追根溯源 生成概念
——HPM視角下的初中函數概念的教學

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

追根溯源 生成概念
——HPM視角下的初中函數概念的教學

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

函數是描述千變萬化的現實世界的數量關系中最基本、最重要的數學模型,函數概念是中學數學的中心概念之一．但是,由于函數是人類對客觀事物的認識由相對靜態(tài)上升到動態(tài)的飛躍,比較抽象,而八年級學生的認知水平還處于具體運算和形式運算的過渡發(fā)展階段,因此,函數概念是初中學生學習過程中最困難的概念之一,初中函數概念的教學是一線老師關注的熱點．

HPM,即History and Pedagogy of Mathematics,是數學史與數學教育的簡稱．數學史融入數學教育的研究是HPM領域的重要方向之一,是為滿足提高數學效率而運用數學知識的一種教學理念[1]．最近,筆者觀摩了林俊偉老師執(zhí)教的人教版《數學》八年級下冊“函數與變量”(第1課時)[2],引發(fā)筆者對初中數學概念教學的進一步思考,與同行交流．

1 活動設計

1.1 聯系實際,問題引入

問題1.票房收入問題:每張電影票的售價為50元．(1)若一場售出150張電影票,則該場的票房收入是____元;

(2)若一場售出205張電影票,則該場的票房收入是____元;

(3)若一場售出x張電影票,則該場的票房收入y元,則y=___.

思考:

(1)票房收入隨售出的電影票變化而變化,即y隨___的變化而變化;

(2)當售出票數x取定一個確定的值時,對應的票房收入y的取值是否唯一確定?

(例如,當x=150時,y的取值是唯一、還是有多個值?)答:_______．

問題2.路程問題:汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程為skm,行駛時間為th,填寫下表:(表1)

表1

思考: (1)行駛路程隨行駛時間變化而變化,即s隨____的變化而變化;

(2)若汽車行駛th,行駛的路程為skm,則s=____.

(3)當行駛時間t取定一個確定的值時,對應的行駛路程s的取值是否唯一確定?

(例如,當t=10時,s的取值是唯一、還是有多個值?)答:________．

問題3. 圖形問題:你見過水的漣漪嗎?如圖1,圓形水波慢慢地擴大,在這一過程中,當圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時,圓的面積S分別為多少?

圖1

思考:

(1)圓的面積隨半徑變化而變化,即S隨的變化而變化;

(2)若半徑為rcm,圓的面積為S,則S=____.

(3)當半徑r取定一個確定的值時,對應圓的面積S的取值是否唯一確定?(例如,當t=10時,s的取值是唯一、還是有多個值?)答:________．

設計意圖: 挖掘和利用實際生活中與變量有關的問題情境,讓學生經歷探索具體情境中兩個變量關系的過程,直接獲得探索變量關系的體驗.

1.2 交流探索,初步感知函數

問題1. 上述三個問題中,分別涉及哪些量的關系?通過哪一個量可以確定另一個量?

問題2. 請具體指出上面這些問題中,哪些量是變量,哪些量是常量.

問題3. 在前面的每個問題中,有幾個變量?同一個問題中的變量之間有什么聯系?

在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上師生歸納:上面的每個問題中的兩個變量互相聯系,當其中一個變量取定一個值時,另一個變量就有唯一確定的值.并給出函數概念.

(結合函數概念的形成,老師同步PPT展示函數的史料)

數學史料1——函數的萌芽階段

公元前4000年左右就有了函數最原始的形態(tài)．14世紀法國數學家奧雷姆在表示隨時間t而變化的變數x時畫出圖形,其中心思想就是用圖形來表示一個變量的本質,它依賴于另一個量．17世紀,這種方法被天文學家開普勒和伽利略應用于天體運行方面的研究,伽利略關于自由落體等的研究始終包含著兩個量同時變化的思想,這些語言被視為早期函數的雛形．函數一詞最初出現在萊布尼茨寫于1673年的手稿中,它用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量．1714年,萊布尼茨在《微分學的起源與歷史》中,用“函數”一詞來表示依賴于一個變量的量．1748年,大數學家歐拉在《無窮分析引論》中下的函數定義為:“一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析式[3]．

設計意圖:在數學史上,數學家們對函數的最初認識就是從兩個相互依賴的量開始,認為函數就是由一個變量依賴于另一個變量的解析式,而我們學生在初中所學的函數概念就是這樣一個變量說,因此學生對這3個例子是完全熟悉的,也是能理解的．選材既貼近學生的生活,符合學生的認知發(fā)展,降低理解難度,又遵循了人類歷史上對函數的認識過程,即數學家最先認識到的是兩個變量的函數關系．數學史的引入使學生的認知更豐盈．

1.3 動手實驗,加深體驗

問題1. 如圖2,是撫順春季某一天的氣溫T隨時間t變化的圖象,看圖回答:

圖2

(1)這天的 8時的氣溫是____℃,14時的氣溫是______℃,22時的氣溫是___℃;

(2)這一天中,最高氣溫是____℃,最低氣溫是____℃;

(3)這一天中,在4時～12時,氣溫( ),在12時～14時氣溫( ),在16時～24時,氣溫( ).

A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變

思考:

(1)天氣溫度隨的變化而變化,即T隨____的變化而變化;

(2)當時間t取定一個確定的值時,對應的溫度T的取值是否唯一確定?

(例如,當t=12時,所得溫度T的取值是唯一、還是有多個值?)答:_______．

問題2.表2,我國人口數統計表中,年份與人口數可以分別記作兩個變量x與y,對于表中每一個確定的年份x,都對應著一個確定的人口數y嗎?

表2

問題3.用10米長的繩子圍成一個矩形,當矩形的一邊長x分別為3米,3.5米,4米時,它的鄰邊長y分別為多少?y的值隨x的值的變化而變化嗎?對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應嗎?

問題4. 指出以上問題中的常量、變量,每個問題分別有幾個變量?在每一個問題中,哪個是自變量?你能將其中的某個變量看成是另一變量的函數嗎?(隨著問題的提出,老師同步PPT展示函數的史料)

數學史料2——函數的發(fā)展階段:

就在歐拉給出函數的解析式定義不久,他自己也發(fā)現了其局限性,認為圖2、表2這類雖寫不出變量間的解析式,但仍是兩變量間的相互依賴關系,也應該是函數．于是在1755年的《微分學原理》序言中,歐拉給出了更一般的定義:如果某些量依賴于另一些量,當后面這些量變化時,前面這些變量也隨之變化,則前面的量稱為后面的量的函數．這里,歐拉明確地表述了變量之間相互依賴的變化關系,使人們對函數概念的認識在嚴密性上前進了一大步,它反映了數學對現實關系的摹寫上的進化．

設計意圖: 來自于實際生活中的三個例子,學生能理解．在學生的心中,最開始跟大多當年的數學家起初的認識一樣,以為函數必須要有解析式,否則就不是．而圖2,表2的例子就給了學生直觀的沖擊,雖變量間寫不出解析式,但仍有依賴關系,這樣開始過渡到“對應”的思想,讓學生更深刻地體會到函數對應關系的表示方法有解析式法、圖象法、列表法,有利于學生正確地掌握函數概念．數學史料引起學生的共鳴,讓學生在與史上數學家相同的經歷中加深對概念的理解．

1.4 概念辨析,深化理解

問題1. 如表3,是某班同學一次數學測試中的成績登記表:這一數學測試中,

表3

(1)13號的成績?yōu)開__;

(2)17號的成績?yōu)開__;

(3)23號的成績?yōu)開___．

思考:

(1)任意確定一個學號x,對應的成績f的取值是否唯一確定?

(2)測試成績隨____的變化而變化;其中常量是,變量是,是自變量,是的函數;

(3)任意確定一個成績f,對應的學號x的取值是否唯一確定?

(4)x是f的函數嗎?

問題2.兩個變量x、y滿足關系式|y|=x,填表并回答問題:

表4

y是x的函數嗎?為什么?

(隨著問題的發(fā)展,老師同步PPT展示函數的史料)

數學史料3——函數的完善階段:

1837年德國數學家狄利克雷給出了函數的定義:“設a、b是兩個確定的量,x是可取a、b之間一切值的變量.如果對于每一個x,有唯一的y值與它對應,使得當x從a到b連續(xù)變化時,y=f(x)也逐漸變化,那么y就稱為該區(qū)間上x的一個連續(xù)函數．”這就是人們常說的函數的經典定義．這種“對應”的說法,清晰完美地刻畫地函數兩變量之間的關系. 20世紀初誕生的集合論徹底改變了人們思考問題的方式,以美國數學家維布倫為代表,結合康托的集合論給出了如今普遍認同的函數定義:給定兩個集合A和B,如果集合A中的每一個元素在結合B中都有唯一確定的元素與之對應,則稱集合A和B之間的對應關系為從集合A到集合B的函數.

函數概念的發(fā)展由最初的“解析式”到“變量說”到“對應說”,最后抽象為現在的“關系說”．在這個過程中,函數概念的抽象程度、嚴密性不斷提高.從函數概念的歷史來看,經歷從感性到理性,從具體到抽象,從常量到變量,思維由具體到抽象的過程,不斷反復、螺旋上升,反映了過程和對象不斷統一的過程．

設計意圖:源自于實際生活的表3,引發(fā)了學生的進一步思考,幫助學生認識函數概念的本質.問題1是學生熟悉的生活情景,在理解上沒有難度,具體生動的例子,可以幫助學生理解函數概念“單值對應”這一核心內涵,有助于正確掌握函數概念.數學史的介紹讓概念有血有肉,有利于學生理解,也對學生進行了情感教育,培養(yǎng)學生良好的數學品質.

1.5 例題解決,運用概念

例1.汽車油箱中有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(單位:L)隨行駛路程x(單位:km)的增加而減少,耗油量為0.1L/km.

(1)寫出表示y與x的函數關系的式子;

(2)指出自變量x的取值范圍;

(3)汽車行駛200km時,油箱中還有多少汽油?

設計意圖:鞏固變量與函數的概念,讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數關系,初步接觸函數的不同表示方法.

1.6 學以致用,鞏固概念

1.購買一些簽字筆,單價3元,總價為y元,簽字筆為x支,根據題意填表:

y(支) 1 2 3…x(元)

(1)y隨x變化的____,關系式y=____,____是自變量, ___是___的函數;

(2)當購買8支簽字筆時,總價為___元.

2.周末,小李8時騎自行車從家里出發(fā),到野外郊游,16時回到家里.他離開家后的距離s(千米)與時間t(時)的關系如圖3.

圖3

(1)當t=12時,s=___;當t=14時,s=___;

(2)小李從___時開始第一次休息,休息時間為小時,此時離家____千米.

(3)距離是時間t的函數嗎?

(4)時間是距離的函數嗎?

設計意圖:鞏固變量與函數等概念,讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數關系,隱含在函數關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法.練習2(4)幫助學生進一步理解函數的“單值對應關系”,讓學生明確“由哪一個量能唯一確定另一個量”,從而更好地理解自變量與函數的關系,養(yǎng)成學生逆向思維的習慣．

1.7 小結:函數的概念

設計意圖:通過小結,讓學生抓住理解函數概念的實質．

2.教學思考

2.1 準確定位,精心預設,生成概念

俗話說:一臺好戲,一定有一個精彩的劇情．課堂是一個舞臺,要使劇情精彩,教師就得定位準,精心設計．本節(jié)課是函數入門課,首先必須準確認識變量與常量的特征,初步感受到現實世界各種變量之間聯系的復雜性,研究兩個變量之間的特殊對應關系,同時感受數學研究方法的化繁就簡．因此本節(jié)課把教學重點放在認識“兩個變量間的特殊對應關系:由哪一個變量確定另一變量”．另一方面,變量與函數的概念把學生由常量數學的學習引入變量數學學習中,較為抽象,學生初次接觸函數的概念,難以理解定義中“唯一確定”的準確含義．但是,考慮到學生在日常生活中也接觸過函數圖象、兩個變量的關系等生活實例．所以,在本節(jié)課的教學中,教師優(yōu)化教材內容,精心設計教學活動,由實例展開,以問題導線,從學生較為熟悉的現實情景入手,引領學生認識變量和函數的存在和意義,體會變量之間的互相依存關系和變化規(guī)律,初步理解函數的概念．借助生活實例,引導學生辨析兩個變量的關系中,由哪一個量的變化引起另一個量的變化,進而指出由哪一個變量確定另一個變量,初步體會函數概念的核心,正確掌握概念．并結合概念的學習引進史料,還原數學家們建立數學概念的火熱思考．課堂在教師的精心設計下,環(huán)環(huán)相扣,遵循函數概念的發(fā)展,給學生創(chuàng)造了函數概念發(fā)生發(fā)展的過程,在問題的導線下,層層深入理解,生成概念,剖析內涵,掌握概念的本質．

2.2 在HPM視角下,激發(fā)學習動力,探究概念形成

章建躍老師說過,概念教學的核心是:讓學生經歷概念本質特征的概括過程,使學生有機會通過自己的觀察與思考,從具體事例中抽象出概念的本質特征進而獲得概念,因此,在概念教學中,要通過恰當的問題情境啟發(fā)學生思考,讓他們經歷概念本質特征的抽象過程[5]．在歷史上,函數概念的形成經歷了非常漫長的過程,才逐步發(fā)展到現在相對較完善的地步．如此長的一個發(fā)展過程,要在一節(jié)課內理解掌握,對初中的學生來說是比較困難的．考慮到初中學生的認知特點,又考慮到歷史上對函數的認識的過程,正好與初中生的認知相吻合,因此,在本節(jié)課教學中,教師運用信息技術播放,把數學史融入教學,給學生的概念理解搭“手腳架”,帶給學生以認知沖突,引發(fā)學生對新知的需求,使得學生的學習表現不是停留在知識與技能的掌握這一層面,而是進一步達到了在感受函數的悠久歷史中傳承知識的文化,將“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”,讓函數概念的教學厚重而靈巧,有效地促進教學目標的達成．

弗賴登塔爾指出:“我們不應該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡,而是經過改良過同時有更好引導的歷史過程”．在教學中,教師采用了“動作分解”,精心設計教學環(huán)節(jié),針對函數概念在產生過程中遇到的幾個問題創(chuàng)設相類似的簡單生活情景,沿著歷史上數學家探究函數概念的足跡,把歷史上數學家對函數的4次抽象認識,用生活中具體例子來說明,讓學生體驗函數概念產生的過程,了解數學知識在歷史上產生的來龍去脈,引領學生參與變量的發(fā)現和函數概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數學知識的方法,感知現實世界中變量之間聯系的復雜性,數學研究從最簡單的情形入手,化繁為簡．這樣使學生既感到直觀,又循序漸進地認識函數,完全符合歷史發(fā)生原理,把數學史知識隱性地融入到課堂教學中．

2.3 濃妝淡抹,取舍有道

課堂教學也如文章,在哪些環(huán)節(jié)該濃墨淡彩,在哪些地方該取舍,教師需心中有數,把握好詳與略的度,否則易出現“頭重腳輕”或者“浮光掠影”,影響教學的目標的落實．本節(jié)課從整體上分為“情景的引入,概念生成,概念的鞏固與應用,課堂小結”四個板塊,其中概念的形成又經歷了“認識變量與常量——初步感知函數——函數概念的變量法認知——函數概念的對應法認知”四個環(huán)節(jié)．在教學中,教師在細節(jié)上精心設置每一個預設的問題,關注學生的學習心理,了解學生思維的最近發(fā)展區(qū),創(chuàng)設情景,讓學生“簡約”地經歷概念的生成．同時,在整體上合理分配各板塊和環(huán)節(jié)教學時間,使得整個概念的教學既蘊味深長,又不冗長抽象,符合學生的認知．

[1]吳駿,汪曉勤.數學史融入數學教學的實踐:他山之石[J].數學通報, 2014(2):13-16

[2]數學·八年級下冊.人民教育出版社,2012

[3]田方琳,汪曉勤.初中數學課堂上的數學故事[J].中學數學月刊, 2013(9)

[4]宋瑛.HPM視角下_函數的概念_第一課時_的教學與感悟.福建中學數學,2015(4):5-8

[5]章建躍.如何實現“思維的教學——以平面圖形的旋轉”的教學為例.中學數學參考,2015(4)10-12