地震作用下混凝土壩時(shí)變動(dòng)力可靠度的概率密度演化方法研究

陳健云，賈啟彬，徐 強(qiáng)

（1.大連理工大學(xué) 工程抗震研究所，遼寧 大連 116024；

2.大連理工大學(xué) 海岸與近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

1 研究背景

我國(guó)西部地區(qū)既是水能資源豐富的地區(qū)，也是地震頻發(fā)的地區(qū)?；炷翂卧陂L(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中不可避免地遭受各種外界環(huán)境和外部荷載的影響［1］，導(dǎo)致壩體的抗震能力隨時(shí)間逐漸退化，進(jìn)而可能引起大壩在地震作用下面臨潰決災(zāi)變的風(fēng)險(xiǎn)，造成人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。所以對(duì)混凝土壩進(jìn)行全壽命周期抗震安全性能評(píng)估有著重要意義［2］。

混凝土壩所處外界環(huán)境的不確定性以及大壩本身性能的變異性促使人們用可靠度方法來(lái)評(píng)價(jià)其安全性。當(dāng)這些不確定性的因素同時(shí)具有時(shí)變性時(shí)，可靠度變的十分復(fù)雜且計(jì)算量巨大，因此在水工領(lǐng)域關(guān)于時(shí)變可靠度的研究有限。劉寧等［3］考慮了溫度場(chǎng)、徐變應(yīng)力場(chǎng)和混凝土強(qiáng)度的隨機(jī)性并結(jié)合隨機(jī)有限元計(jì)算了混凝土重力壩的時(shí)變可靠度；張俊芝等［4］在系統(tǒng)可靠度的基礎(chǔ)上探討了服役混凝土重力壩系統(tǒng)可靠度隨時(shí)間的變化；楊志剛［5］應(yīng)用灰色理論對(duì)隨機(jī)變量時(shí)變性進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)引入了混凝土損傷變量對(duì)混凝土重力壩時(shí)變可靠性進(jìn)行了分析；姜樹(shù)海等［6-8］分析了大壩運(yùn)行過(guò)程中各種隨機(jī)變量的時(shí)變特性對(duì)大壩防洪安全和堤壩滲流風(fēng)險(xiǎn)的影響；蘇懷智等［9-11］相繼將信息熵理論、模糊概率理論、相關(guān)性分析、多失效模式和非概率可靠度等方法運(yùn)用到了混凝土重力壩的時(shí)變可靠度分析中。上述研究均考慮了大壩服役過(guò)程中結(jié)構(gòu)可靠度的變化，結(jié)合時(shí)變特性運(yùn)用傳統(tǒng)瞬時(shí)可靠度分析方法對(duì)大壩進(jìn)行可靠性評(píng)價(jià)。但是由于傳統(tǒng)可靠度方法的限制，時(shí)變可靠度的分析僅局限于有限的離散時(shí)間點(diǎn)。另外，抗震動(dòng)力性能作為大壩服役期間一個(gè)很重要的研究對(duì)象，并未具體出現(xiàn)在上述研究當(dāng)中。雖然也有學(xué)者［12-16］對(duì)混凝土壩隨時(shí)間變化的抗震能力進(jìn)行了相關(guān)研究，但是并未考慮環(huán)境及壩體自身的不確定性，缺少大壩安全的可靠性評(píng)價(jià)，所以有必要針對(duì)運(yùn)行過(guò)程中壩體的抗震性能變化從概率角度進(jìn)行大壩抗震安全性評(píng)價(jià)。

根據(jù)以上所述，基于李杰等［17］提出的概率密度演化理論，本文首次提出一種全壽命周期抗震性能可靠度分析方法，區(qū)別于廣義概率密度演化理論中給定的初始條件，這里根據(jù)等價(jià)極值事件求得所需初始條件，并將隨運(yùn)行時(shí)間變化的混凝土壩動(dòng)力非線性響應(yīng)極值按隨機(jī)過(guò)程處理建立概率密度演化方程，運(yùn)用數(shù)值方法求解，基于首次超越準(zhǔn)則對(duì)大壩進(jìn)行時(shí)變動(dòng)力可靠度分析。該方法可兼顧壩體結(jié)構(gòu)的時(shí)變性和不確定性，與以往方法相比，本文方法充分利用概率密度演化理論在計(jì)算動(dòng)力可靠度方面的高效率和高精度的優(yōu)勢(shì)，避免樣本統(tǒng)計(jì)階段帶來(lái)的誤差，從概率角度分析混凝土壩抗震性能隨服役時(shí)間的演化規(guī)律，并給出連續(xù)時(shí)間的時(shí)變可靠度分析。經(jīng)算例驗(yàn)證，建議方法與蒙特卡洛法對(duì)比，計(jì)算結(jié)果一致性較好，計(jì)算效率提高。

2 混凝土壩時(shí)變抗震性能概率密度演化理論

地震動(dòng)作用下混凝土壩的非線性動(dòng)力響應(yīng)分析方程即可表示為：

考慮材料隨機(jī)性，假設(shè)Θ=(Θ1Θ2…Θs)為混凝土壩結(jié)構(gòu)性能參數(shù)中的隨機(jī)變量，s為混凝土壩性能參數(shù)中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)；為混凝土壩任意感興趣的性能指標(biāo)（例如位移、應(yīng)力或?qū)用婵够€(wěn)定系數(shù)等），m為感興趣的性能指標(biāo)的數(shù)目。則式（1）可表示為：

式中：Tg為給定地震動(dòng)總持時(shí)。

考慮材料時(shí)變性，引入一個(gè)時(shí)間變量ta，ta∈[0Ta]，其中，ta表示混凝土壩已運(yùn)行時(shí)間，Ta表示混凝土壩服役期限，一般為50年到100年。則在地震作用下Z(tg)的極值。變?yōu)楸硎敬髩芜\(yùn)行ta時(shí)間后，

在整個(gè)服役期間內(nèi)，Y(Θta)為一個(gè)保守的隨機(jī)系統(tǒng)，所以根據(jù)概率守恒原理可得廣義概率密度演化方程［17］：

當(dāng)m=1時(shí)，式（4）變成一維廣義概率密度演化方程［17］：

如將式（5）應(yīng)用于整個(gè)大壩服役期內(nèi)，還需要重新求解所需初始條件，結(jié)合等價(jià)極值事件，引入虛擬過(guò)程［18］：

這里ta=0表示混凝土壩開(kāi)始投入使用，使式（6）滿(mǎn)足如下條件：

最終通過(guò)求解式（5）可以得到Y(jié)(t)即整個(gè)服役期間目標(biāo)物理量的概率密度函數(shù)：

從而，可以得到結(jié)構(gòu)時(shí)變動(dòng)力可靠度：

式中：Ωs為未超過(guò)限值的安全區(qū)域。

通常情況下，式（5）和式（8）無(wú)法直接求得解析解，需要借助有限差分法進(jìn)行求解，常用的差分格式［19］包括：?jiǎn)芜叢罘指袷?、Lax-Wendroff格式、TVD差分格式，不同差分格式穩(wěn)定性和收斂性不同，需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的差分格式，本文選擇單邊差分格式。

離散代表點(diǎn)的選取是概率密度演化理論的關(guān)鍵性技術(shù)，代表點(diǎn)選取的好壞將直接影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，方式眾多，本文采用數(shù)論選點(diǎn)法并基于GF偏差對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行優(yōu)化［20］。

3 混凝土壩地震動(dòng)時(shí)變可靠度分析

3.1 基本步驟 基于概率密度演化理論的全壽命周期可靠度分析方法可分為以下幾個(gè)步驟：

（1）選取壩體混凝土彈性模量和抗拉強(qiáng)度作為隨機(jī)變量。根據(jù)分布類(lèi)型和混凝土特性時(shí)變規(guī)律選取離散代表點(diǎn)集，其中q=1 2…Nsel為代表點(diǎn)集數(shù)目，ta為運(yùn)行時(shí)間?；贕F偏差對(duì)點(diǎn)集優(yōu)化，并依據(jù)voronoi區(qū)域計(jì)算賦得概率Pq。

（2）根據(jù)選取的代表點(diǎn)選擇參數(shù)建立有限元模型，計(jì)算大壩的動(dòng)力響應(yīng)，得到服役期內(nèi)壩體響應(yīng)極值以及速率本文采用和文獻(xiàn)［21］一致的相對(duì)位移角作為壩體響應(yīng)。

（5）根據(jù)式（11）計(jì)算服役期內(nèi)結(jié)構(gòu)時(shí)變動(dòng)力可靠度的R(t)。

3.2 混凝土重力壩時(shí)變動(dòng)力可靠度分析 針對(duì)某一混凝土重力壩，采用本文所提出的方法進(jìn)行時(shí)變動(dòng)力可靠度分析。大壩模型參數(shù)如圖1所示，僅進(jìn)行壩體分析。壩體材料參數(shù)見(jiàn)表1，混凝土本構(gòu)模型選用開(kāi)裂位移損傷模型［22］。外荷載主要考慮靜力荷載（重力、水壓力、揚(yáng)壓力、泥沙壓力）和地震作用，動(dòng)水壓力按照Westergaard附加質(zhì)量法計(jì)算。地震動(dòng)選?。喊凑?00年超越概率2%的基巖地震動(dòng)水平向峰值加速度為0.304g，對(duì)Koyna實(shí)測(cè)地震波進(jìn)行調(diào)幅，豎向地震動(dòng)峰值取其2/3。

圖1 大壩模型（單位：m）

3.3 隨機(jī)變量選擇 本文引入壩體參數(shù)不確定性和時(shí)變性分析地震作用下大壩時(shí)變動(dòng)力可靠度?？紤]影響混凝土壩力學(xué)性能的主要因素［23-24］，選取彈性模量和混凝土強(qiáng)度作為隨機(jī)變量，均值取表1中對(duì)應(yīng)的數(shù)值，變異系數(shù)均為0.1，服從正態(tài)分布類(lèi)型，選取89個(gè)樣本點(diǎn)。對(duì)于壩體材料的時(shí)變性，經(jīng)過(guò)學(xué)者們大量研究試驗(yàn)得到了一系列的關(guān)于混凝土的時(shí)變規(guī)律，本文參考相關(guān)文獻(xiàn)［4，25］，衰減函數(shù)取為：

表1 材料參數(shù)

混凝土強(qiáng)度：

混凝土彈性模量：

式中：Rc(0)為混凝土初始強(qiáng)度；Ec(0)為混凝土初始彈性模塊；t單位為年。

衰減規(guī)律如圖2所示。

圖2 衰減規(guī)律

3.4 結(jié)果分析 利用上述模型分別分析了大壩正常運(yùn)行狀態(tài)和地震作用下的性能變化。

3.4.1 正常運(yùn)行狀態(tài) 首先對(duì)正常運(yùn)行狀態(tài)的大壩承載能力進(jìn)行分析，主要荷載包括重力、水壓力、揚(yáng)壓力和泥沙壓力。通過(guò)上游壩頂與壩踵的相對(duì)位移角φ1(t)反映壩體整體的變形和承載能力：

φ1(t)的概率信息如圖3所示。從圖3（a）可以發(fā)現(xiàn)，位移角均值變化與圖2中材料參數(shù)的變化規(guī)律相似，這是因?yàn)樵诤愣o力外荷載下，結(jié)構(gòu)處于彈性范圍內(nèi)，壩體相對(duì)位移角將隨材料參數(shù)變化呈線性變化；從圖3（b）可以看到，第1年的φ1(t)概率分布與第50年的φ1(t)概率分布差別很小，到第100年φ1(t)的均值變大，表明在運(yùn)行前中期，性能退化不明顯；當(dāng)進(jìn)入到后期，壩體進(jìn)入老化階段，性能衰減速率增加。

圖3 正常運(yùn)行狀態(tài)Φ1(t)概率信息

3.4.2 地震作用下 本文考慮了在大壩服役周期過(guò)程中，隨著材料逐漸退化首次遭遇地震荷載壩體的響應(yīng)。根據(jù)以往的實(shí)際震害資料和學(xué)者分析研究，重力壩下游折坡處是其抗震薄弱位置，易發(fā)生開(kāi)裂破壞，因此這里引入了位移角φ2(t)作為折坡處開(kāi)裂程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)：

φ2(t)的概率信息如圖4所示。從圖4可以看到：在地震作用下，壩體材料進(jìn)入非線性階段，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)變得不規(guī)則；結(jié)合圖4（a）和（b）發(fā)現(xiàn)，φ2(t)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨運(yùn)行時(shí)間逐漸增加，在最后30年離散性顯著變大，說(shuō)明壩體的加速老化使得壩體抗震性能的不確定性迅速增加，壩體抗震性能呈整體下降趨勢(shì)。究其原因，壩體材料性能退化，導(dǎo)致其自身的振動(dòng)頻率降低，強(qiáng)度降低；地震荷載下混凝土發(fā)生損傷破壞引起剛度和強(qiáng)度降低，造成壩體的動(dòng)力特性不斷發(fā)生變化。

圖4 地震作用下φ2(t)概率信息

將地震作用下的φ1(t)的概率信息提取出來(lái)，如圖5所示，其概率信息的變化規(guī)律與φ2(t)的變化規(guī)律相似，兩相對(duì)位移角的概率密度分布均具有極值Ⅰ型分布特征。不同的是，φ1(t)值主要分布在2×10-4～5×10-4范圍內(nèi)，φ2(t)值主要分布在3×10-4～8×10-4范圍內(nèi)，φ2(t)所反應(yīng)的破壞程度高于φ1(t)，表明在同樣的地震作用下，下游折坡處是重力壩的脆弱部位，相較于其他位置變形要大，這與實(shí)際震害基本吻合［26］，說(shuō)明了可以選用相對(duì)位移角來(lái)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

圖5 地震作用下φ1(t)概率信息

3.5 時(shí)變動(dòng)力可靠度分析 為便于說(shuō)明本文方法，描述可靠度隨時(shí)間變化規(guī)律，根據(jù)上文φ1(t)和φ2(t)的范圍，分別假設(shè)φ1(t)位移角限值為3×10-4、φ2(t)位移角限值為5×10-4，計(jì)算大壩時(shí)變動(dòng)力可靠度，結(jié)果如圖6所示。圖6（a）（b）分別為φ1(t)、φ2(t) 的累積概率分布時(shí)變曲面。圖6（c）（d）為可靠度時(shí)變曲線。從圖6可以看出，φ1(t)和φ2(t)的可靠度均隨時(shí)間降低，說(shuō)明抗震性能隨時(shí)間逐漸退化?？煽慷冉档退俣冉橛诰€性和指數(shù)之間，考慮到材料屬性的指數(shù)型衰減以及地震作用非線性響應(yīng)帶來(lái)的不確定性，符合實(shí)際情況。

為驗(yàn)證本文方法的正確性，利用Monte Carlo算法產(chǎn)生500個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算得到的結(jié)果對(duì)本方法89個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行校核。由于Monte Carlo算法計(jì)算量龐大，為簡(jiǎn)化，這里僅提取了φ1(t)和φ2(t)分別在1年、50年和100年的可靠度計(jì)算結(jié)果（表2）。從表2可以看出，本文方法的計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛結(jié)果基本一致。每個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算量相同，蒙特卡洛方法是本方法計(jì)算量的5倍之多，體現(xiàn)了概率密度演化理論的計(jì)算高精度和高效性。

圖6 大壩時(shí)變動(dòng)力可靠度演化

表2 數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)論

本文針對(duì)大壩抗震性能隨時(shí)間退化的現(xiàn)狀，結(jié)合概率密度演化理論對(duì)運(yùn)行過(guò)程中混凝土壩的抗震動(dòng)力性能進(jìn)行了概率演化分析，并經(jīng)模型驗(yàn)證了所提出方法的可行性。本文方法兼顧了結(jié)構(gòu)性能的隨機(jī)性和時(shí)變性，繼承了概率密度演化方法計(jì)算的高精度和高效性；跳過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)階段，直接從概率密度函數(shù)角度獲得了均值和標(biāo)準(zhǔn)差，避免了統(tǒng)計(jì)帶來(lái)的誤差。結(jié)果表明，該方法可以獲得壩體豐富的概率演化信息和可靠度演變規(guī)律，為混凝土壩全壽命周期抗震安全評(píng)估提供了一種新思路。通過(guò)指定不同的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)（如損傷、應(yīng)力、抗滑穩(wěn)定系數(shù)等），可推廣應(yīng)用到其他結(jié)構(gòu)的全壽命周期性能評(píng)估中。由于本文所使用地震波為固定的地震波，因此本文建議方法適用于確定性地震動(dòng)作用下，大壩運(yùn)行過(guò)程的抗震性能安全評(píng)價(jià)，所得概率結(jié)果為條件概率，考慮地震動(dòng)隨機(jī)性將是筆者下一步重點(diǎn)研究的內(nèi)容。

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