命題巧妙彰特色，解法多元顯新意

☉江蘇無(wú)錫市太湖格致中學(xué)李強(qiáng)

☉江蘇無(wú)錫市太湖格致中學(xué)陳鋒

命題巧妙彰特色，解法多元顯新意

☉江蘇無(wú)錫市太湖格致中學(xué)李強(qiáng)

☉江蘇無(wú)錫市太湖格致中學(xué)陳鋒

一年一度的中考已經(jīng)結(jié)束，其中一些體現(xiàn)命題者思考和智慧的試題，不僅體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生綜合能力的考查，也展示了對(duì)教師教學(xué)情況的階段性考量.無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試卷的第27題就是這樣一個(gè)題目，雖然本題的題型對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)講并不陌生，但從閱卷反饋的情況看，不同層次的學(xué)生得分差異較大.下面，筆者結(jié)合學(xué)生對(duì)此題的解答，在分析學(xué)生的解答的同時(shí)，談?wù)劰P者的一點(diǎn)思考.

一、試題呈現(xiàn)

AB1C1D.

（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B的面積S的最大值；

1

圖1

如圖1，已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD關(guān)于直線AD的對(duì)稱圖形

二、學(xué)生解答分析

學(xué)生走出考場(chǎng)后對(duì)此題的反響差異較大，有的感覺(jué)太簡(jiǎn)單了，也有的說(shuō)能做，但就是腦子比較亂，思路不清晰，做不完，更有的竟然說(shuō)看不懂，沒(méi)有方向，交了白卷.這究竟是怎么回事呢？首先是對(duì)一部分平時(shí)學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)意識(shí)，只會(huì)做些很直白的問(wèn)題的學(xué)生來(lái)講，對(duì)于此題只能放棄.其次，題目給出了作?ABCD關(guān)于直線AD的對(duì)稱圖形AB1C1D，這是初二學(xué)的軸對(duì)稱圖形，部分學(xué)生難以將兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形聯(lián)系在一起，并從中得到一些重要結(jié)論，如：這兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.也有學(xué)生知道這一知識(shí)點(diǎn)，但無(wú)法將它和從已知條件?ABCD中獲得的已知條件聯(lián)系在一起，面對(duì)這張如此明了的示意圖束手無(wú)策，直接交白卷的學(xué)生占了半數(shù)之多，實(shí)在可惜！

1.第（1）問(wèn)的解答分析.

其實(shí)第一問(wèn)中的已有條件m=3，已將圖中點(diǎn)B固定，?ABCD其余各點(diǎn)的位置只與字母n相關(guān)，而?ABCD關(guān)于直線AD的對(duì)稱圖形?AB1C1D中的各點(diǎn)也隨之被控制，要求四邊形CC1B1B的面積S的最大值，只要寫(xiě)出S與n的函數(shù)關(guān)系即可.有此思考的部分學(xué)生在接下來(lái)的推理和計(jì)算中又遇上了麻煩，首先由于部分學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)不夠深入，不能靈活運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的相關(guān)性質(zhì)，失去了最簡(jiǎn)潔的解題方法，即通過(guò)△CDC1≌△BAB1，等積變換即可得四邊形CC1B1B的面積=四邊形ABCD的面積+四邊形ADC1B1的面積=2S?ABCD.進(jìn)而用含n的代數(shù)式很容易就可以表示S，通過(guò)配方等方法求出S的最大值.

圖2

也有學(xué)生通過(guò)觀察，直觀得到四邊形CC1B1B是矩形，有的因無(wú)法證明而放棄，其實(shí)圖中根據(jù)已知條件可以得到很多證明矩形的方法，如：由條件得直線AD垂直平分線段CC1、BB1.則DF⊥C1C，且BC∥AD，可得∠C1CB= 90°；然后利用BC∥AD∥B1C1，BC=AD=B1C1，或者BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，CC1=BB1，來(lái)證明四邊形BB1C1C是平行四邊形，即可得四邊形BB1C1C是矩形.在推理正確的情況下，通過(guò)計(jì)算，BC=AD=n，求C1C又變成攔路虎了，雖然根據(jù)對(duì)稱的條件可以得到C1C=2CE，但還是有很大一部分學(xué)生看不出CE所在的△CED與已知△DOA相似，其中CD=AB=3-n，由相似可得DE∶CE∶CD=1∶2∶

則四邊形CC1B1B的面積=C1C×BC=4n（3-n）=

還有部分學(xué)生根據(jù)示意圖直觀得到四邊形CC1B1B的面積=2S矩形BCEF，通過(guò)證明四邊形BCEF是矩形，同上求出BC、CE的長(zhǎng)，也很方便地得到了解答.

2.第（2）問(wèn)的解答分析.

本題兩個(gè)小題是在同一背景下，各自追加了一個(gè)條件，兩個(gè)小題的解答并無(wú)連續(xù)性.完全可以跳過(guò)第一小題直接做第二小題.

點(diǎn)B1在y軸上時(shí)，已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)直接可以轉(zhuǎn)化為線段AO=n，OD=2n，OB=m，AB=mn，這個(gè)過(guò)程只要參與解題的學(xué)生都能做到，由于解題習(xí)慣不是很好，不少學(xué)生不愿意再畫(huà)一張滿足第二題條件的示意圖（如圖3），也就是點(diǎn)B1在y軸上的圖形，導(dǎo)致無(wú)法對(duì)圖形做出正確的認(rèn)識(shí)，或者說(shuō)得不到更多有效的信息，無(wú)法繼續(xù)解題.

圖3

其實(shí)根據(jù)試題的條件，如果能仔細(xì)分析可將圖形簡(jiǎn)化，題目所求只與圖4中各點(diǎn)有關(guān)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠DB1A=∠DBA，∠ADB1=∠ADB=∠OBB1，進(jìn)而可得Rt△AOB1∽R(shí)t△DOB，Rt△BFA∽R(shí)t△DFB1∽R(shí)t△BOB1∽R(shí)t△DFB∽R(shí)t△DOA，利用其中一組相似三角形可以將某些線段用含m或n的代數(shù)式表示，然后利用另一組相似三角形的條件找到關(guān)于m、n的一個(gè)方程.

圖4

還可以借助三角形面積的不同表示方法得到關(guān)于m、n的一個(gè)方程.

也就是說(shuō)此題入口相對(duì)寬，解法眾多，只要學(xué)生具有認(rèn)真、踏實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度，以及良好的思維品質(zhì)和解題習(xí)慣，是完全可以得滿分的.

三、試題亮點(diǎn)分析

本題是2016年無(wú)錫市中考試卷第27題，分值10分，作為壓軸題之一，本題以幾何的形式，考查平面幾何圖形的性質(zhì)，集代數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)、探究應(yīng)用于一身，集知識(shí)、思想、能力于一體，充分關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有較好的引導(dǎo)作用.

1.題面簡(jiǎn)潔，題意新穎.

首先，本題是在平面直角坐標(biāo)系背景下，以帶字母的坐標(biāo)形式給出了平行四邊形各頂點(diǎn)，打破了初中平面幾何的常規(guī)呈現(xiàn)方式，形式新穎，有新意，使人耳目一新.其次，試題難度適中，表述簡(jiǎn)煉，示意圖清晰明了，構(gòu)思巧妙.涉及了平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)、方程、平行四邊形、軸對(duì)稱、相似三角形等相關(guān)內(nèi)容，以幾何圖形為背景，將平行四邊形和它關(guān)于一條邊對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形一起放入平面直角坐標(biāo)系，給學(xué)生較大的思維空間.考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想；考查學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)與分析能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.第三，它把考查數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)邏輯推理結(jié)合起來(lái)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是近年來(lái)初中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題，邏輯推理是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.因此，本題較好地體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)知識(shí)與能力的目標(biāo)要求.

2.層層遞進(jìn)，尊重差異.

試題編排從探究—拓展—延伸，很好地遵循從易到難、從特殊到一般的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，第一小問(wèn)當(dāng)n=3時(shí)求S的最大值，很明顯是通過(guò)建立S與n的關(guān)系式求解，在此基礎(chǔ)上學(xué)生會(huì)很自然地觀察與研究圖形，探究已知條件所能帶來(lái)的其他條件，如軸對(duì)稱條件下的圖形的性質(zhì)（包括圖中很多相等的量），平行四邊形對(duì)邊平行且相等，這些既是最容易入手的情況，也是后面整個(gè)解題過(guò)程的重要基礎(chǔ)，特殊條件下的結(jié)論往往能給我們帶來(lái)很多有益的啟示，成為通往一般結(jié)論的橋梁、打開(kāi)解題思路的鑰匙.因此，以這一特殊情況為入手點(diǎn)，入口低，鋪墊足，為后續(xù)拓展延伸中層層遞進(jìn)的一般情況打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，本題巧妙地融合了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、建模等基本思想，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力，以及是否能將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題的遷移和應(yīng)用能力.所有這些思想與能力的考查，都自然地融合在層層推進(jìn)的題意之中.如轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想在解題中兩次出現(xiàn)，這種多層次的編排也加強(qiáng)了區(qū)分度，既面對(duì)全體學(xué)生，又加強(qiáng)甄別功能，體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強(qiáng)調(diào)的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”

3.注重思考，強(qiáng)化過(guò)程.

新課標(biāo)從“雙基”到“四基”的變化，特別強(qiáng)調(diào)了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而本題可謂這一變化的生動(dòng)體現(xiàn)，注重過(guò)程、方法與基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.從探究中顯而易見(jiàn)的直觀結(jié)論，讓學(xué)生嘗試入手，到拓展圖形變化，產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系，這時(shí)，學(xué)生如果能根據(jù)題目的已有信息進(jìn)行分析和思考，抓住變化過(guò)程中的不變要素——兩個(gè)平行四邊形成軸對(duì)稱，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，幾何的基本模型不變，常規(guī)的基礎(chǔ)圖形也就應(yīng)運(yùn)而生了.此時(shí)，學(xué)生首先要仔細(xì)審題，讀懂題意，抓住題目的本質(zhì)特征，剝離干擾解題的背景和無(wú)關(guān)條件，對(duì)于第二小問(wèn)，如果能畫(huà)出圖4那樣的示意圖，就離解題成功不遠(yuǎn)了.本小題雖然有兩個(gè)變量，且追加了將點(diǎn)B1固定在y軸上這個(gè)條件，但其基本的等量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，通過(guò)這些條件根據(jù)由等角所得相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，或借助直角三角形勾股定理都能列出方程，通過(guò)計(jì)算，完成求解過(guò)程.縱觀整個(gè)解題過(guò)程，學(xué)生完整地經(jīng)歷了“做數(shù)學(xué)”的前后過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性，感知數(shù)學(xué)的無(wú)窮力量，理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)的過(guò)程，做到勤于思考和善于總結(jié).因此我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)過(guò)程中，要盡可能地讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展過(guò)程，感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)形成解題方法的過(guò)程，力爭(zhēng)做到“知其然，更要知其所以然”.根據(jù)題意可判斷出最終結(jié)論.所有這些都告訴我們：解題能力不是一朝一夕形成的，更不是依靠大量的機(jī)械訓(xùn)練形成的，它是知識(shí)、技能、思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的融合體，是知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等眾多因素的綜合體現(xiàn)，因此，教師理應(yīng)站在足夠的高度，緊抓數(shù)學(xué)的本質(zhì)，滲透思想教學(xué)，注重能力培養(yǎng).