淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

廣州市黃埔區(qū)新港中學(xué)(510735) 鄒振華

淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

廣州市黃埔區(qū)新港中學(xué)(510735) 鄒振華

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出:“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”用解題訓(xùn)練培養(yǎng)解題能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).那么,怎樣加強(qiáng)解題訓(xùn)練,從而提高學(xué)生的解題能力呢?

一、培養(yǎng)認(rèn)真審題的好習(xí)慣.

仔細(xì)、認(rèn)真地審題,提高審題能力是解題的首要前提.教學(xué)中要求學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真的審題習(xí)慣,通讀題,對(duì)題目中的條件(特別是發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件)、問題及有關(guān)的情況,進(jìn)行整體認(rèn)識(shí),充分理解題意,把握本質(zhì)和聯(lián)系,理清正確的解題思路.

例1: 已知弓形弦長(zhǎng)弓形高為6,求弓形的面積.不認(rèn)真審題學(xué)生可能會(huì)給出下面的結(jié)論:

圖1

圖2

正確的應(yīng)為:如圖2,已求得OA=4,已知弓形高為6,弓形的高大于半徑,所以此弓形應(yīng)大于半圓,即圖2,

(注:此題中的條件弓形高為6)

二、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.

(一)數(shù)形結(jié)合的思想:

“數(shù)”與“形”無處不在.借助圖形能使問題明朗化,不但直觀,而且全面,整體性強(qiáng),能比較容易地找到問題的關(guān)鍵所在,對(duì)解題大有益處.比如:(1)求幾個(gè)圖象圍成的圖形的面積,需要根據(jù)函數(shù)解析式求出特殊點(diǎn)的坐標(biāo),通過整合圖形,分割圖形,補(bǔ)全圖形來求解.(2)函數(shù)中的最值問題.(3)河邊取水問題,求兩條線段之和最小.需要通過軸對(duì)稱,利用軸對(duì)稱的性質(zhì),構(gòu)造兩點(diǎn)之間線段最短,來得到最小值,(4)兩邊之差最大問題.構(gòu)造三角形,根據(jù)兩邊之差都小于第三邊來解決等等.

(二)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

解數(shù)學(xué)題最根本的途徑是“化難為易,化繁為簡(jiǎn),化未知為已知”.也就是把復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問題通過一定的數(shù)學(xué)思維、方法和手段,逐漸將它轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)大家熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式,然后通過大家所熟悉的數(shù)學(xué)運(yùn)算把它解決.比如,我們學(xué)校要建一個(gè)生物園,學(xué)校給出的是一塊形狀不規(guī)則的地,如何丈量的它的面積呢?首先在課堂上教學(xué)生依據(jù)一定的比例,將實(shí)際地形繪制成紙上圖形,然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長(zhǎng)方形、三角形,利用學(xué)過的面積計(jì)算方法,計(jì)算出這些圖形的面積之和,也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積.在這里,我們把無法計(jì)算的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成了可以計(jì)算的規(guī)則圖形,從而解決了土地丈量問題.

比如:我們熟知的解分式方程就是通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來解,再經(jīng)檢驗(yàn)確定分式方程的解.

“轉(zhuǎn)化”的思想,是解題最重要的思維習(xí)慣.面對(duì)難題,面對(duì)沒有見過的題,首先就要想到轉(zhuǎn)化,也總是能夠轉(zhuǎn)化的.平時(shí),老師在課堂上要教學(xué)生是怎樣解題的,是怎樣“化難為易,化繁為簡(jiǎn),化未知為已知”的.并要求同學(xué)之間多交流交流成功轉(zhuǎn)化的體會(huì),深入理解轉(zhuǎn)化的真正含義,切實(shí)掌握轉(zhuǎn)化的思維和技巧.

例2:如圖,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E,則陰影部分的面積是多少?.解此題時(shí)就應(yīng)注意將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化;將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求面積.連接OE、交BD于點(diǎn)F,則△OFB～=△EFD∴

(三)分類討論的思想

要求學(xué)生在考慮問題時(shí)一定要周全,多想幾個(gè)如果.

圖3

圖4

例3: 圓中兩平行弦長(zhǎng)分別為6cm、8cm,半徑為5cm,則兩弦之間的距離是多少?

學(xué)生總出現(xiàn)只考慮一種情況的答案:

(1)當(dāng)兩弦在圓心兩旁時(shí),如圖所示:

(2)如果兩弦在圓心同旁時(shí)呢?

例4:相交兩圓的半徑分別為公共弦長(zhǎng)為2,兩圓的圓心距為4或2.

(1).兩圓心在公共弦的兩側(cè).(2).兩圓心在公共弦的同側(cè).

例5:圓中一弦所對(duì)的弧是兩條,所對(duì)的圓周角也是兩種情況.

(四)培養(yǎng)“方程”的思維能力

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的,最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系,其次是不等量關(guān)系.最常見的等量關(guān)系就是“方程”.比如等速運(yùn)動(dòng)中,路程、速度和時(shí)間三者之間就有一種等量關(guān)系,可以建立一個(gè)相關(guān)的等式:速度時(shí)間=路程,在這樣的等式中,一般會(huì)有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是“方程”,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程.我們的學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)接觸過簡(jiǎn)易方程,而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程,并總結(jié)出解一元一次方程的五個(gè)步驟.如果學(xué)會(huì)并掌握了這五個(gè)步驟,任何一元一次方程都能順利地解出來.初二、初三學(xué)習(xí)解二元一次方程組、一元二次方程、分式方程.解這些方程的思維幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個(gè)步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決.另外,初中物理中的能量守恒,化學(xué)中的化學(xué)平衡式,現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際運(yùn)用,都需要建立方程,通過解方程來求出結(jié)果.因此一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好,進(jìn)而學(xué)好其它形式的方程.所謂的“議程”思維就是對(duì)于數(shù)學(xué)問題,特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系,善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程,進(jìn)而用解方程的方法去解決它.

三、解完題后的反思訓(xùn)練.

讓學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣,是解題教學(xué)中非常重要的一環(huán),必須十分重視.

(一)檢驗(yàn)求解結(jié)果.主要是核查結(jié)果是否正確無誤,推理是否有理有據(jù),解答是否祥盡無漏.

例6:設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a?2=0的兩個(gè)根,當(dāng)a為何值時(shí),有最小值?最小值是多少?

解:

(二)討論解法.主要是尋求其它不同解法或改進(jìn)解法,分析解法特征關(guān)鍵和主要思維過程;尋找規(guī)律,多題一解等.這將有利于開拓思維、積累經(jīng)驗(yàn),整理方法;有助于增強(qiáng)思維的靈活性和發(fā)展提高解題能力.

(三)解題后的總結(jié)、歸納、推廣.

例7:求得菱形的面積是兩條對(duì)角線的乘積的一半.那么,四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,是否都滿足此結(jié)論?

例8:證明:順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,以后,可進(jìn)一步發(fā)展推廣為:“這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度和.”

解題后的反思、總結(jié)、推廣,也是培養(yǎng)學(xué)生積極思維、發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造突破能力的有效途徑.如果能讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣,會(huì)收到很大的效益.

四、增強(qiáng)自信是解題的關(guān)鍵

自信才能自強(qiáng),在考試中,總是看到有些同學(xué)的試卷出現(xiàn)許多空白,有好多題根本沒有動(dòng)手去做.俗話說,藝高膽大,藝不高就膽不大.但是做不出是一回事,沒有去做又是另一回事.稍微難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)題都不是一眼就能看出它的解法和結(jié)果的.要去分析、探索、比比畫畫、寫寫算算,經(jīng)過迂回曲折的推理或演算,才能顯現(xiàn)出條件和結(jié)論之間的某種聯(lián)系,整個(gè)思路才會(huì)明朗清晰起來.沒有動(dòng)手去做,又怎么知道自己不會(huì)做呢?即使是老師,拿到一道難題,也不能立即答復(fù)學(xué)生.也同樣要去分析研究,找到正確的思路后才能講授.不敢去做,稍微復(fù)雜一點(diǎn)的題(不一定是難題,有些題只不過是敘述多一點(diǎn)),是缺乏自信心的表現(xiàn).在數(shù)學(xué)解題中,自信心是相當(dāng)重要的.要相信自己,只要不超出自己的知識(shí)范疇,不管哪道題,總是能用自己所學(xué)過的知識(shí)把它解出來.要敢于去做題,要善于去做題.這就叫做在“在戰(zhàn)略上藐視敵人,在戰(zhàn)術(shù)上重視敵人”.具體解題時(shí),一定要認(rèn)真審題,緊緊抓住題目的所有條件不放,不要忽略了任何一個(gè)條件.一道題和一類題之間有一定的共性,可以想想這一類題的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住這一道題的特殊性.抓住這一道題與這一類題不同的地方,數(shù)學(xué)題幾乎沒有相同的,總有一個(gè)或幾個(gè)條件不相同,因此思路和解題過程也不盡相同.有些同學(xué)老師講過的題會(huì)做,其他題就不會(huì)做,只會(huì)依樣畫瓢,題目有些小的變化就無從下手.當(dāng)然做題先從哪兒下手是一件棘手的事,不一定找得準(zhǔn).但是,做題一定要抓住其特殊性則絕對(duì)沒錯(cuò).選擇一個(gè)或幾個(gè)條件作為解題的突破口,看由這個(gè)條件能得出什么,得出的越多越好,然后從中選擇其它條件有關(guān)的,進(jìn)行推算或演算.一般難題都有多種解法,條條大道通羅馬.要相信利用這道題的條件,加上自己學(xué)過的那些知識(shí),一定能推出正確的結(jié)論.數(shù)學(xué)題目是無限的,但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的.我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法,就能順利地對(duì)付那無限的題目.題目并不是做得越多越好,題海無邊,總也做不完.關(guān)鍵在于你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法.當(dāng)然,題目做得多也有若干好處:一是熟能生巧,加快速度,節(jié)省時(shí)間,這一點(diǎn)在考試中時(shí)間有限制時(shí)顯得尤為重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式,形成良性循環(huán).解題需要豐富的知識(shí),更需要自信心.沒有自信心就會(huì)畏難,就會(huì)放棄.只有自信才能勇往直前,才不會(huì)輕言放棄,才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí),才有希望攻克難關(guān),迎來屬于自己的春天.

總之,只有讓學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),認(rèn)真審題,把握必要的數(shù)學(xué)思想和方法,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,不斷反思、總結(jié)、歸納、推廣,舉一反三,增強(qiáng)學(xué)生的自信,那么就能逐步培養(yǎng)學(xué)生解題能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)整體素質(zhì).