念課作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的課型之一，其高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)有至關(guān)重要的作用.如何挖掘數(shù)學(xué)史的教育元素，使數(shù)學(xué)史的教育價值在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中得以體現(xiàn)［2］，這里主要結(jié)合概念學(xué)習(xí)的特點，借鑒了汪曉勤等學(xué)者的研究，對概念教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)如何使用數(shù)學(xué)史料提出了更為細(xì)致的策略.

一、情境引入史料，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)概念的形成過程主要有這樣幾個階段，如圖1所示.

圖1

數(shù)學(xué)概念的抽象化和符號化使數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)非?？菰餆o味.學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)不可能僅僅通過抽象的定義和符號的記憶來實現(xiàn)和完成，而要依賴特定的情境才能獲得其意義［3］.情境能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念形成所必需的實例.新穎有趣的情境能讓學(xué)生耳目一新，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.數(shù)學(xué)史中有大量有趣的史料可以加工成為合適的情境來引入，將數(shù)學(xué)史滲透到概念教學(xué)中，可有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟發(fā)學(xué)生思維.筆者對學(xué)生調(diào)查問卷的結(jié)果也顯示，在情境引入環(huán)節(jié)講述有趣的數(shù)學(xué)史故事較受歡迎.講述這些故事，不是為了嘩眾取寵，而是為了加深對概念的理解，突顯數(shù)學(xué)的文化價值.認(rèn)知理論和教學(xué)實踐告訴我們：興趣、動機是學(xué)生主動學(xué)習(xí)的前提［4］，但興趣不能保證持續(xù)整節(jié)課.因此，在選擇史料時，體現(xiàn)數(shù)學(xué)史趣味性原則的同時，應(yīng)瞄準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)，明確數(shù)學(xué)史料在情境引入中的作用，整體把握數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)概念之間的密切關(guān)聯(lián)，避免為了趣味性而去數(shù)學(xué)化.

基于此，筆者設(shè)計了概念教學(xué)情境引入數(shù)學(xué)史的工作流程，如圖2所示.

圖2

比如，在講指數(shù)函數(shù)的定義時，可用著名的國王與棋盤的故事來抽象出指數(shù)函數(shù)的實例：

在古代，有一個聰明的大臣發(fā)明了國際象棋，國王想要獎勵他，然而大臣卻只想要一些麥子，他說：“請陛下在棋盤的第一個方格里放1粒麥子，第二個方格里放2粒麥子，第三個方格里放4粒麥子，以后每一格都是前一格的兩倍，直到第64個方格.”國王哈哈大笑，“你真蠢！這要這么點麥子？”大臣不動聲色地說：“我只擔(dān)心您的國庫里沒有這么多麥子……”

接下來請學(xué)生用所學(xué)的指數(shù)運算表示出第x+1個方格的麥子數(shù).

通過這個口口相傳的數(shù)學(xué)史故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并且從情境中獲得y=2x這個重要的指數(shù)函數(shù).

然而，數(shù)學(xué)概念的形成需要大量的實例反復(fù)感知，僅有這一個函數(shù)無法歸納出指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)屬性.因此，筆者對這個故事情境進(jìn)行了續(xù)集改編，從而得到另一個重要的指數(shù)函數(shù)：

棋盤事件讓國王顏面盡失，但國王非常好學(xué)，通過學(xué)習(xí)，他對指數(shù)函數(shù)有了新的認(rèn)識，于是他又召見了大臣，說：“我很遺憾國庫里沒有這么多麥子，但我這里有一根1米長的金手杖，我決定在10天之后把它賞賜給你，但從今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［5］

這樣，用數(shù)學(xué)史故事引入，讓學(xué)生在“新、奇、趣”的情境中獲得概念形成所必需的實例，高效地完成了概念學(xué)習(xí)的第一步.

二、幫助形成概念，突破教學(xué)難點

概念形成以直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，在反復(fù)感知各種例證的基礎(chǔ)之上，歸納出事物的本質(zhì)屬性，其學(xué)習(xí)形式接近于人類自發(fā)形成概念.一般地，在教學(xué)條件下，學(xué)生掌握概念不經(jīng)歷概念形成的漫長過程，而是運用教學(xué)情境和典型實例的有效創(chuàng)設(shè)，在教師的幫助下“速成”.通過提供大量明顯的具體例子，引導(dǎo)學(xué)生從實際經(jīng)驗的例證中，觀察、比較、分析、歸納、概括出事物的本質(zhì)屬性，較快地獲得新概念，因此不可避免地舍棄了某些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的由來、形成、發(fā)展和演化過程.

龐加萊指出：“教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段.”如果學(xué)生能從數(shù)學(xué)史中了解概念如何產(chǎn)生，獲得的過程碰到怎樣的困難，以及如何解決的，也就能夠深入理解概念.教師在概念教學(xué)中，可以將有益于學(xué)生深刻理解該數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)史素材融入數(shù)學(xué)課堂，有選擇地從數(shù)學(xué)史上那些讓數(shù)學(xué)家也曾困惑的問題出發(fā)，設(shè)計類似的情境，再次讓學(xué)生身臨其境，從而了解概念的形成和發(fā)展、來龍與去脈.讓學(xué)生“再經(jīng)歷”，進(jìn)而“再創(chuàng)造”.這也符合數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，“標(biāo)準(zhǔn)”指出：“要展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過程，加強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，提供學(xué)生親身感受、體驗的機會.”

為了闡述數(shù)學(xué)史在概念形成中的地位，筆者設(shè)計了圖3：

圖3

從圖3可以看出，數(shù)學(xué)概念可通過多種教學(xué)活動來感知、獲得、鞏固、強化，例如，數(shù)學(xué)史只是其中的一個途徑，至于選擇哪種途徑，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容來分析.有些數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)史密切相關(guān)，教師是否運用數(shù)學(xué)史將直接影響教學(xué)效果.

例如，在對數(shù)的概念教學(xué)中，引入這樣一個數(shù)學(xué)故事：16世紀(jì)末，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計算方法稱為當(dāng)務(wù)之急，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550—1617）正是在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的運算而發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的重大事件，天文學(xué)界更是以近乎狂喜的心情來迎接這一發(fā)明.伽利略說過：“給我空間、時間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙.”今天，我們可以用計算機快速求出對數(shù)，而在400年前這簡直是不可想象的！17世紀(jì)，納皮爾經(jīng)過對運算體系的多年研究，精心編制了8位對數(shù)表，后經(jīng)人完善，得到廣泛使用，解決了天文學(xué)、航海等眾多領(lǐng)域的一系列課題.盡管作為一種計算工具，對數(shù)表已經(jīng)不實用了，但是，對數(shù)的思想方法卻仍然具有生命力.正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說：“如果一個人的生命是拿他一生中的工作多少來衡量的話，那么對數(shù)的發(fā)明，等于延長了人類的壽命！”類似這樣的案例在概念教學(xué)中適當(dāng)介紹，能使學(xué)生感受到對數(shù)發(fā)明的重要，加深對數(shù)概念的理解.

像這樣的案例還有許多，在高中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，可介紹函數(shù)符號f（x）演變成f的過程，讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程，縱向把握函數(shù)的概念.更多的案例數(shù)不勝數(shù)，需要教師深入思考、主動挖掘數(shù)學(xué)史料中有助于學(xué)生獲得概念的教學(xué)資源.

三、豐富教學(xué)資源，拓寬數(shù)學(xué)視野

在學(xué)完數(shù)學(xué)概念后，經(jīng)常有學(xué)生會提出疑問：“為什么要發(fā)明對數(shù)？”“對數(shù)為什么要換底？”“為什么有了角度制還要學(xué)習(xí)弧度制？”“為什么初中已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)的概念，高中還要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念？這兩種概念的區(qū)別是什么？”“學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)有什么用？”……要解答諸如此類的問題，數(shù)學(xué)史是極好的素材，在概念的簡單運用與辨析環(huán)節(jié)，搜集相關(guān)概念產(chǎn)生的實際問題的數(shù)學(xué)史背景（如圖4），不僅能豐富教學(xué)資源，還能解答學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的困惑與疑問，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，從而提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖4

比如，在學(xué)生理解了數(shù)學(xué)期望的概念后，教師讓他們課后分小組合作解決下面的問題（史稱“點數(shù)”問題），在下一次課上討論.

若有甲乙兩人（賭技相當(dāng)）各出賭金96金幣，規(guī)定必須要贏3場者才能贏得全部賭金192金幣，但比賽中途因故終止，此時甲、乙勝局?jǐn)?shù)為2∶1.問：此時應(yīng)如何分配賭金？

A認(rèn)為，其賭金分配應(yīng)就其勝局比數(shù)，即2∶1，按比例分配，因而甲可分得金幣，乙可分得=64金幣.

B認(rèn)為，賭金的分配應(yīng)該考慮若不終止比賽，兩人各須贏幾場，按其各需贏得場數(shù)反比分配，即甲已贏2場，須再贏1場就可獲全部賭金，而乙已贏1場，須再贏2場就可獲全部賭金，因此甲所須贏場數(shù)∶乙所需場數(shù)=1∶2，故其反比為2∶1，則甲應(yīng)分得金幣，乙應(yīng)分得金幣.

C認(rèn)為，根據(jù)至多需要幾場比賽才能看出贏家，如果甲需要再比m場才贏；乙需要再比n場才贏，則需再經(jīng)過m+n-1場才能宣布贏家，以勝局比為2∶1為例，接下來的兩場比賽可能結(jié)果如下（a代表甲勝，b代表乙勝）∶aa（甲勝）、ab（甲勝）、ba（甲勝）、bb（乙勝）.因此，甲乙兩人應(yīng)得賭金之比為3∶1，即甲應(yīng)得金幣，乙應(yīng)分得金幣.

D認(rèn)為，甲贏2局，乙贏1局，再擲下一次時，若甲贏了，他將得到全部的192枚金幣；若乙贏了，他們所贏局?jǐn)?shù)比為2：2，在這種情況下分賭金，每人將拿回自己的96枚金幣.綜上所述，若甲贏了將得192枚金幣，乙將獲得0金幣；若甲輸了則會拿到96金幣，乙會拿到96金幣，因此，甲至少可拿到96金幣，乙至少可拿到0金幣.假設(shè)他們不繼續(xù)賭下去的話，可將96枚金幣先給甲，至于剩下的96枚金幣，可能甲得，可能乙得，機會是均等的，所以甲乙平分剩下的96枚金幣，甲乙各得48枚，因此甲得144枚金幣，乙得48枚金幣［6］.

問題：運用你學(xué)過的概率知識，此賭金分配問題該如何解？為什么？

盡管這里沒有出現(xiàn)任何一位數(shù)學(xué)家的名字，但所涉及的4種分賭金的方法分別是15世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕西沃里（L.Pacioli，1445—1509）、卡蘭奇（F.Calandri），以及17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬（P.de Fermat，1601—1665）和帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）的解法.將歷史名題蘊藏在概念簡單運用環(huán)節(jié)，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上著名的分賭金問題，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)期望的概念有了更深刻的認(rèn)識，而且滲透了數(shù)學(xué)文化.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［J］，北京：人民教育出版社，2003.

2.李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（2）.

3.黃永明.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)科教學(xué)［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2011.

4.黨宇飛.提高數(shù)學(xué)教學(xué)情境時效性的基本原則和方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（9）.

5.楊玉東，王兄.運用關(guān)鍵性教學(xué)事件分析支撐中國式數(shù)學(xué)課例研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（3）.

6.汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006（1）.