采用基因表達(dá)式編程的溝灌入滲模型參數(shù)估計(jì)方法

劉 琨，黃冠華

（1.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)－以色列國(guó)際農(nóng)業(yè)研究培訓(xùn)中心，北京 100083）

1 研究背景

相比于有壓灌溉，溝灌具有低能耗和低投入的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于寬行作物，例如棉花，玉米和蔬菜。然而，由于溝灌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)不合理，導(dǎo)致灌溉水利用效率較低，甚至引起次生鹽堿化和地下水污染等問(wèn)題［1］。通過(guò)對(duì)溝灌系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以極大地提高灌水效率［2］。然而，通過(guò)田間試驗(yàn)的方法尋找合理的灌水技術(shù)要素組合費(fèi)時(shí)費(fèi)力，為此人們提出了很多數(shù)學(xué)模型用于溝灌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和管理，其中一些灌溉模型已經(jīng)被開(kāi)發(fā)成應(yīng)用程序，例如WinSRFR［3］和SIRMOD［4］。數(shù)學(xué)模型模擬可以為用戶采用適宜的灌溉系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案、評(píng)價(jià)灌溉系統(tǒng)性能提供有效手段，以達(dá)到提高灌溉質(zhì)量的目的［5］。

入滲量估計(jì)是溝灌水流模擬研究中的重要問(wèn)題之一。只有對(duì)入滲進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)，才能正確地描述灌溉過(guò)程中水分的運(yùn)動(dòng)，對(duì)灌水效果做出合理的評(píng)價(jià)?，F(xiàn)有的溝灌模型大多采用經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)入滲量，經(jīng)驗(yàn)公式具有計(jì)算簡(jiǎn)單，參數(shù)較少等優(yōu)點(diǎn)。然而在實(shí)際溝灌過(guò)程中，溝中水深和濕周不斷變化，影響累積入滲量大?。?］，由于經(jīng)驗(yàn)公式往往沒(méi)考慮土壤的水力特性、水深和濕周變化等因素的影響，導(dǎo)致入滲量的估計(jì)出現(xiàn)較大偏差［7］。

隨著對(duì)入滲機(jī)理的深入認(rèn)識(shí)，人們提出了很多基于物理過(guò)程的溝灌入滲模型。例如W?hling等［8］通過(guò)一個(gè)形狀轉(zhuǎn)換公式將溝灌二維入滲描述成一系列一維入滲的累加，該模型具有較高的精度，但是當(dāng)計(jì)算節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，模型計(jì)算效率較低。Warrick等［9］提出一個(gè)溝灌近似入滲模型，將溝灌二維入滲看成一維入滲和邊界效應(yīng)之和，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了模型，但此模型僅考慮了積水深度恒定的情況，與實(shí)際的溝灌過(guò)程中積水深度變化的情況有較大差異。Bautista等［10］通過(guò)對(duì)Warrick模型改進(jìn)，使其可以應(yīng)用于積水深度變化條件下的入滲計(jì)算，該模型只包含一個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)γ，計(jì)算較為簡(jiǎn)單。Warrick等［9］的研究表明，γ與土壤水力參數(shù)、積水深度和初始有效含水率有關(guān)。Bautista等［10］的研究表明，在定水頭條件下γ值與積水深度有關(guān)，在變水頭條件下γ值可取為常數(shù)。

目前關(guān)于參數(shù)γ的研究還只是定性地分析了其與影響因素之間的關(guān)系，并給出γ的取值范圍，尚未提出參數(shù)γ的定量估計(jì)方法。在實(shí)際中，土壤的濕潤(rùn)程度、土壤水力特性和積水深度在灌水過(guò)程中隨著時(shí)空變化，導(dǎo)致γ的取值具有時(shí)空變化特征，若將γ視為常數(shù)，則可能導(dǎo)致入滲計(jì)算的不準(zhǔn)確，同時(shí)參數(shù)γ時(shí)空變化增加了其估計(jì)的難度。

近年來(lái)，人工智能技術(shù)，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法和基因表達(dá)式編程（GEP）算法等被引入水文與水資源學(xué)領(lǐng)域，并被廣泛應(yīng)用于模型參數(shù)優(yōu)化中。例如，Valipour等［11］使用遺傳算法優(yōu)化修正Kostiakov入滲模型參數(shù)，魯帆等［12］采用多智能體遺傳算法估計(jì)了馬斯京根模型參數(shù)，彭昱忠等［13］使用GEP算法獲得了單一重現(xiàn)期暴雨強(qiáng)度計(jì)算模型的參數(shù)。GEP算法是一種通用的自適應(yīng)隨機(jī)搜索算法，能夠在缺乏先驗(yàn)知識(shí)的情況下，依賴實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的挖掘建立較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)公式。與傳統(tǒng)的遺傳算法等相比，GEP算法運(yùn)算更加靈活，計(jì)算效率也更高［14］。

本文采用GEP算法，建立γ與其敏感因子之間的顯式表達(dá)式，為溝灌入滲模型提供了有效的參數(shù)估計(jì)方法，并通過(guò)比較溝灌入滲模型與HYDRUS-2D計(jì)算結(jié)果，檢驗(yàn)采用GEP算法估計(jì)γ方法的精度。

2 理論與方法

2.1 溝灌入滲模型 Bautista等［10］提出的溝灌入滲模型表達(dá)如下：

式中：I2D為單位溝長(zhǎng)的累積入滲量，cm2；I1D為一維累積入滲量，cm；t為時(shí)間，min；W為濕周，cm；θS、θ0分別為飽和含水率和初始含水率，cm3/cm3；S為土壤吸濕系數(shù)，cm/min0.5；γ為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

因?yàn)榉e水深度沿濕周變化，計(jì)算I1D時(shí)使用的積水深度應(yīng)該小于實(shí)際的積水深度。Bautista等［15］指出可使用濕周平均水深代替實(shí)際的積水深度，濕周平均水深可采用下式計(jì)算：

式中：hW為濕周平均水深，cm；h為積水深度，cm；z（x）為濕周節(jié)點(diǎn)上的垂向坐標(biāo)，cm。

hW也用于計(jì)算土壤吸濕系數(shù)：

式中：KS為飽和導(dǎo)水率，cm/min；hf為土壤濕潤(rùn)鋒處的壓力水頭，cm，可以通過(guò)Neuman公式計(jì)算［16］：

式中：h0為初始含水率對(duì)應(yīng)的壓力水頭，cm；K（h）為導(dǎo)水率，cm/min。

整理式（1）可得γ的表達(dá)式：

2.2 參數(shù)γ估計(jì)的GEP算法

2.2.1 數(shù)據(jù)集合 使用GEP算法時(shí)，首先需要建立GEP算法的有效數(shù)據(jù)集合，本研究中通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)獲得有效數(shù)據(jù)集合。選擇了6種類(lèi)型土壤進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，代表不同的土壤質(zhì)地。對(duì)于每種土壤，模擬了不同溝截面形狀、積水深度和初始含水率條件下的入滲，根據(jù)式（5）計(jì)算出不同模擬情景下的γ值。表1總結(jié)了不同模擬情景的土壤水力特性、積水深度和溝截面形狀。溝截面形狀及尺寸見(jiàn)圖1。

式（5）中的二維和一維入滲量分別通過(guò)HY?DRUS-2D［17］和 HYDRUS-1D［19］計(jì)算得到。圖 2 給出了HYDRUS-2D的計(jì)算區(qū)域。模型的上邊界為定水頭邊界，根據(jù)積水深度設(shè)置；下邊界條件為自由排水邊界；其余邊界為零通量邊界；初始條件為初始含水率對(duì)應(yīng)的壓力水頭。HYDRUS-1D計(jì)算區(qū)域?yàn)?00 cm深的土壤剖面，上邊界條件為定水頭邊界，根據(jù)濕周平均水深設(shè)置；下邊界條件為自由排水邊界；初始條件為初始含水率對(duì)應(yīng)的壓力水頭。將計(jì)算的二維和一維入滲量代入式（5），進(jìn)而獲得不同模擬情景下的γ值。

表1 不同模擬情景的土壤水力特性、積水深度和溝截面形狀

圖1 溝截面形狀及尺寸（單位：cm）

圖2 HYDRUS-2D計(jì)算區(qū)域（單位：cm）

表2 數(shù)據(jù)集合統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)得到的162數(shù)據(jù)點(diǎn)，以飽和導(dǎo)水率Ks、積水深度h、有效含水率Θ（Θ=（θ0-θr）/（θS-θr））、進(jìn)氣值參數(shù)α、孔徑分布指數(shù)n、溝深D和溝頂寬B作為輸入變量，γ作為輸出變量，建立GEP算法的有效數(shù)據(jù)集合，數(shù)據(jù)集合的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)見(jiàn)表2。將有效數(shù)據(jù)集合隨機(jī)分成訓(xùn)練集合（70%）和驗(yàn)證集合（30%），訓(xùn)練集合包含112個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，用于GEP算法的運(yùn)算；驗(yàn)證集合包含50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，用于檢驗(yàn)GEP算法的預(yù)測(cè)效果。

2.2.2 輸入因子 分析γ的敏感參數(shù)，確定GEP算法的輸入因子。分析的參數(shù)包括KS、Θ、α、n、h、D和B。以壤土和G2溝截面形狀為基準(zhǔn)，初始參數(shù)設(shè)置如下：KS=0.0173cm/min、α=0.036cm-1、n=1.56、Θ=0.49、h=10 cm、D=40 cm、B=20 cm。將所有的參數(shù)以10%的間隔從-50%增加到+50%，根據(jù)γ的變化情況確定GEP算法的輸入因子。

設(shè)置不同的輸入因子組合，比較不同組合GEP算法的預(yù)測(cè)效果，確定最優(yōu)組合，建立γ的顯式表達(dá)式。使用決定系數(shù)（R2）、均方根誤差（RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）和平均相對(duì)誤差（MRE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其計(jì)算方法如下：

式中：Oi和Pi為實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值；和為實(shí)測(cè)和預(yù)測(cè)值的平均值；n為比較變量的數(shù)量。

2.2.3 GEP算法過(guò)程 這里對(duì)參數(shù)估計(jì)的GEP算法過(guò)程的步驟進(jìn)行簡(jiǎn)要總結(jié)，詳細(xì)的介紹請(qǐng)參考Ferreira［11］。算法的主要步驟如下：（1）初始參數(shù)設(shè)置，包括適應(yīng)度函數(shù)選擇、終點(diǎn)集和函數(shù)集選擇、染色體結(jié)構(gòu)選擇、連接函數(shù)選擇、遺傳算子及其相應(yīng)的發(fā)生概率選擇等；（2）根據(jù)遺傳算子對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行遺傳操作；（3）染色體解碼，評(píng)價(jià)當(dāng)前種群的適應(yīng)度；（4）根據(jù)終止準(zhǔn)則判斷是否迭代，若不滿足終止準(zhǔn)則，生成新的種群，代數(shù)加一；若滿足終止準(zhǔn)則，停止計(jì)算。

重復(fù)（2）—（4）步驟達(dá)到預(yù)先指定的代數(shù)或找到一個(gè)最優(yōu)解，停止計(jì)算。本研究中，使用GeneXpro程序進(jìn)行GEP算法計(jì)算，GEP算法的主要參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表3。

2.3 變積水深度條件入滲計(jì)算 將建立的γ顯式表達(dá)式應(yīng)用于溝灌入滲模型，計(jì)算變積水深度條件下的累積入滲量并與HYDRUS-2D計(jì)算結(jié)果比較，檢驗(yàn)GEP算法對(duì)γ的估計(jì)精度。在計(jì)算中，溝中間位置截面的積水深度變化采用零慣量模型和Bautista入滲模型耦合的溝灌水流模擬模型得到，作為入滲模型的上邊界條件。模型的輸入?yún)?shù)見(jiàn)表4，結(jié)果如圖3所示。采用MRE和RMSE評(píng)價(jià)溝灌入滲模型的效果。

圖3 灌水溝中間位置截面的積水深度變化

3 結(jié)果分析與討論

3.1γ的敏感分析 圖4給出了γ對(duì)參數(shù)變化的響應(yīng)結(jié)果，可以看出，γ對(duì)積水深度最敏感，壤土條件下γ隨著積水深度的增大而減小。需要注意的是，γ與積水深度之間并不存在確定的正相關(guān)關(guān)系，還受土壤類(lèi)型等因素的影響。Warrick等［20］的研究表明，砂壤土條件下γ隨積水深度增大而增大，粉質(zhì)壤土條件下γ隨積水深度增大而減小。由圖4可知γ對(duì)有效含水率和溝深也很敏感，這與Warrick等［9］的研究結(jié)果一致。γ隨著飽和含水率、進(jìn)氣值參數(shù)和孔徑分布指數(shù)的變化在-10%～10%范圍內(nèi)波動(dòng)（圖4），表明γ對(duì)土壤水力特性參數(shù)也較為敏感，這與Bautista等［15］的研究結(jié)果一致。

表3 GEP算法參數(shù)設(shè)置

表4 模型輸入?yún)?shù)

圖4 γ對(duì)各參數(shù)變化的敏感性分析

參數(shù)γ主要用于重力對(duì)入滲邊界影響的修正，以及土壤剖面含水量分布和吸濕系數(shù)近似處理可能產(chǎn)生誤差的修正［22］。由于積水深度和溝截面形狀決定入滲邊界的范圍，因此γ對(duì)積水深度和溝截面形狀最敏感。土壤有效含水率、導(dǎo)水率、進(jìn)氣值參數(shù)和孔徑分布指數(shù)影響土壤剖面含水量分布情況和吸濕系數(shù)的大小，因此γ對(duì)土壤有效含水率和土壤水力特性參數(shù)也較為敏感。

3.2 最優(yōu)輸入因子組合 根據(jù)γ的敏感性分析結(jié)果選擇h、Θ、D、KS、α和n作為GEP算法的輸入因子，并設(shè)置5組輸入因子組合方案。表5給出了不同方案的GEP算法對(duì)γ預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)結(jié)果。由表5可知，方案1中僅使用γ的三個(gè)最敏感參數(shù)Θ、h和D，γ的預(yù)測(cè)精度較低。方案2、3、4在方案1的基礎(chǔ)上分別增加了參數(shù)KS、n和α，與方案1相比，方案2、3、4的γ預(yù)測(cè)精度都有所提高，這表明土壤水力特性參數(shù)對(duì)γ有較大的影響。Bautista等［15］指出，與積水深度相比，土壤類(lèi)型對(duì)γ的影響更加顯著，因此將土壤水力特性參數(shù)作為輸入因子可以有效地提高GEP算法對(duì)γ的預(yù)測(cè)精度。與方案2相比，方案3、4的預(yù)測(cè)精度更高，訓(xùn)練組的R2值分別為0.825和0.775，這表明與飽和導(dǎo)水率相比，孔徑分布指數(shù)和進(jìn)氣值參數(shù)對(duì)γ的貢獻(xiàn)更大。

由表5可知，方案3在訓(xùn)練組中的預(yù)測(cè)效果較好，R2值最高，但是在驗(yàn)證組預(yù)測(cè)精度較低，R2值僅為0.576。方案5在訓(xùn)練和驗(yàn)證組的預(yù)測(cè)效果均較好，MAE值最小，分別為0.053 cm2和0.049 cm2。由于方案5考慮的影響因素最全面，預(yù)測(cè)效果較好（見(jiàn)圖5），因此確定方案5為最優(yōu)的輸入因子組合。最優(yōu)輸入因子組合GEP算法得到的γ表達(dá)式為：

表5 不同輸入因子組合的GEP算法對(duì)γ預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖5 方案5實(shí)測(cè)值和GEP算法預(yù)測(cè)值之間的回歸分析

3.3 變積水深度條件下γ的估計(jì)值 圖6給出了變積水深度條件下不同土壤類(lèi)型采用GEP算法估計(jì)的γ值?？梢钥闯靓秒S著積水深度增加，最終穩(wěn)定在一個(gè)恒定值附近。這是由于在一定時(shí)間后積水深度變化不大（圖3），此時(shí)的入滲過(guò)程可視為定積水深度條件下的入滲，因此γ值穩(wěn)定在恒定值附近。對(duì)于不同類(lèi)型的土壤，γ隨著土壤導(dǎo)水率增加而增加，黏壤土的γ值為0.82，砂土的γ值為1.13。這與Bautista等的結(jié)果一致，其研究結(jié)果表明質(zhì)地較粗的土壤的γ值更大。Bautista等給出的黏壤土、砂黏壤土和壤砂土的γ值分別為0.8、0.9和1.0［10］，本研究中估計(jì)的3種土的γ穩(wěn)定值分別為0.82、0.88和1.12，與Bautista等的結(jié)果相近，表明GEP算法對(duì)γ的估計(jì)效果較好。

3.4 變積水深度條件下累積入滲量 將式（10）應(yīng)用于溝灌入滲模型計(jì)算累積入滲量，并與HYDRUS-2D計(jì)算的“精確”結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示。從圖中可以看出，采用GEP算法估計(jì)γ值的溝灌入滲模型計(jì)算精度較高，MRE值均小于5%，滿足入滲計(jì)算的精度要求，這表明所建立的基因表達(dá)式（式（10））在變積水深條件下對(duì)γ的估計(jì)效果較好。

為了進(jìn)一步研究變積水深度對(duì)γ的影響，通過(guò)擬合溝灌入滲模型計(jì)算的累積入滲量與HYDRUS-2D計(jì)算的“精確”結(jié)果，反求出變積水深度的γ值，并與定積水深度的γ值進(jìn)行比較（見(jiàn)表6），結(jié)果表明變積水深度的γ值與定積水深度的γ值取值接近，這與Bautista等的結(jié)果一致，其研究發(fā)現(xiàn)變積水深度和定積水深度的γ值相近［10］，這表明γ對(duì)積水深度變化條件不敏感。雖然基因表達(dá)式（式（10））是基于定積水深度條件建立的，在變積水深度條件下對(duì)γ的估計(jì)效果也較好。GEP算法估計(jì)的γ穩(wěn)定值與反求的變積水深度的γ值接近（見(jiàn)表6），因此使用估計(jì)的γ穩(wěn)定值計(jì)算溝灌累積入滲量，在滿足計(jì)算精度要求的同時(shí)，可以使溝灌入滲模型的應(yīng)用更加方便。

圖6 變積水深度條件下不同類(lèi)型土壤采用GEP算法估計(jì)的γ值

表6 變積水深度和定積水深度條件的γ值

3.5 土壤類(lèi)型對(duì)邊界效應(yīng)的影響 為了研究土壤類(lèi)型對(duì)邊界效應(yīng)的影響，本文模擬了不同土壤在定積水深度（10 cm）和相同初始土壤含水率（0.25）條件下的入滲。入滲過(guò)程中與一維累積入滲量增加速率相比，總?cè)霛B量增加速率更大，因此入滲過(guò)程中邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量的貢獻(xiàn)逐漸增大（見(jiàn)圖8）。這是在入滲邊界中考慮了水流重力作用影響的結(jié)果［21］，在入滲開(kāi)始階段，土壤基質(zhì)勢(shì)起主導(dǎo)作用，隨著入滲時(shí)間的推進(jìn)，土壤含水率增加，毛管基質(zhì)勢(shì)作用逐漸減小，重力勢(shì)的作用逐漸增大，因此邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量貢獻(xiàn)逐漸增大。由圖9可知對(duì)于質(zhì)地較粗的土壤，邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量貢獻(xiàn)更大，黏壤土中邊界效應(yīng)的最終貢獻(xiàn)約為25%，砂土中約為37%。這是由于粗質(zhì)土壤的砂粒含量較多，對(duì)水分的吸附能力小，重力對(duì)水分運(yùn)動(dòng)的影響大，進(jìn)而導(dǎo)致邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量的貢獻(xiàn)較大。

圖7 采用GEP算法估計(jì)γ值的溝灌入滲模型計(jì)算的入滲量與HYDRUS-2D計(jì)算結(jié)果比較

圖8 砂壤土總?cè)霛B量和一維累積入滲量模擬結(jié)果

圖9 入滲過(guò)程中邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量貢獻(xiàn)

4 結(jié)論

本文采用基因表達(dá)式編程算法，建立了溝灌入滲模型參數(shù)γ與最優(yōu)組合因子之間的基因表達(dá)式，提出了參數(shù)γ的估計(jì)方法，并分析了變積水深度對(duì)γ值和累積入滲量影響以及土壤類(lèi)型對(duì)邊界效應(yīng)的影響。主要結(jié)論如下：

（1）γ與積水深度、溝形狀和土壤水力特性等因素有關(guān)，其中γ對(duì)積水深度、初始有效含水率和溝深度最敏感，建立的基因表達(dá)式為γ與積水深度、初始有效含水率、溝深、飽和導(dǎo)水率和進(jìn)氣值參數(shù)之間的定量關(guān)系。

（2）變積水深度的γ值與定積水深度的γ值取值接近，基于定積水深度條件建立的基因表達(dá)式在變積水深度條件下對(duì)γ的估計(jì)效果較好，與利用HYDRUS-2D模型計(jì)算得到的“精確”入滲量相比，應(yīng)用基于γ估計(jì)值的溝灌入滲模型計(jì)算的累積入滲量誤差小于5%，滿足計(jì)算精度要求。對(duì)于質(zhì)地較粗的土壤，γ值更大，黏壤土γ值約為0.8，砂土的γ值約為1.2。

（3）入滲過(guò)程中受重力作用的影響，邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量的貢獻(xiàn)逐漸增大。與細(xì)質(zhì)土壤相比，粗質(zhì)土壤中邊界效應(yīng)對(duì)總?cè)霛B量的貢獻(xiàn)更大，本研究條件下，黏壤土中邊界效應(yīng)最終貢獻(xiàn)約為25%，砂土中約為37%。

參 考 文 獻(xiàn)：

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