讓“元問題”創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展主線上
——例談初中數(shù)學(xué)自主變式探究的問題設(shè)計(jì)

☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 姜曉翔

讓“元問題”創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展主線上
——例談初中數(shù)學(xué)自主變式探究的問題設(shè)計(jì)

☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 姜曉翔

一、問題緣起

當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還是存在教學(xué)資源單一，教學(xué)結(jié)構(gòu)僵化，以及教師在教學(xué)過程中本本主義傾向嚴(yán)重等問題，導(dǎo)致教師教得乏味，學(xué)生學(xué)得無趣，教學(xué)氣氛不夠活躍、教學(xué)效率低下等現(xiàn)象.波利亞曾說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”基于上述認(rèn)識，筆者認(rèn)為，教終究是為學(xué)服務(wù)的，初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革也必須從學(xué)生的立場出發(fā)，努力使他們煥發(fā)出生命力、學(xué)習(xí)力和發(fā)展力，讓他們真正成為學(xué)習(xí)的主人，主宰學(xué)習(xí)過程.筆者曾在《合理創(chuàng)設(shè)元問題自主變式探生成》一文中結(jié)合一個(gè)教學(xué)案例分析了“元問題”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何激發(fā)并激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷通過自主變式探究活動而最終提煉、掌握并體悟數(shù)學(xué)知識的過程.何謂“元問題”呢？在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)提出的能提高學(xué)生的求知欲并能激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的問題稱之為元問題.近段時(shí)間，筆者又多次通過教學(xué)研討活動進(jìn)一步實(shí)踐并驗(yàn)證了元問題教學(xué)策略對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革所起到的積極作用.數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)，而思維又起源于問題.本文就以學(xué)生的思維發(fā)展為主線，結(jié)合教學(xué)案例來闡述如何在不同的思維發(fā)展節(jié)點(diǎn)處通過元問題的合理創(chuàng)設(shè)來激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力和發(fā)展力.

二、元問題的創(chuàng)設(shè)策略

1.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維孕育時(shí)，激發(fā)思維萌生點(diǎn).

課的伊始，大多數(shù)學(xué)生還未能真正快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，這時(shí)，就需要教師通過元問題的創(chuàng)設(shè)來幫助學(xué)生孕育思維.期間，需要切準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)和疑難處，才能有意識、有針對性地進(jìn)行教學(xué)，從而快速地讓學(xué)生的思維和所學(xué)內(nèi)容交織在一起，成功激發(fā)思維萌生點(diǎn).

【案例1】在浙教版八上“直角三角形復(fù)習(xí)”課堂教學(xué)開始階段，授課教師是這樣設(shè)計(jì)的.

元問題1：如圖1，在△ABC中添加一個(gè)條件________，使得△ABC為直角三角形.

元問題2：如圖2，若CD是Rt△ABC斜邊上的高線，其中BC=1，你能再添加一個(gè)條件后設(shè)計(jì)一個(gè)問題，并解決你所設(shè)計(jì)的問題嗎？

圖1

圖2

【評析】授課教師在“直角三角形復(fù)習(xí)”課的開始階段精心創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)非常巧妙的元問題.元問題1在結(jié)合具體問題的基礎(chǔ)上有效激發(fā)了學(xué)生對于直角三角形判定的回顧.元問題2更是激發(fā)學(xué)生利用所學(xué)知識編題，學(xué)生可以通過添加一個(gè)邊的條件或一個(gè)銳角的條件來設(shè)計(jì)出簡單的直角三角形計(jì)算問題.教師在引導(dǎo)、組織學(xué)生編題和解答的過程中，不僅靈活地回顧了直角三角形的有關(guān)知識，而且能切準(zhǔn)學(xué)生對于直角三角形這一知識點(diǎn)存在的困惑和疑難，以便讓接下來的教學(xué)更有針對性.元問題的合理創(chuàng)設(shè)在起到孕育思維的效果的同時(shí)，成功激發(fā)出思維萌生點(diǎn).

2.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維發(fā)展時(shí)，抓住思維生長點(diǎn).

當(dāng)學(xué)生已進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，并對所學(xué)內(nèi)容有了一定的認(rèn)識，同時(shí)，教師對學(xué)情也有了進(jìn)一步的認(rèn)知時(shí)，需要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思維進(jìn)一步發(fā)展并生長.此時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)的元問題所引發(fā)的自主變式探究可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展，有效抓住學(xué)生思維的生長點(diǎn).

【案例2】在浙教版七下“3.1同底數(shù)冪乘方（2）”課堂教學(xué)的例1及鞏固練習(xí)之后，授課教師是這樣設(shè)計(jì)的.

元問題：請同學(xué)們運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法、乘方等知識，在下面的算式的括號內(nèi)任意填寫一個(gè)關(guān)于m的代數(shù)式，編出一個(gè)算式，然后考考其他同學(xué)！

（）4+（）·m2+（）3.

【評析】本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要是同底數(shù)冪的乘方，在解決了課本中例1及幾個(gè)簡單的鞏固練習(xí)之后，授課教師正確地判斷出學(xué)生的思維已順利發(fā)展，并需要及時(shí)鞏固及生長，因此創(chuàng)設(shè)了如此的元問題.該元問題有效起到了讓學(xué)生對于同底數(shù)冪乘方運(yùn)算的及時(shí)鞏固的效果，抓住了思維生長點(diǎn).

【案例3】在浙教版八上“一次函數(shù)中的面積問題”復(fù)習(xí)課中，在解決了一個(gè)基礎(chǔ)的例題教學(xué)之后的教學(xué)片段如下所示.

元問題：如圖3，已知函數(shù)y=kx＋b的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），且滿足____①，

____②.

請你編題：請?jiān)冖偬幪硪粋€(gè)條件，在②處提出一個(gè)問題，并解答.

生1：①：與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），②：求該函數(shù)的解析式.

生2：①：與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），②：求△AOB的面積.

生3：①：與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，△AOB的面積是8，②：求點(diǎn)B的坐標(biāo).

生4：①：與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，△AOB的面積是4，②：求該一次函數(shù)的解析式.

......

【評析】本節(jié)課主要是針對一次函數(shù)圖像中面積問題的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，重點(diǎn)解決直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積問題的計(jì)算.案例中元問題創(chuàng)設(shè)的時(shí)機(jī)恰到好處，正值學(xué)生已初步感知了“已知直線和點(diǎn)求三角形面積”及“已知點(diǎn)和三角形面積求直線的解析式”順、逆兩類問題之時(shí).通過該元問題的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生經(jīng)歷主動提出問題和互相解答問題的自主變式探究過程，有效起到了發(fā)展思維、鞏固知識點(diǎn)及抓住生長點(diǎn)的作用.

3.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維生長時(shí)，尋求思維延伸點(diǎn).

在學(xué)生經(jīng)歷了思維孕育、產(chǎn)生并發(fā)展時(shí)，會不由自主地進(jìn)行思維的進(jìn)一步生長.此時(shí)，教師如果能夠及時(shí)通過有效元問題的創(chuàng)設(shè)，來促使學(xué)生的思維生長，就能尋求思維延伸點(diǎn)，起到關(guān)聯(lián)橫向與縱向知識點(diǎn)的效果，真正達(dá)到知識的融會貫通.

【案例4】在浙教版八下“6.1反比例函數(shù)（2）”例1之后的教學(xué)片段如下所示.

例1已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=3時(shí)，y=-6，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍.條件1：已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù)；條件2：當(dāng)x=3時(shí)，y=-6.

元問題：能否改變例1中的某一條件，設(shè)計(jì)出屬于你

的題目，并完成解答過程.

圖3

生1：條件1改為：已知y是關(guān)于x的正比例函數(shù).

生2：條件2改為：當(dāng)x=2時(shí)，y=3.

生3：條件1改為：已知y是關(guān)于x-1的反比例函數(shù).

生4：條件1改為：已知y是關(guān)于x2的反比例函數(shù).

......

師：同學(xué)們都編得很好！老師也來編一個(gè)，將條件1和條件2同時(shí)改為：（如表1）

表1

【評析】本節(jié)課主要內(nèi)容是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.在解決例1及歸納了一般步驟之后，教師創(chuàng)設(shè)了這樣的元問題，通過引導(dǎo)學(xué)生編題和教師補(bǔ)充編題的過程，自然地將例1分別從橫向（不同函數(shù)類型）和縱向（對應(yīng)數(shù)值不同表現(xiàn)形式）進(jìn)行了適當(dāng)拓展.幾乎把所有類型的用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的問題都覆蓋到，并且大多數(shù)是由學(xué)生提出并互相解決的，讓學(xué)生在思維生長時(shí)對問題有了更深層次的理解.在尋求思維延伸點(diǎn)的過程中，起到對某一知識點(diǎn)融會貫通的效果.

4.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維拓展時(shí)，追求思維發(fā)散點(diǎn).

到了這個(gè)階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)思維已較為成熟，經(jīng)歷了孕育、發(fā)展和生長，有時(shí)需要更進(jìn)一步的拓展才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步提升.在具體的課堂教學(xué)中，往往可以通過元問題的創(chuàng)設(shè)來引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識自主從不同角度、不同背景、不同層面進(jìn)行延伸與拓展，從而追求思維發(fā)散點(diǎn).

【案例5】在浙教版八下“正方形中的動點(diǎn)問題探究”復(fù)習(xí)課中，前半段經(jīng)歷了簡單的單動點(diǎn)和雙動點(diǎn)的問題探究，接下來的教學(xué)片段如下.

如圖4，在邊長為4cm的正方形ABCD中，現(xiàn)有一動點(diǎn)P，現(xiàn)從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊經(jīng)A-B-C-D到達(dá)點(diǎn)D.另有一動點(diǎn)Q，以1cm/s的速度從D出發(fā)，沿正方形的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動，相遇后同時(shí)停止，連接AP、PQ、QA.

元問題：根據(jù)以上信息，你能設(shè)計(jì)出一個(gè)怎樣的問題？

（溫馨提示：同學(xué)們可以從以下幾個(gè)方面去思考：（1）線段的關(guān)系；（2）三角形形狀；（3）面積問題……）

生1：t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？

圖4

生2：t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

生3：t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？

生4：設(shè)△APQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

......

【評析】本節(jié)課重點(diǎn)解決正方形中的動點(diǎn)問題的探究，包括單動點(diǎn)和雙動點(diǎn).上述片段是在授課教師引導(dǎo)學(xué)生解決了5個(gè)較為簡單、基礎(chǔ)的小問題作思維鋪墊之后，設(shè)計(jì)的元問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生自主提出在正方形背景下的典型問題，包括特殊三角形形狀問題、面積問題等，讓學(xué)生在提出問題、分析問題和解決問題的過程中思維充分拓展，而且是向不同角度、不同背景、不同層面進(jìn)行延伸與拓展，追求思維發(fā)散點(diǎn).

5.讓元問題創(chuàng)設(shè)在思維整理時(shí)，找準(zhǔn)思維回歸點(diǎn).

當(dāng)學(xué)生通過學(xué)習(xí)活動得到了比較豐富的經(jīng)驗(yàn)，且對經(jīng)驗(yàn)有了自己獨(dú)特的體驗(yàn)后，教師需要及時(shí)啟發(fā)學(xué)生做好舉三反一的工作——思維整理.沒有思維整理的環(huán)節(jié)，這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)都只是一條一條的、成散亂狀態(tài)存在的.而經(jīng)過思維整理，就可以將其融合、凝練，達(dá)成有序思維.元問題的創(chuàng)設(shè)可以有效引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行思維的整理，找到問題的本源，挖掘問題的本質(zhì)，從而找準(zhǔn)思維回歸點(diǎn).

【案例6】在浙教版九上“3.3垂徑定理（1）”課堂教學(xué)的最后階段，教學(xué)片段如下所示.

先解決課本中的例2：一條排水管的截面如圖5所示.排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC.

師：如果把線段OC向兩邊延長，與圓相交，如圖6，我們還能求圖中的哪些線段？

（學(xué)生能輕松解決該問題）

元問題：圖6中，是否有可能，知道其中的兩條線段（所有的半徑或直徑算一條），也能像我們剛才那樣，能求出其他所有線段呢？

請同學(xué)們自己來嘗試編題，編好后向全班同學(xué)展示并共同解答.

生1：已知OC=3，OE=5，求其他所有線段.

生2：已知OC=3，OB=5，求其他所有線段.

生3：已知OC=6，AC=8，求其他所有線段.

圖5

圖6

生4：已知OC=6，BC=8，求其他所有線段.

生5：已知OC=6，AB=16，求其他所有線段.

生6：已知OE=5，AC=3，求其他所有線段.

生7：已知DE=10，AB=6，求其他所有線段.

生8：已知OB=10，CD=4，求其他所有線段.

生9：已知BC=4，CD=2，求其他所有線段.

【評析】上述片段是在學(xué)了垂徑定理，并解決了例題之后所進(jìn)行的教學(xué)環(huán)節(jié).通過教師元問題的創(chuàng)設(shè)，不僅讓學(xué)生弄清了本題圖中各線段之間的本質(zhì)聯(lián)系，而且以課本例2作為題根進(jìn)行探究，教會了學(xué)生思考問題就應(yīng)該從問題的本源出發(fā)，進(jìn)一步深入挖掘本質(zhì)通法，并最終回歸到問題本源的思維發(fā)展程序，大大提升了學(xué)生分析問題、提出問題和解決問題的能力.

三、結(jié)束語

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是一個(gè)親身經(jīng)歷、動手實(shí)踐、主動探究的過程.因此，在課堂教學(xué)中，給學(xué)生提供探究的時(shí)間和空間就顯得尤為重要，這也是初中數(shù)學(xué)慢教育的體現(xiàn).教師在整條教學(xué)思維主線上所創(chuàng)設(shè)的元問題，能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主變式探究，在這一過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力得到提升，這是“生本課堂”的核心訴求.需指出的是，本文中所涉及的整條學(xué)生發(fā)展思維主線，并非一定在同一節(jié)課中實(shí)現(xiàn)，而是可以在同一類知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)體系中形成.并通過引導(dǎo)和組織學(xué)生進(jìn)行自主變式探究來挖掘問題本質(zhì)，尋求解題通性、通法.當(dāng)然，該教學(xué)策略還處在不斷的嘗試和實(shí)踐階段，相信在今后的經(jīng)驗(yàn)不斷總結(jié)中，能得到進(jìn)一步完善和提升.

1.李庾南.預(yù)設(shè)與生成——“初中數(shù)學(xué)自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)法35年探索實(shí)踐”成果報(bào)告［J］.未來教育家，2014（6）.

2.姜曉翔.合理創(chuàng)設(shè)元問題自主變式探生成［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（12）.

3.姜曉翔.基于“自主變式”引發(fā)“生本探究”［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（10）.

4.酈興江.致力打造“生本課堂”，智慧推進(jìn)自主學(xué)習(xí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（11）.