軟拓?fù)淇臻g的分離性質(zhì)

何家莉

(玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 玉林 537000)

軟拓?fù)淇臻g的分離性質(zhì)

何家莉

(玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 玉林 537000)

研究了軟拓?fù)淇臻g的相關(guān)性質(zhì).采用經(jīng)典拓?fù)鋵W(xué)的定義方法,定義了新的軟點(diǎn)和軟連續(xù),證明了軟拓?fù)淇臻g及乘積拓?fù)淇臻g有關(guān)的分離性質(zhì),通過例子說明了各種分離性質(zhì)之間的關(guān)系,進(jìn)一步推廣了軟拓?fù)淇臻g.

軟點(diǎn);軟分離性質(zhì);乘積空間;軟集

1 引言

近年來在各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)了大量的不確定信息.為了解決這些不確定性,文獻(xiàn)[1]引入模糊集理論.文獻(xiàn)[2]介紹了粗糙集理論,文獻(xiàn)[3]介紹了區(qū)間數(shù)學(xué)理論.盡管這些理論已經(jīng)應(yīng)用在模式識別,數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)等方面,但它們?nèi)匀挥凶约旱娜毕?為了解決這些缺陷,文獻(xiàn)[4]引入了軟集的概念并在文獻(xiàn)[5]中介紹了軟集的應(yīng)用背景.隨后,文獻(xiàn)[6]引入了軟集中參數(shù)約減概念.文獻(xiàn)[7]引入了軟集數(shù)據(jù)分析方法.文獻(xiàn)[8]證明了軟集理論可以構(gòu)成一個(gè)特殊的信息系統(tǒng).除此之外,許多學(xué)者還致力于軟群,軟半群,軟半環(huán)[9-11]和軟理想[12]的研究.

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),它在數(shù)學(xué)中起著極其重要的作用.文獻(xiàn)[13]第一次把拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)用于模糊集.隨后,文獻(xiàn)[14]把拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用于粗糙集理論.文獻(xiàn)[15]首次提出了基于固定參數(shù)的論域的軟拓?fù)淇臻g.文獻(xiàn)[16]在軟拓?fù)淇臻g中引入了一些新的概念并討論了該軟拓?fù)淇臻g新的性質(zhì).

眾所周知,點(diǎn)在經(jīng)典的拓?fù)淇臻g中起到至關(guān)重要的作用.如何定義軟點(diǎn)吸引著眾多學(xué)者的研究.文獻(xiàn)[16-17]中,分別定義了軟點(diǎn),但他們的定義并不是傳統(tǒng)定義的推廣.因此本文給出了軟點(diǎn)的新定義并討論了該定義與以前所給定義之間的關(guān)系.除此之外,在軟拓?fù)淇臻g中還得到了關(guān)于軟點(diǎn)的特殊性質(zhì).接著討論軟拓?fù)淇臻g及乘積空間的分離性質(zhì)并給出例子說明分離性之間的關(guān)系.

2 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[4]用如下方法定義了軟集.U是論域,E是參數(shù)集.P(U)表示U的冪集,令A(yù),B?E.

定義2.1[4](F,A)稱為論域U上的軟集,若F是從A→P(U)的映射;論域U上的全體軟集構(gòu)成的集簇記為SSE(U).

定義 2.2[5](F,A)和(G,B)是論域U上兩個(gè)軟集,若A?B且對于任意e∈A,有 F(e)?G(e),則(F,A)稱為(G,B)的軟子集.記作

定義 2.3[5]在論域U上,若(F,A)是(G,B)的軟子集且(G,B)是(F,A)軟子集,則稱(F,A)和(G,B)為軟等價(jià).

定義 2.4[18]軟集(F,A)的補(bǔ)集定義為(F,A)c=(Fc,A),其中Fc是由A到P(U)的映射且對于任意的a∈A有Fc(a)=U?F(a).

注記 2.1Fc稱為函數(shù)F的軟補(bǔ)集.顯然(Fc)c=F,((F,A)c)c=(F,A).

定義2.5[3]論域U上的軟集(F,A)稱為空軟集,如果對任意e∈A有F(e)=?,記作ΦA(chǔ);軟集(F,A)稱為全軟集,如果對任意e∈A有F(e)=U,記作UA.顯然

定義2.6[4]論域U上,軟集(H,C)稱為軟集(F,A)和(G,B)的并,其中C=A∪B且對于任意e∈A滿足

定義2.7[4]論域U上,軟集(H,C)稱為軟集(F,A)和(G,B)的交,其中C=A∩B且對所有e∈C滿足H(e)=F(e)∩G(e).記作:

定義 2.8[16]軟集(F,E)∈SSE(U)稱作論域U上的軟點(diǎn),如果對存在e∈E有F(e)?且對所有e′∈(E?{e})有F(e′)=?.記作:eF.

定義 2.9[19]軟集(F,A)稱為論域U上的軟點(diǎn),如果存在x0∈U 及A?E,對任意的e∈A有FA(e)={x0}且對任意的e′∈E?A,有FA(e′)=?.記作:

定義 2.10[19]稱軟點(diǎn)eF在軟集(G,A)內(nèi),如果e∈A且F(e)?G(e).記作

定義2.11[19](兩軟集的笛卡爾乘積),的笛卡爾乘積定義為(F×G,A×B),其中對于任意(e,k)∈A×B,A?E1,B?E2有(F×G,A×B)(e,k)=FA(e)×GB(k).

定義 2.12[19]軟集(pq)i,i∈{1,2}映射稱為從U1×U2到Ui的軟投射,如果

定義 2.13[19](U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g.τ的子集B是的τ基,在τ中的每個(gè)元素都可以表示為B中一些成員的并.

定義 2.14[19](U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g.τ的子集S是的τ子基,在S中有限交構(gòu)成的簇是τ的基.

定義 2.15[19]{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇.由{(pq)i:i∈I}簇在上生成的軟拓?fù)浞Q為在U上的乘積軟拓?fù)?((Pq)i是從U到Ui,i∈I的投影映射).

引理 2.1[19]軟投影映射

是開映射.

定義 2.16(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g.軟集稱為一個(gè)軟點(diǎn),如存在a0∈E及x0∈U使得F(a0)={x0}及對任意a∈E?{a0}有F(a)=?,記作中的所有軟點(diǎn)用SP(SSE(U))表示.

注記 2.2把軟包含關(guān)系作為序關(guān)系.是布爾格.所有這些定義的軟點(diǎn)稱為原子.如果把軟拓?fù)淇臻g看成是模糊空間,則所有這些軟點(diǎn)都是模糊點(diǎn).

性質(zhì) 2.1是兩個(gè)軟集,且如果

證明令如果則對任意e∈E,有K(e)=H(e)∪G(e).因?yàn)閍0∈E,由定義2.16,有x0∈H(a0)∪G(a0).因此x0∈H(a0)或者x0∈G(a0),所以或者

3 軟拓?fù)淇臻g的分離性質(zhì)

在任何空間中,點(diǎn)都起著重要作用.在軟拓?fù)淇臻g上定義了軟點(diǎn).接下來探討軟拓?fù)淇臻g和乘積軟拓?fù)淇臻g的分離性質(zhì).在這一節(jié),假設(shè)在相同的軟拓?fù)淇臻g中參數(shù)都是相同的.

定義 3.1[20]τ是論域U上帶有固定的參數(shù)集E的軟集簇,則τ?SSE(U)稱為U上的軟拓?fù)?如果

(1)ΦE,UE屬于τ;

(2)在τ中的任意軟集的并仍屬于τ;

(3)在τ中任意兩個(gè)軟集的交仍屬于τ.

定義3.2(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,軟集(G,E)稱為軟點(diǎn)的軟鄰域,如果存在一個(gè)軟開集(H,E)使得如果則(G,E)稱為軟開鄰域.

定義 3.3[16](U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,(G,E)是U上的軟集.(G,E)的軟閉包是軟集是軟閉集且

性質(zhì) 3.1(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,則(G,E)是軟開集當(dāng)且僅當(dāng)對于每個(gè)包含于(G,E)的軟點(diǎn),(G,E)是該軟點(diǎn)的軟鄰域.

證明(?)令是任意包含于(G,E)的軟點(diǎn),因?yàn)?G,E)是軟開集,則

定理3.1B是一個(gè)軟點(diǎn)的軟鄰域系,則B中有限成員的交仍屬于B,且每一個(gè)包含B中成員的軟集都屬于B.

證明令 (R,E)和 (S,E)都是軟點(diǎn)的軟鄰域.由定義 3.2,存在有軟開集 (F,E)和(G,E)使得則是軟開集并且

所以B的有限成員的交仍屬于B.綜上所述,容易驗(yàn)證每一個(gè)包含B成員的軟集都屬于B.

定義 3.4(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,對于任意如果存在軟集(H,E),(G,E)滿足時(shí),則稱(U,τ,E)為軟T0空間.

例3.1令U={u1,u2},E={e1,e2}且滿足F1(e1)={u1},F1(e2)=?,F2(e1)=?,F2(e2)={u2},F3(e1)={u1},F3(e2)={u2}.由定義3.4,很容易證明(U,τ,E)不是軟T0空間.

例3.2令U={u1,u2},E={e1,e2}且

滿足

由此,可知(U,τ,E)是軟T0空間.

定理 3.2(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,則以下條件是等價(jià)的:

(1)(U,τ,E)是軟T0空間.

證明(1)?(2)假設(shè)的任意鄰域包含并且的任意鄰域包含這與 (1)矛盾.(2)?(1)顯然可證.(2)?(3)顯然可證.(3)?(2)假設(shè)且很容易可證實(shí)這與(3)矛盾的.

定理 3.3{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇,則是軟T0空間當(dāng)且僅當(dāng)如果對于任意i∈I有(Ui,τi,Ei)是軟T0空間.

證明(?)令

對于每個(gè)i∈I,

是軟投影映射.存在有

然后有

所以(Ui,τi,Ei)是對每個(gè)i∈I的軟T0空間.

(?)對于每個(gè)

因?yàn)閷τ谌我獾膇∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T0空間,那么存在有使得且或者且因此有且或者

定義 3.5(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,對于任意且如果存在軟集(H,E)和(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟T1空間.

性質(zhì) 3.2軟T1空間?軟T0空間

證明從以上定義,顯然可證.

例 3.3很容易檢驗(yàn)例3.2就是軟T1空間.

例3.4令U={u1,u2},E={e1,e2}且

滿足

通過以上定義,很容易檢驗(yàn)(U,τ,E)不是軟T1空間.

定理 3.4(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,則以下結(jié)論等價(jià):

(1)(U,τ,E)是軟T1空間,

(2)每個(gè)軟單點(diǎn)集是軟閉集,

(3)含有有限個(gè)元素的軟集都是軟閉集.

證明(1)?(2)對于任意軟點(diǎn)由于 (U,τ,E)是軟T1空間,對于任意且存在有的軟鄰域(G,E)使得有=?.因此,有所以每個(gè)軟單點(diǎn)集都是軟閉集.(2)?(3)顯然易證.(3)?(1)假設(shè)對任意且因?yàn)槊總€(gè)軟單點(diǎn)集在τ中都是軟閉集,所以都是軟開集,有因此(U,τ,E)是軟T1空間.

定理 3.5{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇,則是軟T1空間當(dāng)且僅當(dāng)對任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T1空間.

證明該證明與定理3.3類似.

定義 3.6(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,對于任意且如果存在軟集(H,E)和(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟T2空間.

例3.5令U={u1,u2},E={e1,e2}及(F1,E),(F2,E)},滿足

F1(e1)={u1},F1(e2)={u2},F2(e1)={u2},F2(e2)={u1},從以上定義,很容易驗(yàn)證(U,τ,E)不是軟T2空間.

注記 3.1從例3.2可知,其中的軟拓?fù)淇臻g(U,τ,E)是軟T2空間.

性質(zhì) 3.3軟T2空間?軟T1空間.

證明根據(jù)定義,顯然成立.

由定理1,可以很容易得到以下結(jié)論:

引理 3.1(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,是軟鄰域系,且有以下特征:(BP1)對于每個(gè)滿足的軟點(diǎn)且每個(gè)有(BP2)如果則存在有使得(BP3)對于任意存在有使得

定理 3.6設(shè)是在論域U上的軟集簇,具有性質(zhì)(BP1)-(BP3).除此之外,如果該軟集簇還有以下屬性,(BP4)對于每一對不同的軟點(diǎn)存在有且使得則由軟鄰域系統(tǒng)生成的軟拓?fù)淇臻g(U,E)是軟T2空間.

證明由于軟鄰域系統(tǒng)可以生成軟拓?fù)?所以(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g.由性質(zhì)(BP4),易證(U,τ,E)是軟T2空間.

定理 3.7{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇,則是軟T2空間當(dāng)且僅當(dāng)對任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟T2空間.

證明該證明與定理3.3證明類似.

定義3.7[20]SSE(U)和SSL(Y)分別是在U和L上的軟集簇.則從SSE(U)到SSL(Y)的映射稱為軟映射,記作φψ:SSE(U)→SSL(Y).其中φ:U→Y且ψ:E→L是兩個(gè)映射.

定義 3.8(U1,τ1,E1),(U2,τ2,E2)是兩個(gè)軟拓?fù)淇臻g,f是(U1,τ1,E1)到(U2,τ2,E2)的軟映射,若(U2,τ2,E2)中的每一個(gè)軟開集(G,E2)的原像f?1((G,E2))是(U1,τ1,E1)中的軟開集,則f稱為從(U1,τ1,E1)到(U2,τ2,E2)的軟連續(xù)映射.

定理 3.8對于任意一對從軟拓?fù)淇臻g(U1,τ1,E1)到軟T2拓?fù)淇臻g(U2,τ2,E2)的軟連續(xù)映射φψ,μν,則軟集是(U1,τ1,E1)中的軟閉集.

證明將證明軟集是軟開集.對于任意有因?yàn)?U2,τ2,E2)是軟T2空間,那么存在軟開集(M,E2)和(N,E2)使得且因?yàn)棣咋?μν是軟連續(xù)映射,則軟集是點(diǎn)的軟鄰域與

定義 3.9(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,是軟點(diǎn),(K,E)是軟閉集且如果存在軟集(H,E)與(G,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟正則空間.每個(gè)T1的正則軟拓?fù)淇臻g(U,τ,E)稱為軟T3拓?fù)淇臻g.

例 3.6例3.2也是一個(gè)軟正則空間.

性質(zhì) 3.4軟T3空間?軟T2空間.

注記 3.2下面的例子表明了性質(zhì)3.4的逆命題不成立.

例3.7令U={u1,u2},E={e1,e2}和

滿足

從以上定義,可以很容易證明(U,τ,E)是軟T2空間但不是軟T3空間.令

定理 3.9{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇,則是軟T3空間當(dāng)且僅當(dāng)(Ui,τi,Ei)對于任意i∈I是軟T3空間.

證明該證明與定理3.3類似.

定理 3.10軟拓?fù)淇臻g(U,τ,E)是軟正則空間當(dāng)且僅當(dāng)對于每個(gè)軟點(diǎn)和每個(gè)包該軟點(diǎn)的軟開集(G,E),存在一個(gè)軟開集(H,E)使得

證明(?)設(shè)則且(G,E)c是軟閉集.因?yàn)?U,τ,E)是軟正則空間,故存在軟開集(F,E)和(M,E)使得因此有令(H,E)=(F,E),則(H,E)是軟開集且所以存在軟開集(H,E)使得

定理 3.11{(Ui,τi,Ei):i∈I}是軟拓?fù)淇臻g簇,則是軟正則空間當(dāng)且僅當(dāng)對于任意i∈I,(Ui,τi,Ei)是軟正則空間.

證明該證明與定理3.3證明類似.

定義 3.10(U,τ,E)是軟拓?fù)淇臻g,(F,E)和(G,E)是兩個(gè)軟閉集且如果存在軟集(H,E)和(M,E)使得且則(U,τ,E)稱為軟正規(guī)空間.

如果軟T1空間(U,τ,E)是軟正規(guī)空間,則(U,τ,E)稱為軟T4空間.

定理 3.12軟拓?fù)淇臻g (U,τ,E)是軟正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)軟閉集 (F,E)和每個(gè)包含(F,E)的軟開集(G,E),存在軟開集(H,E)使得

證明該證明與定理3.10證明類似.

性質(zhì) 3.5軟正規(guī)空間的乘積空間可以不是軟正規(guī)空間.

證明一般拓?fù)渲械姆蠢勺C.

定理 3.13設(shè)X是軟拓?fù)淇臻g,[a,b]是直線R的一個(gè)閉區(qū)間,則X是軟正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對于X中的任何一個(gè)軟閉集A和任何一個(gè)軟連續(xù)映射f:A→[a,b]都存在一個(gè)軟連續(xù)映射g:X→[a,b]是f的擴(kuò)張.

證明由于任何一個(gè)閉區(qū)間都同胚于[?1,1],不失一般性取[a,b]為[?1,1].

(?)設(shè)A與B是中的兩個(gè)不相交的軟閉集.定義映射f:A∪B→[?1,1]使得當(dāng)x∈A時(shí)f(x)=?1,當(dāng)x∈B時(shí)f(x)=1.顯然f是軟連續(xù)映射,則映射f有一個(gè)軟連續(xù)擴(kuò)張.g:X→[?1,1]且滿足當(dāng)時(shí)時(shí)g(x)=1.進(jìn)而由于g是軟連續(xù)映射,因此不難驗(yàn)證X是軟正規(guī)空間.

(?)設(shè)X是一個(gè)軟正規(guī)空間,A是X的一個(gè)軟閉集,f:A→[?1,1]是一個(gè)軟連續(xù)映射.定義對于每一個(gè)n≥0,一個(gè)軟連續(xù)映射

定義對每一個(gè)n≥1,一個(gè)軟連續(xù)映射

如f0=f:A→[?1,1].對于每一個(gè)n＞0.由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)軟連續(xù)映射fn?1已定義,則?軟連續(xù)映射gn使得

定義fn使得有fn(a)=fn?1(a)?gn(a),則fn是軟連續(xù)的.定義映射g:X→[?1,1]使得

所以

于是

當(dāng)n→∞時(shí),有g(shù)(a)=f0(a)=f(a).因此g是軟連續(xù)映射f在X上的擴(kuò)張.

下面證g是軟連續(xù)映射.

?n,1≤n≤N,由于gn是軟連續(xù),故的一個(gè)鄰域Un,使得當(dāng)時(shí),有

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Separation properties in soft topological spaces

He Jiali
(School of Mathematics and Statistics,Yulin Normal University,Yulin 537000,China)

Some characters of the soft topological space are studied in this paper.The new soft point and the soft continuity are defined and the relationship discussed between it and the previous.The separation property of soft topological spaces and product topological spaces are proofed.The relationships about various separation properties are illustrated by examples,which has promoted the soft topological space further.

soft point,soft separation properties,product spaces,soft set

O153.1

A

1008-5513(2017)02-0141-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.005

2017-03-08.

國家自然科學(xué)基金(61364020);廣西青年自科基金(2014GXNSFBA118015);廣西教育廳科學(xué)基金(201204LX335).

何家莉(1981-),碩士,講師,研究方向：粗糙集等相關(guān)領(lǐng)域.

2010 MSC:54M10