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    偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系的注記

    2017-04-27 01:48:36趙秀蘭陳麗娟
    關(guān)鍵詞:濾子代數(shù)理想

    趙秀蘭, 陳麗娟

    (1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部, 鄭州450063;2.河南工程學(xué)院理學(xué)院, 鄭州451191)

    偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系的注記

    趙秀蘭1, 陳麗娟2

    (1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部, 鄭州450063;2.河南工程學(xué)院理學(xué)院, 鄭州451191)

    Ockham代數(shù);偽補(bǔ)Ockham代數(shù);理想;核理想;同構(gòu)

    Blyth和Varlet首次在文獻(xiàn)[1]中研究了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)(L;∧,∨,f,*0,1),簡稱pO代數(shù),它是一個(2,2,1,1,0,1)類型的代數(shù)類,是在有界分配格上賦予兩個一元運(yùn)算f,*的代數(shù),(L;∧,∨,f,0,1)∈O,(L;∧,∨,*0,1)∈p且一元運(yùn)算f,*滿足交換律(p代數(shù),Ockham代數(shù),pO代數(shù)的詳細(xì)信息見文獻(xiàn)[2-5])。在泛代數(shù)研究領(lǐng)域,對代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究,一直是本專業(yè)學(xué)者關(guān)注的方向。借助理想和濾子是認(rèn)識Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個重要工具,特別是核理想與余核濾子,根據(jù)核理想與余核濾子同余關(guān)系反映Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)見文獻(xiàn)[6-14]。在文獻(xiàn)[6]中,作者借助核理想與余核濾子的同余關(guān)系刻畫了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的結(jié)構(gòu)。本文將在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步的探討、刻畫偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系的性質(zhì)特征,反映偽補(bǔ)Ockham代數(shù)屬性。

    1基本知識

    定義2[15]設(shè)(L;∧,∨)是一個格,I是格L的子格,若x,y∈L,y≤x∈I總有y∈I,稱子格I是格L的理想。

    定義3[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格,其上賦予兩個一元運(yùn)算*和f,且(1)(L;*)∈p;(2)(L;f)∈O;(3)(x∈L)f(x*)=[f(x)]*,稱(L;∧,∨,*,f,0,1)是偽補(bǔ)Ockham-代數(shù)(簡稱pO-代數(shù))。

    定義4[6]設(shè)(L;∧,∨,f,*,0,1)∈pO,θ是L的一個格同余關(guān)系,若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(f(x),f(y))∈θ,則稱θ是L的同余關(guān)系。符號ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合。

    引理1[6]設(shè)L∈pO,I是L的理想,則下面的條件成立:I是L的核理想當(dāng)且僅且(?a∈L)a∈I?a**,f(a*)∈I。

    引理2[6]設(shè)L∈pO,I是L的核理想,則I=KerRI,其中同余關(guān)系RI定義為:(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。

    設(shè)(L;∨,∧,f,*)是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù),在文獻(xiàn)[6]中,由核理想I能構(gòu)造一個與核理想對應(yīng)的同余關(guān)系,那么,核理想與核理想對應(yīng)的同余關(guān)系能否構(gòu)成一一對應(yīng)。

    2主要結(jié)果

    設(shè)L∈pO,符號I(L),Ik(L)分別表示L的理想和核理想構(gòu)成的集合,則I(L),Ik(L)之間存在下列關(guān)系。

    定理1Ik(L)是I(L)的一個子格。

    證明令I(lǐng),J∈Ik(L),下證I∧J,I∨J∈Ik(L)。

    設(shè)x∈I∧J,則x∈I,x∈J。又因I,J∈Ik(L),由引理1知,x**,f(x*)∈I且x**,f(x*)∈J,故x**,f(x*)∈I∧J,又由引理1知,I∧J∈Ik(L)。

    令x∈I∨J,由引理1知,存在i∈I及j∈J使得x≤i∨j。由文獻(xiàn)[6]知,x**≤i**∨j**和f(x*)≤f(i*)∨f(j*),又因I,J∈Ik(L),所以由引理1知,i**∈I,f(i*)∈I且j**∈J,f(j*)∈J。因此x**,f(x*)∈I∨J。從而由引理1得I∨J∈Ik(L)。所以Ik(L)是I(L)的一個子格。

    設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù),I是L的一個核理想,具有核理想I的最小同余關(guān)系RI,沿用文獻(xiàn)[6]中的定義,即(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。設(shè)L∈pO,θ,φ∈ConL,定義L上的一個等價關(guān)系,(x,y)∈θ°φ?(?z∈L)(x,z)∈θ,(z,y)∈φ。顯然,θ°φ是L上的同余關(guān)系。

    若θ,φ∈ConL,且θ,φ滿足關(guān)系式θ°φ=φ°θ,則稱同余關(guān)系θ,φ具有同余置換性。對于任意的I,J∈Ik(L),則RI,RJ具有同余置換性。

    定理2設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù),I,J∈Ik(L),則RI°RJ=RJ°RI。

    證明假設(shè)(x,y)∈RI°RJ,則存在z∈L,使得(x,z)∈RI,(z,y)∈RJ,于是存在i∈I,j∈J,有x∧i*=z∧i*,z∧j*=y∧j*,所以x∧i*∧j*=y∧i*∧j*。

    令s=(x∧j*)∨(y∧i*),從而可得

    同理可證,RJ°RI?RI°RJ。所以,RI°RJ=RJ°RI。

    下面,探討偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想及其同余關(guān)系之間的聯(lián)系。

    定理3設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù),I,J∈Ik(L),則I?J?RI?RJ。

    證明設(shè)I,J∈Ik(L),I?J,根據(jù)RI,RJ的定義,可得RI≤RJ。

    另一方面,設(shè)I,J∈Ik(L),RI≤RJ,則KerRI≤KerRJ。由引理2知,I=KerRI,J=KerRJ,所以I?J。定理得證。

    定理4設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù),則Ik(L)?Ck(L)。

    證明顯然,R{0}=ω(相等關(guān)系)及RL=ι(泛同余關(guān)系)。

    先證對任意的I,J∈Ik(L),有RI∧RJ=RI∧J。由定理1知,I∧J∈Ik(L)。因?yàn)镮∧J≤I,I∧J≤J,故由定理3知,RI∧J≤RI,RI∧J≤RJ,所以RI∧J≤RI∧RJ。

    設(shè)(x,y)∈RI∧RJ,由文獻(xiàn)[15]知,(x,y)∈RI且(x,y)∈RJ。因此存在i∈I,j∈J使得x∧i*=y∧i*,x∧j*=y∧j*,于是有x∧(i∧j)*=y∧(i∧j)*,又因i∧j∈I∧J,所以(x,y)∈RI∧J,故RI∧RJ≤RI∧J,所以RI∧RJ=RI∧J。

    證對任意的I,J∈Ik(L),有RI∨RJ=RI∨J。由定理1知,I∨J∈Ik(L)。由于I∨J≥I,I∨J≥J,由定理3知,RI∨J≥RI,RI∨J≥RJ,所以RI∨J≥RI∨RJ。

    設(shè)(x,y)∈RI∨J,則存在i∈I及i∈J使x∧i*∧j*=y∧i*∧j*,于是有

    因此(x,y)∈RI∨RJ,從而有RI∨J≤RI∨RJ,故RI∨RJ=RI∨J。又因RI=RJ當(dāng)且僅當(dāng)I=KerRI=KerRJ=J,因此映射:I→RI建立起Ik(L)→Ck(L)的一一對應(yīng),所以Ik(L)?Ck(L)。

    3結(jié)束語

    本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,對偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想同余關(guān)系作了一個補(bǔ)充,借助偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想判別定理以及具有核理想同余關(guān)系表達(dá)式,獲得了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想及其同余關(guān)系同構(gòu)的結(jié)論。這一結(jié)論有助于了解偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

    [1] BLYTH T S,FANG J,VARLET J C.Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Communications in Algebra,1997(25):3605-3615.

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    [5] BLYTH T S,FANG J.On the endomorphisms of Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Studia Logica,2011,98:237-250.

    [6] 方捷,吳麗云.擬補(bǔ)Ockham代數(shù)的理想與濾子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,47(4):647-652.

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    [13] 趙秀蘭,史西專.半偽補(bǔ)MS代數(shù)的理想及同余關(guān)系[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2016,30(2):57-63.

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    [15] GRATZER G.Lattice Theory[M].New York:W.H.Freeman and Company,1971.

    A Note on the Ideal Congruence Relations on Pseudocomplement Ockham Algebras

    ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

    (1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China; 2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191, China)

    Ockham algebra; pseudocomplemented Ockham algebra; ideal; kernel ideal; isomorphism

    2017-01-16

    國家自然科學(xué)基金(11302072)

    趙秀蘭(1982-),女,河南商水人,副教授,碩士,主要從事序代數(shù)結(jié)構(gòu)方面的研究,(E-mail) xiulanz@126.com

    1673-1549(2017)02-0098-03

    10.11863/j.suse.2017.02.19

    O153.1

    A

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