基于標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)注本質(zhì)，考查素養(yǎng)：例析二次函數(shù)壓軸題的命制*

☉江蘇揚(yáng)州市初中數(shù)學(xué) 張曉林名師工作室 石樹偉

基于標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)注本質(zhì)，考查素養(yǎng)：例析二次函數(shù)壓軸題的命制*

☉江蘇揚(yáng)州市初中數(shù)學(xué) 張曉林名師工作室 石樹偉

中考壓軸題的高區(qū)分度及由其衍生的高利害性，決定了壓軸題對一線教學(xué)具有較強(qiáng)的導(dǎo)向作用.二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，無論是知識的綜合性還是思維的層次性，都當(dāng)之無愧地占據(jù)著初中代數(shù)的“制高點(diǎn)”.因此，二次函數(shù)是肩負(fù)區(qū)分功能的中考壓軸題的命題熱點(diǎn)，二次函數(shù)壓軸題的命制需正本清源，以利于正確引領(lǐng)一線的教學(xué).

一、從一道中考題分析二次函數(shù)壓軸題的命題誤區(qū)

當(dāng)前，許多地方二次函數(shù)壓軸題的命制存在著一定的誤區(qū)，命題方向偏離了課程標(biāo)準(zhǔn)要求和函數(shù)概念本質(zhì).下面先從一道常見的二次函數(shù)中考壓軸題說起.

例1如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像過點(diǎn)A（-1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖2，一次函數(shù)y=kx（k>0）的圖像與該二次函數(shù)的圖像交于O、C兩點(diǎn)，點(diǎn)T為該二次函數(shù)圖像上位于直線OC下方的動點(diǎn)，過點(diǎn)T作直線TM⊥OC，垂足為點(diǎn)M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點(diǎn)T作直線TN∥y軸交OC于點(diǎn)N.若在點(diǎn)T運(yùn)動的過程中，為常數(shù)，試確定k的值.

圖1

圖2

1.解題思路分析.

對于第（1）題，利用待定系數(shù)法易得這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x.

第（2）題需分類討論：①當(dāng)AB為平行四邊形一邊時(shí)，易得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4；②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)，易得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2.因?yàn)辄c(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖像上，易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

對于第（3）題，設(shè)點(diǎn)T（n，n2-2n），則點(diǎn)N（n，kn），TN= kn-（n2-2n）.由勾股定理易得由△TMN∽△ODN，可得MN=則，上式為不隨n變化的常數(shù)，則1-2k=0，即此時(shí)

2.命題誤區(qū)分析.

本題是一道二次函數(shù)綜合題，輔之以平行四邊形性質(zhì)和三角形相似的應(yīng)用，滲透考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想，具有較強(qiáng)的綜合性.在點(diǎn)T運(yùn)動的過程中為常數(shù)，說明該比值與點(diǎn)T的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）無關(guān)，從而可得該比值化簡后與橫坐標(biāo)（未知數(shù)）相關(guān)的系數(shù)為0，由此確定k的值，這里除了要求學(xué)生深刻領(lǐng)會問題的本質(zhì)，還需學(xué)生具備較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算定向變形的能力，充分考查學(xué)生思維的深刻性和運(yùn)算能力，具有較強(qiáng)的區(qū)分度.通過閱卷情況看，本題很好地發(fā)揮了把關(guān)區(qū)分功能，有效達(dá)成了命題意圖.

從解題過程看，第（1）題重點(diǎn)考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，而第（2）（3）題則主要是平行四邊形、相似三角形等知識和分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的應(yīng)用，幾何知識的應(yīng)用成為問題突破的關(guān)鍵，二次函數(shù)僅在解題開始或結(jié)束時(shí)借表達(dá)式來設(shè)或求點(diǎn)的坐標(biāo).從以上分析可以看出，二次函數(shù)其實(shí)不是本題考查的重點(diǎn)，第（1）題僅為第（2）（3）題準(zhǔn)備一個(gè)二次函數(shù)的背景和鋪墊.

以二次函數(shù)為背景，將二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓等知識結(jié)合起來考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，這是現(xiàn)在流行的二次函數(shù)壓軸題的命題方式，但這樣考查有兩方面的弊端：一是掐頭去尾燒中段，“過度解析化”地考查二次函數(shù)，對二次函數(shù)的來源和應(yīng)用關(guān)注不夠，偏離二次函數(shù)內(nèi)容的課標(biāo)要求；二是“人為拼湊”的痕跡嚴(yán)重，過于注重二次函數(shù)具體靜態(tài)細(xì)節(jié)和解題技巧的考查，偏離函數(shù)概念的本質(zhì)，總體上對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查缺失.

二、課標(biāo)要求概念本質(zhì)導(dǎo)向核心素養(yǎng)考查

1.課標(biāo)要求對二次函數(shù)命題的啟示.

二次函數(shù)從屬于函數(shù)，因此先來看一下《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（本文簡稱課標(biāo)或標(biāo)準(zhǔn)）中“課程內(nèi)容”部分對“函數(shù)”內(nèi)容的要求：

（1）探索簡單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義.

（2）結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示法，能舉出函數(shù)的實(shí)例.

（3）能結(jié)合圖像對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.

（4）能確定簡單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值.

（5）能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系.

（6）結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化情況進(jìn)行初步討論.

課標(biāo)中“課程內(nèi)容”部分對“二次函數(shù)”內(nèi)容的要求如下：

（1）通過對實(shí)際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義.

（2）會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì).

（3）會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單實(shí)際問題.

（4）會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.

（5）知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù).

從以上函數(shù)和二次函數(shù)內(nèi)容的課標(biāo)要求可以看出，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)需聯(lián)系實(shí)際，學(xué)習(xí)結(jié)果指向解決實(shí)際問題，即學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念、表示、圖像、性質(zhì)的目的是解決簡單實(shí)際問題.當(dāng)然，這里的實(shí)際問題可以是生活現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題，也可以是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題.基于標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)試題命制應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際的函數(shù)應(yīng)用意識和能力的考查.

2.概念本質(zhì)對二次函數(shù)命題的啟示.

初中階段的函數(shù)概念是動態(tài)的、宏觀的變量說，它是從大局著眼考察總體發(fā)展趨勢，觀察變量之間彼此的依存關(guān)系，其本質(zhì)是運(yùn)動變化過程中變量之間的依賴關(guān)系.高中階段的函數(shù)概念則是靜態(tài)的、微觀的對應(yīng)說，它是從局部著眼深入精細(xì)考察每一個(gè)細(xì)節(jié)，強(qiáng)調(diào)具體的對應(yīng)關(guān)系，其本質(zhì)是兩個(gè)集合元素之間精確化的對應(yīng)關(guān)系.變量說與對應(yīng)說各有優(yōu)劣，沒有好壞高下之分，但教學(xué)和考查的要求應(yīng)切合學(xué)生的年齡特征和學(xué)習(xí)階段.

真正的實(shí)際問題不會告訴學(xué)生“這個(gè)問題里面有函數(shù)關(guān)系”或“這個(gè)問題要用××函數(shù)去解決”，學(xué)生遇到實(shí)際問題時(shí)首先要能自主發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中變量之間的依賴關(guān)系，主動構(gòu)造函數(shù)去解決問題.因此，函數(shù)（包括二次函數(shù)）的學(xué)習(xí)和考查應(yīng)關(guān)注函數(shù)概念本質(zhì)，初中階段關(guān)注本質(zhì)的二次函數(shù)試題命制應(yīng)以運(yùn)動變化過程中變量之間函數(shù)關(guān)系的自主發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造和應(yīng)用為主.

3.基于標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注本質(zhì)促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查.

課標(biāo)要求和概念本質(zhì)啟示二次函數(shù)的考查應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際的函數(shù)應(yīng)用意識和能力的考查，在函數(shù)關(guān)系的自主發(fā)現(xiàn)過程中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在函數(shù)關(guān)系的自主構(gòu)造和應(yīng)用中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，從而引領(lǐng)、促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在平時(shí)教學(xué)中落地生根.

三、基于標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注本質(zhì)考查素養(yǎng)的二次函數(shù)壓軸題例析

近年來，基于標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注本質(zhì)的二次函數(shù)試題不斷出現(xiàn)，對二次函數(shù)的考查開始回歸自然、回歸函數(shù)的本質(zhì)，重視對函數(shù)建模思想和二次函數(shù)對稱性、增減性及最值等主要性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用的考查，較好地體現(xiàn)了“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”這一知識形成與應(yīng)用的過程，對一線教學(xué)起到了正確的導(dǎo)向作用.但總體上這類試題占比還偏小，有的試題在貼近標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注本質(zhì)考查素養(yǎng)方面還有待提升.下面舉兩例分析.

1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的二次函數(shù)應(yīng)用壓軸題舉例.

例2（2013·江蘇揚(yáng)州）如圖3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上一動點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E.設(shè)BP=x，CE=y.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍；

（3）如圖4，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，∠BAG=90°，求BP的長.

圖3

圖4

【命題分析】本題看起來是一道動態(tài)幾何題，但解決問題所用的知識及問題突破的關(guān)鍵主要是二次函數(shù)，因此本質(zhì)上是一道幾何背景下的二次函數(shù)應(yīng)用壓軸題.第（1）題圖形中蘊(yùn)含有一個(gè)三角形相似的基本圖形——三垂直模型，由相似三角形的性質(zhì)容易構(gòu)造得到答案，第（2）（3）題則應(yīng)用所得的二次函數(shù)解決一些幾何問題.第（2）題很好地考查學(xué)生對問題本質(zhì)的認(rèn)識，“點(diǎn)E總在線段CD上”可以轉(zhuǎn)化為“y總是小于CD的長”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“y的最大值小于CD的長”，從而應(yīng)用二次函數(shù)的最值知識解決問題，對學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的意識和思維的深刻性要求較高.第（3）題對圖形折疊中存在的一些幾何性質(zhì)的考查較為深入，最后將已知量、未知量集中到一個(gè)直角三角形中應(yīng)用勾股定理列方程求解，整題具有一定的綜合性.

初看這道題，覺得三問之間層層深入，自然流暢.但細(xì)思這道題，則會覺得第（1）題“求y與x的函數(shù)關(guān)系式”是指令學(xué)生構(gòu)造函數(shù)，牽引著學(xué)生突破解決問題的關(guān)鍵，而不是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)運(yùn)動過程中CE（y）與BP（x）之間存在依賴關(guān)系，從而主動構(gòu)造函數(shù)，喪失了考查學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)理解和主動構(gòu)造函數(shù)解決問題意識的大好機(jī)會.

【試題改編】基于以上分析，可對例2進(jìn)行如下改編：

如圖3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E.

（1）在圖3中找出一對相似三角形，并說明理由；

（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍；

（3）如圖4，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，∠BAG=90°，求BP的長.

【改編分析】將第（1）題改為尋找相似三角形并說明理由，目的是體現(xiàn)壓軸題“起點(diǎn)低，尾巴翹”的要求，增加試題的“入口寬度”，且不突破本題解決的關(guān)鍵.第（2）題“點(diǎn)E總在線段CD上”即“CE的長總是小于CD的長”，則需將CE的長表示出來.學(xué)生若能宏觀考察整個(gè)運(yùn)動過程，則容易發(fā)現(xiàn)CE的長隨著點(diǎn)P位置的變化而變化，且隨著點(diǎn)P從B運(yùn)動到C，CE的長從0逐步增大，達(dá)到一個(gè)最大值后又逐步縮小至0，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動過程中CE與BP之間存在著函數(shù)關(guān)系，而且估計(jì)還是一個(gè)二次函數(shù)，從而主動設(shè)BP的長為自變量，CE的長為因變量（即函數(shù)），構(gòu)造CE與BP之間的函數(shù)關(guān)系解決問題.這樣改編不是指令學(xué)生構(gòu)造指定變量之間的函數(shù)關(guān)系，而是要求學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)存在依賴關(guān)系的兩個(gè)變量，主動構(gòu)造兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，有利于考查學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解和自主構(gòu)造函數(shù)解決問題的意識.

2.生活現(xiàn)實(shí)中的二次函數(shù)應(yīng)用壓軸題舉例.

例3（2015·江蘇揚(yáng)州）科研所計(jì)劃建一幢宿舍樓，因?yàn)榭蒲兴鶎?shí)驗(yàn)中會產(chǎn)生輻射，所以需要有兩項(xiàng)配套工程：①在科研所到宿舍樓之間修一條路，②對宿舍樓進(jìn)行防輻射處理.已知防輻射費(fèi)y萬元與科研所到宿舍樓的距離xkm之間的關(guān)系式為，當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為1km時(shí)，防輻射費(fèi)用為720萬元；當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為9km或大于9km時(shí)，輻射影響忽略不計(jì)，不進(jìn)行防輻射處理.設(shè)每公里修路的費(fèi)用為m萬元，配套工程費(fèi)w=防輻射費(fèi)+修路費(fèi).

（1）當(dāng)科研所到宿舍樓的距離x=9km時(shí)，防輻射費(fèi)y= _______萬元，a=_______，b=_______；

（2）若每公里修路的費(fèi)用為90萬元，當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為多少千米時(shí)，配套工程費(fèi)最少？

（3）如果配套工程費(fèi)不超過675萬元，且科研所到宿舍樓的距離小于9km，求每公里修路費(fèi)用m萬元的最大值.

【命題分析】本題是一道生活背景下的二次函數(shù)應(yīng)用壓軸題，第（1）題是待定系數(shù)法的應(yīng)用，第（2）（3）題是主動構(gòu)造二次函數(shù)并應(yīng)用二次函數(shù)最值解決實(shí)際問題.對于第（2）題，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)配套工程費(fèi)與科研所到宿舍樓的距離之間存在著依賴關(guān)系，且由“當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為多少千米時(shí)，配套工程費(fèi)最少”容易聯(lián)想到二次函數(shù)“當(dāng)自變量x=……時(shí)，函數(shù)y有最大（?。┲禐椤?，從而主動構(gòu)造函數(shù)解決問題，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和函數(shù)建模素養(yǎng)的考查.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.石樹偉.問題研究：入乎其內(nèi)，出乎其外——以一道二次函數(shù)題的研究為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（7/8）.

*本文系江蘇省教育科學(xué)十三五規(guī)劃立項(xiàng)課題“農(nóng)村初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑與策略研究”（XC-c/2016/20）及揚(yáng)州市教育科學(xué)十二五規(guī)劃立項(xiàng)課題“回歸本色的數(shù)學(xué)教育主張理論與實(shí)踐研究”（G/15/P/027）的成果之一．