在比較中明晰概念

張士峰

【摘要】概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要內(nèi)容，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，更是學(xué)生發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。為讓學(xué)生能正確地理解百分?jǐn)?shù)的這一概念的內(nèi)涵與外延，作者在教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)》（北師大版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)，百分?jǐn)?shù)的起始課）時(shí)，設(shè)計(jì)了三次不同的比較，籍此層層推進(jìn)，不斷接近百分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)屬性。第一次比較，同中求同，讓學(xué)生利用知識(shí)的遷移，從分?jǐn)?shù)的意義中正向遷移出百分?jǐn)?shù)的意義；第二次比較，異中求同，學(xué)生在不斷用自己語(yǔ)言描述不同百分?jǐn)?shù)的意義中，抽絲剝繭得出百分?jǐn)?shù)意義的數(shù)學(xué)表述方式；第三次比較，同中求異，以一道改寫題為抓手讓學(xué)生通過(guò)比較得出分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)的異同。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 比較

【中圖分類號(hào)】G623.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）04-0106-02

本堂課，從知識(shí)點(diǎn)的角度可以分解為以下5個(gè)：1.百分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用；2.百分?jǐn)?shù)的寫法；3.百分?jǐn)?shù)的讀法；4.百分?jǐn)?shù)意義；5.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的異同。其一，知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)體系中的地位，百分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用地位一般，百分?jǐn)?shù)的寫法、讀法、意義都是重點(diǎn)，而百分?jǐn)?shù)的意義與比較分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的異同又是難點(diǎn)；其二，知識(shí)點(diǎn)的前期知識(shí)儲(chǔ)備，除了百分?jǐn)?shù)的意義與比較分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的異同有一定的知識(shí)儲(chǔ)備之外，其他知識(shí)點(diǎn)學(xué)生都是有相當(dāng)?shù)闹R(shí)儲(chǔ)備的；其三，課堂上的教師行為。百分?jǐn)?shù)的讀法與寫法學(xué)生通過(guò)自學(xué)完全可以掌握，而作為教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)的百分?jǐn)?shù)的意義與比較分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的異同，教師必須在教學(xué)過(guò)程中借助具體情境和生活實(shí)例，通過(guò)比較、總結(jié)幫助學(xué)生形成正確的概念。

一比：同中求同——從分?jǐn)?shù)的意義中引出百分?jǐn)?shù)的意義

師：同學(xué)們，90%在這里表示什么意思？

生1：90%表示100道題目，孫芳做對(duì)了90道。

師：可以這樣表述。還有其他的說(shuō)法嗎？

生2：90%表示，做對(duì)的題數(shù)占總題數(shù)的百分之九十。

師：你是怎么想得？

生2：因?yàn)?0%這個(gè)百分?jǐn)?shù)是從18/20這個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)的。18/20表示做對(duì)的題數(shù)占總題數(shù)的18/20，那么90%就可以表示做對(duì)的題數(shù)占總題數(shù)的90%。

師：你選擇其中的一個(gè)百分?jǐn)?shù)，像這位同學(xué)一樣同桌之間相互說(shuō)一說(shuō)嗎？

本堂課百分?jǐn)?shù)是從分?jǐn)?shù)中引出的，引導(dǎo)學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)的意義上得出百分?jǐn)?shù)的意義是利用了知識(shí)的正向遷移。90%這個(gè)百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù) 通過(guò)分子分母同時(shí)乘5得到的，在本題中 是指某同學(xué)在20道題目中做對(duì)了18道題，或者說(shuō)是做對(duì)的18道題占總題數(shù)20道的 。在百分?jǐn)?shù)的意義沒(méi)有完全用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示之前，學(xué)生利用已有的表述分?jǐn)?shù)意義的語(yǔ)句來(lái)描述百分?jǐn)?shù)的意義。這正是本教學(xué)環(huán)節(jié)安排的意義所在：利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)告訴他（她）：百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)通過(guò)通分得來(lái)的，百分?jǐn)?shù)的意義也可從分?jǐn)?shù)的意義中引申過(guò)來(lái)。于是課堂上學(xué)生就有了兩種百分?jǐn)?shù)意義的描述方式：（1）90%表示100道題目，孫芳做對(duì)了90道；（2）90%表示，做對(duì)的題數(shù)占總題數(shù)的百分之九十。以上兩種意義的表述方式，第二種更符合或者說(shuō)更接近百分?jǐn)?shù)意義的正確表述方式，因此教師在處理時(shí)就有了側(cè)重點(diǎn)，更注重引導(dǎo)學(xué)生用第二種方法來(lái)描述百分?jǐn)?shù)的意義。

二比：異中求同——概括百分?jǐn)?shù)的意義

師：看來(lái)大家對(duì)百分?jǐn)?shù)的有了一定的認(rèn)識(shí)，老師為大家準(zhǔn)備了一些百分?jǐn)?shù)，你能說(shuō)一說(shuō)它們的意義嗎？（PPT出示，配圖）

1.我國(guó)男性人口約占總?cè)丝诘?7%。

2.地球上的水約是70%都是海洋水。

3.我校今天的出勤率約是96%。

4.滌綸占70%，棉占30%。

這四組題目具有一定的代表性：第一個(gè)數(shù)據(jù)與百分?jǐn)?shù)意義的表述方式完全相同，第二數(shù)據(jù)總量與部分量的順序相反，第三個(gè)數(shù)據(jù)則是最常見(jiàn)的“率”，第四則是不出現(xiàn)總量（但可以根據(jù)圖來(lái)確定總量）。通過(guò)這樣四組表述不同的百分?jǐn)?shù)意義理解，旨在異中尋同，概括出百分?jǐn)?shù)意義的一般表述方法。

先給學(xué)生一個(gè)獨(dú)立思考的空間，以便后面學(xué)生進(jìn)一步的交流。在學(xué)生反饋的同時(shí)教師對(duì)學(xué)生的方法不進(jìn)行任何指點(diǎn)，讓學(xué)生充分展示自己的想法。通過(guò)大量的練習(xí)，學(xué)生感受這里的百分?jǐn)?shù)表示的是通過(guò)一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)在做比較，表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。

師：說(shuō)了這么多百分?jǐn)?shù)的意義，你能用一句話來(lái)概括百分?jǐn)?shù)的意義嗎？

從教師出示的各種各樣的百分?jǐn)?shù)讓學(xué)生描述百分?jǐn)?shù)的意義，這都是有著其背景知識(shí)的或者說(shuō)是具體的情境的，學(xué)生這樣的百分?jǐn)?shù)意義的描述方式是具有局限性的，如何在各種各樣的情境中抽象出百分?jǐn)?shù)意義的數(shù)學(xué)表述方式呢？這就需要通過(guò)觀察各種各樣的具有具體題目背景的百分?jǐn)?shù)的意義的表述方式，并通過(guò)比較最后得出一個(gè)用簡(jiǎn)明扼要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的百分?jǐn)?shù)的意義不表述。

三比：同中求異——比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的異同

從本堂課的設(shè)計(jì)來(lái)看，百分?jǐn)?shù)是源自于分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)的意義也是脫胎與分?jǐn)?shù)，學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為，分?jǐn)?shù)有的屬性百分?jǐn)?shù)同樣具有。然而，事實(shí)上分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)終歸是有區(qū)別的概念，兩者之間雖有千絲萬(wàn)縷地聯(lián)系，但還是有不同的屬性的。然而學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)是非常困難的，這便是知識(shí)的負(fù)向遷移造成。因此，厘清百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同之處也就成了本堂課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。為了使學(xué)生能清晰地比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同之處，課前我設(shè)計(jì)了這樣一道練習(xí)題（PPT出示）：

以下分?jǐn)?shù)能改寫成百分?jǐn)?shù)嗎？

1.運(yùn)走了一堆煤的 。

2.一條繩子長(zhǎng) m。

3.黑板的長(zhǎng)比寬長(zhǎng) m。

改寫是一個(gè)手段，目的是引導(dǎo)比較分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的異同。這樣課堂上學(xué)生通過(guò)辨析，便能較為容易地得出了百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的異同。相同之處為：百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)都可以表示兩個(gè)數(shù)之間相比的關(guān)系，即一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）。不同之處為，分?jǐn)?shù)還可以帶計(jì)量單位表示一個(gè)量，而百分?jǐn)?shù)不能帶計(jì)量單位表示量。由于百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)之間相比的關(guān)系，所以百分?jǐn)?shù)也叫百分比；如果是表示部分同總數(shù)相比，百分?jǐn)?shù)也叫百分率。此外百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)還有在寫法上、讀法上的不同，百分?jǐn)?shù)的分母只能為100，而分?jǐn)?shù)的分母則可以是任何非0自然數(shù)。所以，討論前的獨(dú)立思考不是“空白”，而恰恰是思維的最高處。在整個(gè)教與學(xué)的過(guò)程中，教師注重學(xué)生對(duì)于百分?jǐn)?shù)概念的理解過(guò)程，機(jī)智地運(yùn)用學(xué)生的遷移，并不是急于牽引學(xué)生回到標(biāo)準(zhǔn)答案上來(lái)，而是誘發(fā)學(xué)生自覺(jué)地反思、體會(huì)，逐步靠近準(zhǔn)確的概念。

參考文獻(xiàn)：

[1]斯苗兒.《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例專題研究》.第1版.杭州.浙江大學(xué)出版社.2005年.第88-99頁(yè).第248-260頁(yè).

[2]雷玲.《好課是這樣煉成的（品讀名師經(jīng)典課堂數(shù)學(xué)卷）》.第1版.南寧.廣西教育出版社.第71-75頁(yè).

[3]張樹(shù)偉.備課：教育無(wú)痕的藝術(shù).《中國(guó)教育報(bào)》2005年5月26日第7版.