數(shù)學實驗：建構“做思共生”的學習范式

章素華

摘 要：數(shù)學實驗是學生身心一體、做思共生的數(shù)學活動。數(shù)學實驗應當是感性觀察與理性思考并存、形象思維與抽象思維交織的。但在實踐過程中，許多數(shù)學實驗卻是無奈的“被實驗”、機械的“做實驗”、異化的“講實驗”等。數(shù)學實驗教學應當彰顯實驗之序、呈現(xiàn)實驗之理、敞露實驗之趣，讓實驗教學有坡度，有深度，有溫度。

關鍵詞：數(shù)學實驗；做思共生；學習范式

數(shù)學實驗是學生展開“具身認知”的重要學習范式。所謂“數(shù)學實驗”，是指學生在數(shù)學思想指引下，借助一定的操作手段或儀器而進行的數(shù)學化活動。在數(shù)學實驗過程中，兒童主動展開觀察、操作、猜想、驗證、探究、推理、嘗試等數(shù)學活動，手腦并用，做思共生。通過數(shù)學實驗，兒童實現(xiàn)數(shù)學知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”，不斷開發(fā)自己的數(shù)學建構、數(shù)學創(chuàng)造潛能。因此，數(shù)學實驗不僅指涉兒童的身動、行動與形動，更指涉兒童的腦動、心動與思動，是兒童“手-腦-心”“實踐-感知-思考”以及“身體-心理-靈魂”共同參與的活動。

一、觀照：“數(shù)學實驗”教學中存在的問題

數(shù)學實驗應當是兒童主動展開的數(shù)學學習活動，其間兒童的感性觀察與理性思考并存，形象思維與抽象思維交織。但在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)有些數(shù)學實驗是兒童在教師精心預設下的“被實驗”，有些數(shù)學實驗淪為機械的操作活動，有些數(shù)學實驗異化為教師的“講實驗”“說實驗”，不一而足。數(shù)學實驗教學存在著諸多問題。

1. 無奈的“被實驗”

在數(shù)學實驗過程中，教師往往對學生的實驗操作過程展開精細化指導，他們往往告訴學生實驗應該怎樣做，不應該怎樣做，先做什么，再做什么……學生在教師的指引下亦步亦趨，猶如一個木偶，行為受控于教師。例如一位教師教學《釘子板上的多邊形》時，在引導學生猜想多邊形的面積與圖形內、圖形邊上的釘子數(shù)有關后，教師讓學生分別探究圖形內有1顆釘子、2顆釘子……的圖形面積，最后統(tǒng)計收集的數(shù)據(jù)，引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。學生看似經(jīng)歷了探究過程，但這個過程卻是教師掌控下的簡單操作與發(fā)現(xiàn)。學生不知道為什么要按照這樣的順序探究，更談不上自主設計實驗了。

2. 機械的“做實驗”

“數(shù)學實驗”理應是學生手腦并用、做思共生的數(shù)學活動。但在教學實踐中，許多教師往往將數(shù)學實驗視作“數(shù)學操作”，實驗缺乏思維的參與，由此，數(shù)學實驗淪為“機械操作”，兒童在數(shù)學實驗中沒有實質性的思想提升。例如一位教師教學《間隔排列》時，在放手讓學生進行擺實物、擺圖形、畫圖和符號等操作活動后，匆匆總結了簡單的規(guī)律：一一間隔排列，兩端物體相同，兩端物體比中間物體多1個。由于沒有深入分析，導致兒童對圖形的排列沒有形成一一對應的認識。因此，在解決問題時孩子們很是茫然，到底是加1、減1，還是既不加也不減呢？

3. 異化的“講實驗”

數(shù)學實驗的過程應該賦予兒童充足的實驗時空，讓兒童充分經(jīng)歷、充分感悟。但在數(shù)學實驗的過程中，一些教師為了實驗的順暢而提前告知學生，或者將豐富的“做實驗”進行簡化，甚至異化成“說實驗”“講實驗”，將實驗過程懸置。例如一位教師教學四年級的《可能性》時，將原本豐富而有趣的摸球實驗簡化，蜻蜓點水，一帶而過，接著直接出示袋中不同顏色的球，讓學生判斷摸到什么顏色的球的可能性大，學生學得簡單、學得枯燥、學得無趣，對“可能性”的感受、體驗浮于表面。沒有體會到事件發(fā)生的隨機性，更沒有形成“概率思想”。

二、實踐：“數(shù)學實驗”教學的理性探索

數(shù)學實驗是學生的一種數(shù)學學習方式，也是學生數(shù)學探究的一種方式，更是學生解決數(shù)學問題的一種方式。因此，在數(shù)學教學中，教師要加強實驗教學，豐富學生的實驗過程，延伸、拓展學生的實驗時空。在數(shù)學實驗過程中，學生的實踐與思想對接，歸納與演繹圓融，思維與創(chuàng)造共生，學、玩、做合一，思、行、創(chuàng)一體，數(shù)學教學由此煥發(fā)出生命的活力。

1. 彰顯數(shù)學實驗之序，讓實驗有坡度

數(shù)學是抽象、嚴謹而充滿內在邏輯的?；趯W生的年齡和心理特征，在數(shù)學教學中，教師要創(chuàng)設實驗情境，激發(fā)學生的實驗興趣，從學生的感性經(jīng)驗出發(fā)，聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗，依托學生的感性直觀，設置實驗坡度，讓學生在實驗過程中逐步向理性思維過渡。

例如：教學《可能性》（蘇教版小學數(shù)學教材第7冊）時，筆者分三個層次展開教學。首先，在一個黑色的袋子里放了8個黃球，讓學生摸球，摸到黃球算老師贏，摸到紅球算學生贏，結果老師每次都贏，最后將黑袋子里的球倒出，全都是黃球，學生大呼上當。其次，筆者調整黑袋中的球，將一些紅球放入袋子中（黃球8個，紅球4個），讓一名男生和一名女生摸球，男、女生PK，摸到黃球算女生贏，摸到紅球算男生贏，學生的興致很高。在摸球的過程中，一會兒摸到黃球，一會兒摸到紅球，學生自覺地展開統(tǒng)計，他們有的用畫鉤的方法，有的用寫正字的方法，有的用畫圖形的方法，分析利弊，最后學生認為畫正字的方法簡單明了。經(jīng)過統(tǒng)計，女生贏了男生。再次將黑袋中的球倒出，學生一片嘩然。最后，讓學生討論，怎樣放球，男生和女生贏的可能性相等。由于有了前兩次的摸球經(jīng)驗，學生認為放的黃球和紅球的個數(shù)應當一樣，才能讓游戲公平，贏的機會才是相等的。于是，筆者將8個黃球、8個紅球一起放入黑袋中，還是男、女生PK，第一輪男生贏，第二輪女生贏，第三輪女生贏……經(jīng)過五輪比賽，最終還是女生贏了。至此，學生深刻體會到“等可能性”的隨機性，這就是在規(guī)則公平的情況下仍然會有輸贏。在這個有序的實驗過程中，兒童充分體驗到數(shù)學摸球實驗的魅力。

數(shù)學實驗不是教師的一廂情愿，更不是教師的獨白，而是要充分激發(fā)學生的實驗興趣。數(shù)學實驗不能追求一步到位、一次成功，而是要循序漸進，引領學生充分經(jīng)歷實驗過程。數(shù)學實驗更不是一做了之，而是要引導學生結合實驗過程展開深入的數(shù)學思考，引導學生洞察實驗背后的數(shù)學旨趣。

2. 呈現(xiàn)數(shù)學實驗之理，讓實驗有深度

數(shù)學實驗不同于純粹機械式的動手操作，而是學生手腦并用、做思共生的過程。教學中，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學實驗的生發(fā)、生長、生成過程，理解數(shù)學實驗之理，引導學生通過數(shù)學實驗，對數(shù)學知識進行深度加工、多變處理。

例如：教學《釘子板上的多邊形》（蘇教版小學數(shù)學教材第9冊）時，在學生形成了“多邊形的面積可能與圖形內和圖形邊上的格點數(shù)有關”的數(shù)學猜想后，筆者讓學生討論“如何展開數(shù)學實驗”。有孩子認為，應該從簡單的圖形開始研究，如長方形、正方形、平行四邊形、梯形等，因為這些圖形的面積可以運用公式進行驗證；有孩子認為，應當從格點數(shù)少的情形開始研究，如圖形內只有1個格點、2個格點等。據(jù)此，學生主動確定研究方案，實施數(shù)學實驗。經(jīng)過小組交流，他們形成了如下實驗步驟：一是圍多邊形，并且讓多邊形內只有1個格點；二是數(shù)多邊形上的格點數(shù)；三是尋找多邊形的面積與圖形內格點和圖形上格點之間的關系。在實驗的過程中，孩子們不斷產(chǎn)生新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，逐漸逼近數(shù)學真理。當內點為1時，學生根據(jù)研究提出兩個規(guī)律：邊點÷2=面積，內點×邊點÷2=面積；當內點為2時，學生發(fā)現(xiàn)：（內點+邊點）÷2=面積；當內點為3，4時，學生發(fā)現(xiàn)：（內點+邊點+1）÷2=面積，（內點+邊點+2）÷2=面積，邊點÷2+2，邊點÷2+3……在不斷地調整、反思中，學生形成了普適性的數(shù)學結論——“邊點÷2+內點-1=面積”。正是在不斷地發(fā)現(xiàn)、探尋中，學生最終發(fā)現(xiàn)了“皮克定理”。在這個過程中，學生的經(jīng)驗在不斷積累，學生的視界不斷擴大，學生的精神生命在不斷成長。

“數(shù)學是思維的體操”，學生邊思考邊實驗，邊實驗邊思考，一個個數(shù)學公式被發(fā)現(xiàn)又被否定。在數(shù)學實驗的世界中，學生找尋自己的解釋，創(chuàng)造自己的答案，審視自己的知識。這種數(shù)學實驗超越了純粹的“紙筆數(shù)學”，呈現(xiàn)出另一種數(shù)學學習的樣態(tài)。

3. 敞露數(shù)學實驗之趣，讓實驗有溫度

數(shù)學實驗不是兒童的“被實驗”，而是一種積極主動的行為。數(shù)學實驗要激發(fā)兒童的“實驗之需”，引發(fā)兒童的實驗興趣，讓兒童按照自己的節(jié)奏在數(shù)學實驗中靜靜地思考、輕輕地觸摸，學生有動有靜、有做有思。數(shù)學實驗充溢著溫度，帶給兒童的，是思維的自由和身心的放松。

特級教師華應龍老師執(zhí)教《神奇的莫比烏斯圈》時，用一把剪刀和幾張長方形的紙，演繹了精彩而有趣的數(shù)學實驗：一是做莫比烏斯圈。一張長方形的紙條有四條邊、兩個面，你能把它變成兩條邊、兩個面嗎？學生在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)，可以將長方形的紙條粘成一個圈。你能將這張長方形紙條變成一個面、一條邊嗎？學生開始操作，但很少有人做成。教師示范，將長方形紙條的一端旋轉180°，與另一端粘在一起，做成一個莫比烏斯圈。二是剪莫比烏斯圈。在長方形紙條正中畫一條線，再做成莫比烏斯圈，然后用剪刀沿著莫比烏斯圈的中線剪開，看看有什么發(fā)現(xiàn)？三是猜想與驗證。在長方形紙條上畫兩條線，再用剪刀沿線剪開，會是怎樣的結果？學生將完成的作品予以展示。學生再次提出猜想并展開操作驗證。在不斷地猜想、實驗中，學生獲得了知識。在數(shù)學實驗中，學生的數(shù)學想象觸角、思維觸角不斷得到延伸，數(shù)學知識變得具體、形象，數(shù)學之美、數(shù)學之趣得到豐富展現(xiàn)，學生有根有據(jù)地研究，有滋有味地體驗，從中深刻地感受、體驗到數(shù)學的神奇與美妙。

著名數(shù)學教育家波利亞說，“數(shù)學有兩個側面：一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學?！睌?shù)學實驗，讓學生內隱的數(shù)學思維與外顯的實踐操作有機融合。學生在“做中學”“做中玩”“做中研”“做中創(chuàng)”，他們“做、學、玩合一”“思、創(chuàng)、行一體”，形成一種“具身認知”的全新學習質態(tài)！