高效課堂案例分析——勾股定理

汪洪丹

初二學(xué)生大部分都有玩闖關(guān)游戲經(jīng)驗(yàn)，通過游戲設(shè)置關(guān)卡，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性；讓學(xué)生參與，讓學(xué)生講，讓學(xué)生議論，讓學(xué)生驗(yàn)證、論證，讓學(xué)生練，幫助學(xué)生正確建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高他們的數(shù)學(xué)水平.

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，感受數(shù)學(xué)問題由“觀察——猜想——驗(yàn)證——論證”的科學(xué)研究方法，體會數(shù)學(xué)問題中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

2.能用勾股定理解決一些簡單問題。

教學(xué)重點(diǎn)：探究勾股定理探索并證明勾股定理。

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的探究和證明。

教學(xué)過程：

老師導(dǎo)入語：同學(xué)們，我們今天來玩游戲吧！我設(shè)置了一個(gè)闖關(guān)游戲，分為五關(guān)，每關(guān)都設(shè)有相應(yīng)的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎哦！請看第一關(guān)：眼力大比拼。

設(shè)計(jì)意圖：重視引言教學(xué)，以游戲名義開始教學(xué)，吸引學(xué)生的興趣。

第一關(guān)：眼力大比拼——【導(dǎo)入】

問1：這是我家的地板，請觀察上圖中三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？

問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關(guān)系？

結(jié)論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。

設(shè)計(jì)意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關(guān)系，體會數(shù)學(xué)問題來源于生活，而且處處都可以發(fā)現(xiàn)問題。

老師：第一關(guān)你們闖關(guān)成功。通過第一關(guān)我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會有什么猜想呢？

第二關(guān)：大膽猜想

老師：你們會有什么猜想呢？

學(xué)生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？

猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？

設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)，大膽猜想，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

第三關(guān)：驗(yàn)證猜想

【探究一】

請測量下列直角三角形的三邊長，并分別計(jì)算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。

老師：為節(jié)約時(shí)間，我指定第1，2小組測量圖（1）；第3，4組測量圖（2）；第5，6組測量圖（3）；測完后各小組派個(gè)代表報(bào)數(shù)，并說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能不能驗(yàn)證猜想。

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)驗(yàn)操作，來驗(yàn)證猜想；通過參與驗(yàn)證的過程，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

老師：我現(xiàn)在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個(gè)直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數(shù)據(jù)的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

老師：通過幾何畫板可以畫出無數(shù)個(gè)的直角三角形，這些三角形是否驗(yàn)證了我們的猜想關(guān)系式？

設(shè)計(jì)意圖：體會數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，實(shí)驗(yàn)只能驗(yàn)證猜想，還需要理論論證。

第四關(guān)：論證猜想

拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個(gè)特殊的圖形。

游戲規(guī)則：（1）以4個(gè)全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個(gè)外圍是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內(nèi)完成。

老師：小組進(jìn)行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學(xué)生基本上會拼出兩種圖形：

老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請小組講解）

小組通過面積關(guān)系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

設(shè)計(jì)意圖：展示小組合作能力；發(fā)展學(xué)生的形象思維；體會數(shù)形結(jié)合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

【勾股定理】

勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

（數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)）：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°

∴_____

學(xué)習(xí)勾股定理后，用語音播放勾股定理的發(fā)展歷史，及我國古代的前輩們早在公元前1000多年前就發(fā)現(xiàn)了勾股定理。

設(shè)計(jì)意圖：了解我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感。

思考：（公式變形）

在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：

（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。

（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。

（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生要掌握勾股定理的變形，體會勾股定理可以用來求直角三角形的邊長。

第五關(guān)：知識應(yīng)用大比拼

1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。

（1）若a=6，b=8，則c=_____。

（2）若c=3，b=2，則a=_____。

（3）若c=4，a=3，則b=_____。

2.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（ ）。

A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]

3.判斷對錯：若a、b、c為Rt△ABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）

設(shè)計(jì)意圖：考察學(xué)生能否掌握勾股定理的表達(dá)式，體驗(yàn)強(qiáng)調(diào)直角的重要性；以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。

4.如圖，受臺風(fēng)彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生親身經(jīng)歷的生活背景，來考察勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

小結(jié)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)這節(jié)課體會的從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗(yàn)證，論證。

設(shè)計(jì)意圖：感悟數(shù)學(xué)思想，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。

思考題：湛江海灣大橋是“廣東省第一跨海大橋”。如圖，已知橋塔高AD=150米，其中有兩條拉索：AB=AC=170米，求橋面BC的距離。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生周圍的事物來出題，體會數(shù)學(xué)來源生活，用于生活。