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    讓“元問題”創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展主線上
    ——例談初中數(shù)學(xué)自主變式探究的問題設(shè)計(jì)

    2017-04-21 06:02:13浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心姜曉翔
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年6期
    關(guān)鍵詞:變式線段創(chuàng)設(shè)

    ☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 姜曉翔

    讓“元問題”創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展主線上
    ——例談初中數(shù)學(xué)自主變式探究的問題設(shè)計(jì)

    ☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 姜曉翔

    一、問題緣起

    當(dāng)前,初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,還是存在教學(xué)資源單一,教學(xué)結(jié)構(gòu)僵化,以及教師在教學(xué)過程中本本主義傾向嚴(yán)重等問題,導(dǎo)致教師教得乏味,學(xué)生學(xué)得無趣,教學(xué)氣氛不夠活躍、教學(xué)效率低下等現(xiàn)象.波利亞曾說:“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn),因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深,也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”基于上述認(rèn)識,筆者認(rèn)為,教終究是為學(xué)服務(wù)的,初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革也必須從學(xué)生的立場出發(fā),努力使他們煥發(fā)出生命力、學(xué)習(xí)力和發(fā)展力,讓他們真正成為學(xué)習(xí)的主人,主宰學(xué)習(xí)過程.筆者曾在《合理創(chuàng)設(shè)元問題自主變式探生成》一文中結(jié)合一個(gè)教學(xué)案例分析了“元問題”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何激發(fā)并激活學(xué)生的思維,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷通過自主變式探究活動而最終提煉、掌握并體悟數(shù)學(xué)知識的過程.何謂“元問題”呢?在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)提出的能提高學(xué)生的求知欲并能激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的問題稱之為元問題.近段時(shí)間,筆者又多次通過教學(xué)研討活動進(jìn)一步實(shí)踐并驗(yàn)證了元問題教學(xué)策略對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革所起到的積極作用.數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué),而思維又起源于問題.本文就以學(xué)生的思維發(fā)展為主線,結(jié)合教學(xué)案例來闡述如何在不同的思維發(fā)展節(jié)點(diǎn)處通過元問題的合理創(chuàng)設(shè)來激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力和發(fā)展力.

    二、元問題的創(chuàng)設(shè)策略

    1.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維孕育時(shí),激發(fā)思維萌生點(diǎn).

    課的伊始,大多數(shù)學(xué)生還未能真正快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài),這時(shí),就需要教師通過元問題的創(chuàng)設(shè)來幫助學(xué)生孕育思維.期間,需要切準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)和疑難處,才能有意識、有針對性地進(jìn)行教學(xué),從而快速地讓學(xué)生的思維和所學(xué)內(nèi)容交織在一起,成功激發(fā)思維萌生點(diǎn).

    【案例1】在浙教版八上“直角三角形復(fù)習(xí)”課堂教學(xué)開始階段,授課教師是這樣設(shè)計(jì)的.

    元問題1:如圖1,在△ABC中添加一個(gè)條件________,使得△ABC為直角三角形.

    元問題2:如圖2,若CD是Rt△ABC斜邊上的高線,其中BC=1,你能再添加一個(gè)條件后設(shè)計(jì)一個(gè)問題,并解決你所設(shè)計(jì)的問題嗎?

    圖1

    圖2

    【評析】授課教師在“直角三角形復(fù)習(xí)”課的開始階段精心創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)非常巧妙的元問題.元問題1在結(jié)合具體問題的基礎(chǔ)上有效激發(fā)了學(xué)生對于直角三角形判定的回顧.元問題2更是激發(fā)學(xué)生利用所學(xué)知識編題,學(xué)生可以通過添加一個(gè)邊的條件或一個(gè)銳角的條件來設(shè)計(jì)出簡單的直角三角形計(jì)算問題.教師在引導(dǎo)、組織學(xué)生編題和解答的過程中,不僅靈活地回顧了直角三角形的有關(guān)知識,而且能切準(zhǔn)學(xué)生對于直角三角形這一知識點(diǎn)存在的困惑和疑難,以便讓接下來的教學(xué)更有針對性.元問題的合理創(chuàng)設(shè)在起到孕育思維的效果的同時(shí),成功激發(fā)出思維萌生點(diǎn).

    2.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展時(shí),抓住思維生長點(diǎn).

    當(dāng)學(xué)生已進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài),并對所學(xué)內(nèi)容有了一定的認(rèn)識,同時(shí),教師對學(xué)情也有了進(jìn)一步的認(rèn)知時(shí),需要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思維進(jìn)一步發(fā)展并生長.此時(shí),教師創(chuàng)設(shè)的元問題所引發(fā)的自主變式探究可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展,有效抓住學(xué)生思維的生長點(diǎn).

    【案例2】在浙教版七下“3.1同底數(shù)冪乘方(2)”課堂教學(xué)的例1及鞏固練習(xí)之后,授課教師是這樣設(shè)計(jì)的.

    元問題:請同學(xué)們運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法、乘方等知識,在下面的算式的括號內(nèi)任意填寫一個(gè)關(guān)于m的代數(shù)式,編出一個(gè)算式,然后考考其他同學(xué)!

    ()4+()·m2+()3.

    【評析】本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要是同底數(shù)冪的乘方,在解決了課本中例1及幾個(gè)簡單的鞏固練習(xí)之后,授課教師正確地判斷出學(xué)生的思維已順利發(fā)展,并需要及時(shí)鞏固及生長,因此創(chuàng)設(shè)了如此的元問題.該元問題有效起到了讓學(xué)生對于同底數(shù)冪乘方運(yùn)算的及時(shí)鞏固的效果,抓住了思維生長點(diǎn).

    【案例3】在浙教版八上“一次函數(shù)中的面積問題”復(fù)習(xí)課中,在解決了一個(gè)基礎(chǔ)的例題教學(xué)之后的教學(xué)片段如下所示.

    元問題:如圖3,已知函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),且滿足____①,

    ____②.

    請你編題:請?jiān)冖偬幪硪粋€(gè)條件,在②處提出一個(gè)問題,并解答.

    生1:①:與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),②:求該函數(shù)的解析式.

    生2:①:與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),②:求△AOB的面積.

    生3:①:與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B,△AOB的面積是8,②:求點(diǎn)B的坐標(biāo).

    生4:①:與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B,△AOB的面積是4,②:求該一次函數(shù)的解析式.

    ......

    【評析】本節(jié)課主要是針對一次函數(shù)圖像中面積問題的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課,重點(diǎn)解決直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積問題的計(jì)算.案例中元問題創(chuàng)設(shè)的時(shí)機(jī)恰到好處,正值學(xué)生已初步感知了“已知直線和點(diǎn)求三角形面積”及“已知點(diǎn)和三角形面積求直線的解析式”順、逆兩類問題之時(shí).通過該元問題的創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生經(jīng)歷主動提出問題和互相解答問題的自主變式探究過程,有效起到了發(fā)展思維、鞏固知識點(diǎn)及抓住生長點(diǎn)的作用.

    3.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維生長時(shí),尋求思維延伸點(diǎn).

    在學(xué)生經(jīng)歷了思維孕育、產(chǎn)生并發(fā)展時(shí),會不由自主地進(jìn)行思維的進(jìn)一步生長.此時(shí),教師如果能夠及時(shí)通過有效元問題的創(chuàng)設(shè),來促使學(xué)生的思維生長,就能尋求思維延伸點(diǎn),起到關(guān)聯(lián)橫向與縱向知識點(diǎn)的效果,真正達(dá)到知識的融會貫通.

    【案例4】在浙教版八下“6.1反比例函數(shù)(2)”例1之后的教學(xué)片段如下所示.

    例1已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù),當(dāng)x=3時(shí),y=-6,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍.條件1:已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù);條件2:當(dāng)x=3時(shí),y=-6.

    元問題:能否改變例1中的某一條件,設(shè)計(jì)出屬于你

    的題目,并完成解答過程.

    圖3

    生1:條件1改為:已知y是關(guān)于x的正比例函數(shù).

    生2:條件2改為:當(dāng)x=2時(shí),y=3.

    生3:條件1改為:已知y是關(guān)于x-1的反比例函數(shù).

    生4:條件1改為:已知y是關(guān)于x2的反比例函數(shù).

    ......

    師:同學(xué)們都編得很好!老師也來編一個(gè),將條件1和條件2同時(shí)改為:(如表1)

    表1

    【評析】本節(jié)課主要內(nèi)容是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.在解決例1及歸納了一般步驟之后,教師創(chuàng)設(shè)了這樣的元問題,通過引導(dǎo)學(xué)生編題和教師補(bǔ)充編題的過程,自然地將例1分別從橫向(不同函數(shù)類型)和縱向(對應(yīng)數(shù)值不同表現(xiàn)形式)進(jìn)行了適當(dāng)拓展.幾乎把所有類型的用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的問題都覆蓋到,并且大多數(shù)是由學(xué)生提出并互相解決的,讓學(xué)生在思維生長時(shí)對問題有了更深層次的理解.在尋求思維延伸點(diǎn)的過程中,起到對某一知識點(diǎn)融會貫通的效果.

    4.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維拓展時(shí),追求思維發(fā)散點(diǎn).

    到了這個(gè)階段,學(xué)生的學(xué)習(xí)思維已較為成熟,經(jīng)歷了孕育、發(fā)展和生長,有時(shí)需要更進(jìn)一步的拓展才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步提升.在具體的課堂教學(xué)中,往往可以通過元問題的創(chuàng)設(shè)來引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識自主從不同角度、不同背景、不同層面進(jìn)行延伸與拓展,從而追求思維發(fā)散點(diǎn).

    【案例5】在浙教版八下“正方形中的動點(diǎn)問題探究”復(fù)習(xí)課中,前半段經(jīng)歷了簡單的單動點(diǎn)和雙動點(diǎn)的問題探究,接下來的教學(xué)片段如下.

    如圖4,在邊長為4cm的正方形ABCD中,現(xiàn)有一動點(diǎn)P,現(xiàn)從A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊經(jīng)A-B-C-D到達(dá)點(diǎn)D.另有一動點(diǎn)Q,以1cm/s的速度從D出發(fā),沿正方形的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動,相遇后同時(shí)停止,連接AP、PQ、QA.

    元問題:根據(jù)以上信息,你能設(shè)計(jì)出一個(gè)怎樣的問題?

    (溫馨提示:同學(xué)們可以從以下幾個(gè)方面去思考:(1)線段的關(guān)系;(2)三角形形狀;(3)面積問題……)

    生1:t為何值時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?

    圖4

    生2:t為何值時(shí),△APQ是等腰三角形?

    生3:t為何值時(shí),△APQ是直角三角形?

    生4:設(shè)△APQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.當(dāng)t為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

    ......

    【評析】本節(jié)課重點(diǎn)解決正方形中的動點(diǎn)問題的探究,包括單動點(diǎn)和雙動點(diǎn).上述片段是在授課教師引導(dǎo)學(xué)生解決了5個(gè)較為簡單、基礎(chǔ)的小問題作思維鋪墊之后,設(shè)計(jì)的元問題,旨在引導(dǎo)學(xué)生自主提出在正方形背景下的典型問題,包括特殊三角形形狀問題、面積問題等,讓學(xué)生在提出問題、分析問題和解決問題的過程中思維充分拓展,而且是向不同角度、不同背景、不同層面進(jìn)行延伸與拓展,追求思維發(fā)散點(diǎn).

    5.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維整理時(shí),找準(zhǔn)思維回歸點(diǎn).

    當(dāng)學(xué)生通過學(xué)習(xí)活動得到了比較豐富的經(jīng)驗(yàn),且對經(jīng)驗(yàn)有了自己獨(dú)特的體驗(yàn)后,教師需要及時(shí)啟發(fā)學(xué)生做好舉三反一的工作——思維整理.沒有思維整理的環(huán)節(jié),這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)都只是一條一條的、成散亂狀態(tài)存在的.而經(jīng)過思維整理,就可以將其融合、凝練,達(dá)成有序思維.元問題的創(chuàng)設(shè)可以有效引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行思維的整理,找到問題的本源,挖掘問題的本質(zhì),從而找準(zhǔn)思維回歸點(diǎn).

    【案例6】在浙教版九上“3.3垂徑定理(1)”課堂教學(xué)的最后階段,教學(xué)片段如下所示.

    先解決課本中的例2:一條排水管的截面如圖5所示.排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,求截面圓心O到水面的距離OC.

    師:如果把線段OC向兩邊延長,與圓相交,如圖6,我們還能求圖中的哪些線段?

    (學(xué)生能輕松解決該問題)

    元問題:圖6中,是否有可能,知道其中的兩條線段(所有的半徑或直徑算一條),也能像我們剛才那樣,能求出其他所有線段呢?

    請同學(xué)們自己來嘗試編題,編好后向全班同學(xué)展示并共同解答.

    生1:已知OC=3,OE=5,求其他所有線段.

    生2:已知OC=3,OB=5,求其他所有線段.

    生3:已知OC=6,AC=8,求其他所有線段.

    圖5

    圖6

    生4:已知OC=6,BC=8,求其他所有線段.

    生5:已知OC=6,AB=16,求其他所有線段.

    生6:已知OE=5,AC=3,求其他所有線段.

    生7:已知DE=10,AB=6,求其他所有線段.

    生8:已知OB=10,CD=4,求其他所有線段.

    生9:已知BC=4,CD=2,求其他所有線段.

    【評析】上述片段是在學(xué)了垂徑定理,并解決了例題之后所進(jìn)行的教學(xué)環(huán)節(jié).通過教師元問題的創(chuàng)設(shè),不僅讓學(xué)生弄清了本題圖中各線段之間的本質(zhì)聯(lián)系,而且以課本例2作為題根進(jìn)行探究,教會了學(xué)生思考問題就應(yīng)該從問題的本源出發(fā),進(jìn)一步深入挖掘本質(zhì)通法,并最終回歸到問題本源的思維發(fā)展程序,大大提升了學(xué)生分析問題、提出問題和解決問題的能力.

    三、結(jié)束語

    新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是一個(gè)親身經(jīng)歷、動手實(shí)踐、主動探究的過程.因此,在課堂教學(xué)中,給學(xué)生提供探究的時(shí)間和空間就顯得尤為重要,這也是初中數(shù)學(xué)慢教育的體現(xiàn).教師在整條教學(xué)思維主線上所創(chuàng)設(shè)的元問題,能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主變式探究,在這一過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力得到提升,這是“生本課堂”的核心訴求.需指出的是,本文中所涉及的整條學(xué)生發(fā)展思維主線,并非一定在同一節(jié)課中實(shí)現(xiàn),而是可以在同一類知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)體系中形成.并通過引導(dǎo)和組織學(xué)生進(jìn)行自主變式探究來挖掘問題本質(zhì),尋求解題通性、通法.當(dāng)然,該教學(xué)策略還處在不斷的嘗試和實(shí)踐階段,相信在今后的經(jīng)驗(yàn)不斷總結(jié)中,能得到進(jìn)一步完善和提升.

    1.李庾南.預(yù)設(shè)與生成——“初中數(shù)學(xué)自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)法35年探索實(shí)踐”成果報(bào)告[J].未來教育家,2014(6).

    2.姜曉翔.合理創(chuàng)設(shè)元問題自主變式探生成[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2015(12).

    3.姜曉翔.基于“自主變式”引發(fā)“生本探究”[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2016(10).

    4.酈興江.致力打造“生本課堂”,智慧推進(jìn)自主學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(11).

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