利用幾何畫板，助力“二次函數(shù)”課堂教學(xué)

朱社義

浙江省臨安市島石中心學(xué)校

摘 要：幾何畫板能準(zhǔn)確地展現(xiàn)幾何圖形，揭示幾何規(guī)律，側(cè)重過程教學(xué)，動態(tài)地再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，開創(chuàng)了教與學(xué)的新方式.幾何畫板的應(yīng)用，能最大限度地調(diào)動學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性，潛移默化地促使學(xué)生自主學(xué)習(xí).本文在教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，結(jié)合一些典型的教學(xué)案例，從選擇函數(shù)探索圖象，分析圖象研究性質(zhì)，函數(shù)變換動態(tài)演示，觀察最值總結(jié)規(guī)律。四個方面較深入地闡述了幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，從而促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的有效整合，提高教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；二次函數(shù)；圖象

幾何畫板將函數(shù)圖象從紙面上轉(zhuǎn)移到了電子屏幕上來，這樣就使圖形更加規(guī)范，變換更加順暢，有效的提高了課堂效率。我們所熟知的幾何畫板通常應(yīng)用在幾何圖形的繪制上，在函數(shù)圖象上的應(yīng)用體現(xiàn)了幾何畫板的拓展性。在使用時，要注意到以知識為主，以軟件為輔，重點以教師演示為主，不要求學(xué)生掌握軟件，避免喧賓奪主。下面筆者從四個方面進(jìn)行闡述。

一、選擇函數(shù)，探索圖象

學(xué)過二次函數(shù)的人都知道，二次函數(shù)的圖象是一個拋物線。拋物線的概念學(xué)生在生活中也不陌生，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)將這個概念搬到了書本上。對于初學(xué)者來說，可以從圖形和解析式兩個方向同時學(xué)習(xí)，教師建立函數(shù)的同時也生成圖象，讓學(xué)生有一個完整的認(rèn)識。

在教材中，二次函數(shù)安排在了九年級上冊第一章，自此開始，函數(shù)世界的大門真正向?qū)W生打開，更加復(fù)雜的函數(shù)圖象也即將與學(xué)生們見面。相比于一次函數(shù)的圖象是一條直線，二次函數(shù)中多了一項乘方運(yùn)算，而函數(shù)的變化也更加復(fù)雜，[x2]是變量變化的一個積累。那么二次函數(shù)的圖像又會是怎樣？變化規(guī)律又會是怎樣？它又有哪些性質(zhì)呢？等一系列問題開始困擾學(xué)生。我從一個例子開始給學(xué)生演示“同學(xué)們，我們現(xiàn)在開始探索二次函數(shù)[y=x2-2x+1]圖象，很顯然在學(xué)生還不知道二次函數(shù)圖象時是很難畫出完整圖象的，特別是對于最低點，對稱性等。如果這時能夠借助幾何畫板，用點[x，x2]，的，軌跡來構(gòu)造函數(shù)圖象那就太好了，學(xué)生可以一目了然。

很清楚的看出[y=x2]的圖象是一條拋物線，函數(shù)的最低點是原點，對稱軸是[y]軸，以及圖象的增減性等。這對學(xué)生來說是一個函數(shù)的整體印象的把握，這就體現(xiàn)了幾何畫板

的函數(shù)圖象功能，為進(jìn)一步教學(xué)的開展做出了準(zhǔn)備。有一就有二，函數(shù)圖象創(chuàng)建出來之后，就有了發(fā)揮的空間。[y=x2-2x+1]”可以說是最簡單的二次函數(shù)，我們從簡單的入手再畫幾個二次函數(shù)的圖象例如[y=-x2]，[y=x2-2x+1]，[y=ax2+bx+ca≠0]從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，運(yùn)用幾何畫板可以快速的得到它們的圖象，這也體現(xiàn)了運(yùn)用幾何畫板可以提高課堂效率，對于運(yùn)用幾何畫板作圖還可提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)造性。

二、分析圖象，研究性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)習(xí)函數(shù)部分的關(guān)鍵所在，有了幾何畫板的幫助，我們就可以非常方便地繪制出函數(shù)圖象，通過函數(shù)的圖象來分析函數(shù)主要的性質(zhì)?？偨Y(jié)規(guī)律需要較多數(shù)量的個例分析，而幾何畫板恰好提供了一個“無限”的函數(shù)圖象庫。

我們以[y=x2-2x+1]為著手點，我在演示函數(shù)圖象時，就已經(jīng)繪制出了函數(shù)圖象。

對于該函數(shù)的圖象，我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)圖象呈左右對稱的形態(tài)，對稱軸為直線[x=1]。函數(shù)與[x]軸有一個交點，與[y]軸有一個交點。函數(shù)的最小值為0，最低點為（1，0）。通過對函數(shù)圖象的解讀，我們發(fā)現(xiàn)了很多性質(zhì)，那這些性質(zhì)是[y=x2-2x+1]獨(dú)有的，還是二次函數(shù)共有的性質(zhì)？帶著這種疑問，我們繼續(xù)繪制圖象。接下來我有選取了[y=x2+2x+1]、[y=-x2-3x+1]、[y=x2-2x+3]等多個函數(shù)，一一進(jìn)行圖象的繪制，并尋找圖象的性質(zhì)，最終發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)既有共同點又有各自的特性。共同點是二次函數(shù)都具有相同的形狀，即拋物線型，開口方向有上有下；每個拋物線都具有一條對稱軸，對稱軸對應(yīng)了函數(shù)取最小值的那一點。不同點是函數(shù)圖象與橫軸的交點有較大差異，函數(shù)最多與[x]軸有兩個交點，最少也可能沒有交點。從圖象上得出的性質(zhì)都是直觀的，同時也是非常重要的性質(zhì)，如果僅從解析式上很難總結(jié)得出。既然函數(shù)圖象已經(jīng)繪制出來，再結(jié)合解析式，我們就可以將函數(shù)的各項性質(zhì)完整地表達(dá)出來。在分析了圖形中的性質(zhì)之后，我又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行增減性的函數(shù)性質(zhì)分析，同時將函數(shù)解析式與圖象進(jìn)行對應(yīng)，收到了良好的效果。

數(shù)形結(jié)合的思想是研究數(shù)學(xué)的利器，通過幾何畫板生成函數(shù)圖象的便利，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時不再是“被教”而是主動去探索，這對學(xué)生整個學(xué)習(xí)體系的建立、學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成都是一個重要的契機(jī)。

三、函數(shù)變換，動態(tài)演示

二次函數(shù)具有三個參數(shù)，即二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。如果已知了二次函數(shù)的三個參數(shù)，那么整個函數(shù)也就確定出來了。幾何畫板的一大優(yōu)勢就在于可以通過拖動已經(jīng)形

成的圖象從而改變參數(shù)。利用這一功能，我們可以更好地研究各項參數(shù)對函數(shù)的影響作用，一目了然。

我們知道二次函數(shù)的圖象有兩個重要的形狀指標(biāo)，即開口大小和開口方向，它的位置指標(biāo)有四個方向，上下左右。開口方向我們可以從二次項系數(shù)的正負(fù)輕松判斷出來，但是開口大小受什么因素影響呢？我們通過保持函數(shù)的水平、豎直位置不變，拖動曲線，使它的開口大小發(fā)生改變，觀察原解析式的變化。我們可以在函數(shù)顯示的窗口發(fā)現(xiàn)，隨著開口的變大，二次項系數(shù)是逐漸變小的。再來看函數(shù)圖象的位置影響因素，隨著函數(shù)圖象的拖動，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的參數(shù)變化雜亂無序，很難分析特點。這是因為解析式的“看法”不對，我們換一種形式看即可。比如[y=x2-2x+1]。

我們應(yīng)當(dāng)把它化成[y=x-12+0]，這樣一來，當(dāng)函數(shù)位置發(fā)生變化時，對應(yīng)的“1”和“0”也發(fā)生著變化，并且變化的幅度是一致的，我們就摸清了函數(shù)位置的影響因素就是化成平方式之后的兩個參數(shù)。通過我們的圖像演示發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在產(chǎn)生左右平移時，最大最小值不發(fā)生變化；在上下平移時，最大最小值發(fā)生改變。在學(xué)生理解時，可能會出現(xiàn)誤區(qū)，比如說到平移，就認(rèn)為是常數(shù)項的改變，這是比較籠統(tǒng)的。在豎直方向上的平移取決于常數(shù)項的變化，這是因為在y值上加減某一個數(shù)，就直接作用在了常數(shù)項上。但是對于左右平移，要作用在x上，這就體現(xiàn)了整個式子都要發(fā)生改變，但是不像上下平移那么直接，需要進(jìn)行一步運(yùn)算，如[y=x2-2x+1]向左平移3個單位，就是變成[y=x-1+32]，即[y=x2+4x+4]。

通過圖象的變化，學(xué)生能夠理解變化中的影響因素是主要目的。幾何畫板的應(yīng)用讓這一過程變得可視化，學(xué)生理解起來會更容易。沒有萬能的公式，在函數(shù)的變換中獲取知識，才是“萬能之道”。

四、觀察最值，總結(jié)規(guī)律

函數(shù)方面的題目，出題點最多之處莫過于最值問題，同樣我們在二次函數(shù)的教學(xué)中也把最值問題當(dāng)做重點來講解。二次函數(shù)的最值問題可不僅僅是圖象上顯示的“峰值”這么簡單，而是要與取值范圍、函數(shù)圖象開口方向等來聯(lián)系緊密。

從函數(shù)圖象上進(jìn)行分析，當(dāng)沒有約束條件時，開口向上的函數(shù)有最小值，無最大值；開口向下的函數(shù)有最大值，無最小值。最值的取得是在對稱軸線上取到的值，最值為對稱軸對應(yīng)的[x]值代入函數(shù)所取得的[y]值。假設(shè)函數(shù)解析式為[y=ax2+bx+ca≠0]，那么對稱軸就是[x=-b2a]相應(yīng)的最值代入[x]值即可。但是求最值的問題往往沒有這么簡單，當(dāng)函數(shù)有一個取值范圍，而恰巧的是，在取值范圍內(nèi)還取不到對稱軸所對應(yīng)的[x]值。利用幾何畫板，我標(biāo)亮了取值范圍，圖象的取值就像被“刀子”切割了一樣，那么最值取多少就一目了然了。通過幾組練習(xí)，學(xué)生逐漸掌握了這樣的分析方法。當(dāng)約束只能取到[-1≤x≤2]這樣的條件時，對于一些開口向上的函數(shù)就可以取到了最大值，如上圖所示。再如當(dāng)函數(shù)圖象是一個動態(tài)函數(shù)時，例如點A，B的坐標(biāo)分為（1，4）和（4，4），拋物線[y=ax-m2+n]的頂點在線段AB上運(yùn)動，與X軸交于C，D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為-3，問點D的橫坐標(biāo)最大值為？像這類題目如果僅用黑板分析，那么很多同學(xué)理解起來就比較困難，因為圖象的動態(tài)比較抽象，如果這時我們能借助幾何畫板來演示這個動態(tài)過程，如圖：

那么肯定會大大降低這個題目的理解難度，而且還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

從研究最值的過程中，學(xué)生收獲的不僅是一個結(jié)論，更重要的是解決問題的能力。在練習(xí)、考試中，學(xué)生還會面臨其他的最值問題，甚至可能遇到?jīng)]見過的函數(shù)，掌握了方法才是關(guān)鍵所在。

以上就是筆者在自身的教學(xué)實踐中總結(jié)的幾何畫板應(yīng)用實例，過程中難免有所疏漏，敬請各位同仁進(jìn)行指正。幾何畫板的應(yīng)用，能最大限度地調(diào)動學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性，潛移默化地促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)工具，作為教師絕不應(yīng)當(dāng)喪失學(xué)生般的“學(xué)習(xí)精神”，對于這些先進(jìn)的教學(xué)方法應(yīng)當(dāng)及時學(xué)習(xí)，及時掌握，與學(xué)生在不斷的配合中逐步提升教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]牟麗華.幾何畫板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究[D].重慶師范大學(xué)，2012.

[2]蔡亮亮.探索幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2015，9（29）.

[3]張曉芬.巧用幾何畫板優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)[J].江西教育：教學(xué)版，2015（17）：35-35.

[4]李銘.用幾何畫板解決二次函數(shù)的教學(xué)難點[J].中學(xué)教學(xué)參考，2010（5）：24-25.