例談定義域在解題中的應(yīng)用

山東省青州第三中學(xué)(262500) 岳洪偉

例談定義域在解題中的應(yīng)用

山東省青州第三中學(xué)(262500) 岳洪偉

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容,貫穿始終,是教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn),也是難點(diǎn).定義域是函數(shù)要素之一,占有重要地位,在解題時(shí)如果忽視定義域會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤,本文對(duì)幾個(gè)例題簡(jiǎn)要分析,希望在解題時(shí)充分重視定義域的重要作用.

一．判斷是否為同一函數(shù)

例1:下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是:( )

分析:判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù),需要函數(shù)的要素對(duì)應(yīng)相同,在A.B選項(xiàng)中兩函數(shù)定義域不同,C選項(xiàng)中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同,所以正確選項(xiàng)為D,另外需要補(bǔ)充一點(diǎn),求函數(shù)的定義域時(shí),不能對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理之后再求定義域,因?yàn)榛?jiǎn)會(huì)改變函數(shù)自變量的取值范圍,引起定義域錯(cuò)誤.

二．判斷函數(shù)奇偶性

分析:判斷函數(shù)的奇偶性的首要步驟就是判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果對(duì)稱再判斷f(?x)=±f(x)是否成立,最后得出結(jié)論.在題目的四個(gè)函數(shù)中①先求出定義域?yàn)閧1,?1},所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,并且把原函數(shù)化簡(jiǎn)后得到非常典型的一個(gè)函數(shù)f(x)=0,既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).②定義域?yàn)镽,且所以為奇函數(shù),如果推導(dǎo)時(shí)運(yùn)算比較麻煩也可轉(zhuǎn)化為判斷f(?x)±f(x)=0是否成立.③求出函數(shù)的定義域?yàn)??1,1],不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以非奇非偶函數(shù)④求得定義域?yàn)閧x|?2≤x≤2,x/=0},再化簡(jiǎn)原函數(shù)為顯然為奇函數(shù).通過(guò)以上四個(gè)小題,特別是在①④兩函數(shù)中,定義域還起到了簡(jiǎn)化函數(shù)解析式的作用,如果不作相應(yīng)的化簡(jiǎn),會(huì)直接導(dǎo)致最后結(jié)論錯(cuò)誤.

三．函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

例3(2013北京模擬)已知函數(shù)其中b∈R,

(1)若x=?1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求b的值.

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析:在本題中利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性,屬于基本方法,但在第(2)問(wèn)中很容易把定義域當(dāng)作R,忽視定義域,從而導(dǎo)致全部單調(diào)區(qū)間出錯(cuò),所以在求函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要把定義域放到首要地位,以防失誤.

四．在函數(shù)對(duì)稱性中的應(yīng)用

例4(2016武漢四月調(diào)研)函數(shù)的對(duì)稱中心為( )

A. (?4,6) B. (?2,3)

C. (?4,3) D. (?2,6)

分析:本題可以由定義域進(jìn)行快速解題,函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x/=?1,x/=?2,x/=?3},如果有對(duì)稱中心,其定義域也必關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱,所以此點(diǎn)橫坐標(biāo)只能為?2,答案選B．

五．解不等式中的應(yīng)用

例5(2016湖南邵陽(yáng)月考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,x∈(?1,1)且f(0)=0,若f(1?x)+f(1?x2)＜0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___

分析: 由條件求得f(x)=5x+sinx,此函數(shù)是奇函數(shù),且在(?1,1)上單調(diào)遞增,由f(1?x)+f(1?x2)＜0得f(1?x)＜f(x2?1),所以,解得在本題中,不能漏掉原不等式中定義域的要求.

六．復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用例6(2016廣西柳州期中)已知函數(shù)ax+a)在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___

分析:所給函數(shù)為復(fù)合函數(shù),根據(jù)內(nèi)外兩層函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則,只需令g(x)=x2?ax+a在區(qū)間上是減函數(shù),且g(x)＞0,所以解得容易遺漏函數(shù)定義域要求g(x)＞0導(dǎo)致出錯(cuò).

變式練習(xí):若函數(shù)f(x)=loga(ax2?x)(a＞0a/=1)在[3,4]上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____答案: (1,+∞)

七．求最值中的應(yīng)用

例7.已知x2+y2?2y?3=0,求x2+2y2的取值范圍.

分析:由x2+y2?2y?3=0得x2=?y2+2y+3代入x2+2y2得x2+2y2=y2+2y+3=(y+1)2+2,但一定不要漏掉由x2=?y2+2y+3≥0這一隱含條件決定了y的范圍為[?1,3],所以原式取值范圍為[2,18].

八．其它相關(guān)的應(yīng)用

例8. 已知命題p∶α=β,命題q∶tanα=tanβ,則p是q的( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

通過(guò)以上幾個(gè)例題,能看出定義域在解題中的重要性,如果忽視了對(duì)定義域的研究,很有可能看似簡(jiǎn)單題目也會(huì)變得漏洞百出,導(dǎo)致失誤丟分,所以在解題中,提高對(duì)定義域的的重視,也就會(huì)提高解題的正確率,達(dá)到事半功倍的效果.