基于問題驅(qū)動與價值引領(lǐng)的課堂教學(xué)
——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感

☉江蘇泰州市教育局教研室 錢德春

基于問題驅(qū)動與價值引領(lǐng)的課堂教學(xué)
——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感

☉江蘇泰州市教育局教研室 錢德春

2016年11月，筆者有幸參加了第三屆全國基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革研討暨上海中小學(xué)課堂教學(xué)觀摩會，會議主題是“關(guān)注課堂對話，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，彰顯育人價值”.上海市風(fēng)華初級中學(xué)樊允樸老師為活動開設(shè)了一節(jié)題為“可以化成一元一次方程的分式方程”的觀摩課，課堂在給我們帶來海派教學(xué)新風(fēng)的同時，也引發(fā)了筆者深層次的思考.本文結(jié)合課堂實錄，談?wù)勅绾卧趩栴}驅(qū)動、價值引領(lǐng)下開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動的思考.

一、教學(xué)實錄片段

課堂伊始，教師PPT出示問題：

上海虹橋站至北京南站的距離約為1200千米，開通京滬高鐵后，某列高鐵運(yùn)行的平均速度是某列動車運(yùn)行平均速度的1.6倍，并且高鐵比動車快3小時到達(dá)，那么這列高鐵行完全程需多少小時？

（學(xué)生讀題，嘗試自主解決問題，教師行間巡視，并提示有無其他方法，學(xué)生1、2板演，列出方程并求得結(jié)果）

師：（問題1）你是用什么方法解決這個問題的？

生1：列方程來解決，用時間做相等關(guān)系：t高鐵=t動車-3，從而得到方程

生2：以速度做相等關(guān)系：v動車×1.6=v高鐵，從而得到方程

師：你們是怎么解方程的？

生1：我用了去分母法，轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

生2：我用的是比例基本性質(zhì)：內(nèi)項積等于外項積.

師：（對生2）學(xué)生2同樣達(dá)到了去分母的目的，即左、右兩邊同時乘以……

生2：1200（x+3）=1.6×1200x.

師：本質(zhì)還是去分母.

師：（問題2）在解方程時，你覺得哪一個步驟最重要？為什么？

生3：去分母，兩邊同時乘以最簡公分母，轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

師：（問題3）我們?nèi)シ帜负蟮玫降氖且辉淮畏匠?，那么所列的方程是一元一次方程嗎?/p>

生3：不是，因為分母含有字母，即含有未知數(shù).

師：方程左、右兩邊含有分式，很好，這就是我們今天要學(xué)的方程——分式方程，把分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.

（板書：分式方程及其概念，學(xué)生補(bǔ)充完整課堂學(xué)習(xí)單）

師：（投影并說明）解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程化為整式方程來解，這個整式就是各分母的最簡公分母.辨析：下列方程中，哪些是分式方程？

師：你能解這5個方程嗎？（師生討論方程（1））

生5：通過去分母得x2-3x+1=0.

師：這個方程你會解嗎？

生眾：不會.

師：所以今天我們主要學(xué)習(xí)可以化為一元一次方程的分式方程（同時完善課題）.大家運(yùn)用剛才的知識試著解上面的方程（4）和（5）（學(xué)生自主完成，生4、5板演，生4得到x的值后猶豫片刻寫結(jié)果）.

眾生：學(xué)生4的正確.

師：為什么？學(xué)生4考慮了什么？

生6：他考慮了x-1≠0.

師：為什么要考慮x-1≠0？

生6：分式的分子為0時分式?jīng)]有意義.

師：對于方程（4），有沒有不同方法來解呢？

師：（投影“增根”定義，學(xué)生齊讀）在分式方程變形為整式方程時，我們發(fā)現(xiàn)解得的這個根是一元一次方程的根，但并不是原分式方程的根，我們把不適合原分式方程的根，叫作原分式方程的增根.

師：這樣的根應(yīng)該舍去，為什么會產(chǎn)生增根呢？應(yīng)如何檢驗增根？（學(xué)生小組討論，教師行間觀察巡視、個別指導(dǎo)）

生8：x-1為分母，因此x-1≠0.在去分母時沒有確定x-1是否為0，當(dāng)x-1=0時，方程兩邊乘上x-1后，本來不等的就變成相等了，x=1是去分母得到的根，只是整式方程的根，而不是原方程的根.

師：約分時默認(rèn)分式有意義，即x-1≠0，但去分母時不知道x-1是否為0.是嗎？

生眾：是.

師：如何檢驗？

生8：把整式方程的解代入原方程驗算，看分母是否為0，如果為0就說明原方程無解.

師：還有沒有其他辦法？

生9：也可以將整式方程的解代入最簡公分母，看是否為0.

師：為什么？

生9：這樣就可以判斷乘的因式是否為0……

師：大家聽明白了？她是真正理解了增根的意義，大家鼓勵一下（回到方程（4）（5）和現(xiàn)實問題）.大家看這幾個問題，有沒有需要完善的地方？（師生共同補(bǔ)充檢驗過程，對于方程（4），教師示范，對于方程（5），由學(xué)生說教師板書，實際問題補(bǔ)充“經(jīng)檢驗：x=150是方程

……

二、筆者的思考

這是一節(jié)精心預(yù)設(shè)、實施效果較好的概念課.“教什么”“為什么教”“怎么教”是課堂教學(xué)研究的永恒話題，誠如教者所言，課堂教學(xué)既關(guān)注數(shù)學(xué)知識獲得的過程，又重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，以問題為導(dǎo)向，在學(xué)生自主探究、師生平等對話中促進(jìn)數(shù)學(xué)理解.因此，一切教學(xué)活動都應(yīng)該基于“問題驅(qū)動”與“價值引領(lǐng)”.“教什么”就是問題驅(qū)動，“為什么教”源于“為什么學(xué)”，其實就是價值引領(lǐng).

1.以問題驅(qū)動課堂自然生長.

問題是數(shù)學(xué)的心臟.一節(jié)好的數(shù)學(xué)課堂必須有“好的數(shù)學(xué)問題”.什么是好的數(shù)學(xué)問題？好的數(shù)學(xué)問題從哪里來？如何以問題驅(qū)動學(xué)生知識自然生長？這是數(shù)學(xué)教師必須思考的課題.

（1）什么是好的數(shù)學(xué)問題？

課堂教學(xué)中好的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該是緊扣教學(xué)內(nèi)容、突出教學(xué)重點(diǎn)、圍繞教學(xué)難點(diǎn)的；應(yīng)該是緊貼學(xué)生最近發(fā)展區(qū)、激發(fā)學(xué)生興趣的；應(yīng)該是引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突、驅(qū)動學(xué)生思考的；應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的.本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容為分式方程，難點(diǎn)是分式方程增根的意義、產(chǎn)生增根的原因和根的檢驗.課堂上，通過學(xué)生自主解方程一部分學(xué)生解得x=1，另一部分學(xué)生由“分母不能為0“得到”方程無解”的結(jié)論，進(jìn)而產(chǎn)生問題：你們認(rèn)為哪個正確？為什么會產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象呢？應(yīng)如何檢驗增根？這些問題都是學(xué)生自主探究中產(chǎn)生的，緊貼學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，由此產(chǎn)生認(rèn)知矛盾與沖突，從而驅(qū)動學(xué)生探究與思考的欲望.

另外，一節(jié)課的問題不是唯一的，而是該由核心問題與輔助問題組成問題組.核心問題是一節(jié)課的重點(diǎn)，輔助問題是為解決核心問題、達(dá)成教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的.這樣的問題組才算作是好問題.本節(jié)課中“分式方程的增根”是核心問題，在學(xué)生探究中產(chǎn)生，而教師追問的問題，諸如“有沒有不同解法”“你們認(rèn)為哪個正確呢”“為什么會產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象呢”“應(yīng)如何檢驗增根”“有沒有需要完善的地方”等，都由核心問題分解出來，并且服從、服務(wù)于核心問題.

（2）好的數(shù)學(xué)問題從哪里來？

課堂上，好的數(shù)學(xué)問題源自三個方面.一是教師設(shè)置問題，以引導(dǎo)學(xué)生探究.如本節(jié)課開始時的“高鐵行程”問題就是由教師設(shè)置并拋出的問題.二是活動中生成新問題，以引發(fā)學(xué)生再探究.如學(xué)生在解方程時出現(xiàn)使分母為0的未知數(shù)的值，進(jìn)而要尋找產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因.三是學(xué)習(xí)后留下懸念，給學(xué)生后續(xù)思考的空間與動力.如在分式方程概念和解法之后，面對分式方程學(xué)生會思考：這個方程如何解？

（3）如何以問題驅(qū)動學(xué)生認(rèn)知？

課堂中的問題有不同的類型、不同的層次，教學(xué)中要根據(jù)學(xué)情以不同的方式相機(jī)出現(xiàn)，以驅(qū)動學(xué)生知識自然生長.一是懸疑式，教師擇機(jī)提出綜合性或具有挑戰(zhàn)性的問題，通過引導(dǎo)性追問，將綜合性問題逐步分解，后退至學(xué)生認(rèn)知可及之處.如本節(jié)課伊始教師拋出現(xiàn)實問題，讓學(xué)生自主探究引出分式方程的問題；學(xué)生通過解方程出現(xiàn)不符合條件的解，進(jìn)而提出“為什么產(chǎn)生增根”的問題，都屬于懸疑式.二是遞進(jìn)式，教師課堂上圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行遞進(jìn)式追問，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解更加深刻、數(shù)學(xué)思維拾級而上.三是并列式，這類問題是生成的、靈動的、即時性的，學(xué)生通過自主探究和師生對話加深數(shù)學(xué)理解，本節(jié)課較多采用這種方式.教師以問題激發(fā)學(xué)生的興趣和對新知的渴求，以問題引導(dǎo)學(xué)生探究與思考，以問題引發(fā)師生對話交流、思維碰撞.學(xué)生主動利用已有知識經(jīng)驗尋找解決問題的突破口，從而體會分式方程的意義，體驗把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一重要的數(shù)學(xué)思想，理解增根的意義.

2.以教學(xué)價值引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)實施.

所謂教學(xué)價值，就是教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實施活動“要使知識恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，與人的生命、生活重新息息相關(guān)，使它呈現(xiàn)出生命態(tài)……激活、喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要、興趣、信心和提升他們主動探求的欲望及能力”“教育價值決定著教學(xué)方式，教育價值是教學(xué)設(shè)計的靈魂”.這里結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)談?wù)劇艾F(xiàn)實情境”、“數(shù)學(xué)概念”及“強(qiáng)化”的教學(xué)價值.

（1）關(guān)于“現(xiàn)實情境”的教學(xué)價值.

表1

北師大版八年級下冊“5.4分式方程”由3個現(xiàn)實問題列出3個方程，設(shè)問：所列方程有什么共同特點(diǎn)？進(jìn)而定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.蘇科版八年級下冊“10.5分式方程”由3個現(xiàn)實問題列出3個方程，設(shè)問：所列方程與一元一次方程有什么區(qū)別？進(jìn)而得到方程……分母中都含有未知數(shù)，像這樣的方程叫作分式方程.觀察方程8 x=5、1 2x-2 3 x-6浙教版七年級下冊“5.5分式方程”x=1、x+3 x+2= x=2，像這樣只含分式，或分式和整式，并且分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程. 2 3、x+1湘教版八年級上冊“1.5可化為一元一次方程的分式方程”與人教版類似.

從表中看出：幾種版本的教材都是由現(xiàn)實情境問題列出方程、分析方程特征、給出分式方程的概念.我們不妨站在學(xué)生的角度思考：面對實際問題，在列出方程后學(xué)生最關(guān)心什么？是答案等于多少、如何得到，而不關(guān)心這是什么方程.從教學(xué)實施看，學(xué)生列出方程后很快解出方程，而此時并沒有分式方程的概念，這足以證明筆者的猜想.那么，設(shè)計現(xiàn)實情境問題的意義何在呢？僅僅是為了讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活、分式方程是刻畫現(xiàn)實生活的模型嗎？

筆者認(rèn)為，現(xiàn)實情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該基于三方面：一是以熟悉的背景和問題激發(fā)學(xué)生對新知學(xué)習(xí)的渴求；二是圍繞教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突；三是引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.分式方程與整式方程相比較，除“分母含有未知數(shù)”的形式區(qū)別外，關(guān)鍵是“可能產(chǎn)生增根”，這是本節(jié)課需要突破的難點(diǎn)，也正是本節(jié)課的教學(xué)價值所在.因此，如果給出的現(xiàn)實問題既能列出分式方程，方程又能產(chǎn)生增根，這樣的現(xiàn)實情境才有價值，否則寧可不要.

（2）關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)價值.

李邦河院士說，數(shù)學(xué)根本上是玩概念的.為什么要建立數(shù)學(xué)概念？數(shù)學(xué)可以看成是由概念及其相互關(guān)系（如公理、定理、公式、法則等）組成的模式與結(jié)構(gòu).建立數(shù)學(xué)概念的意義在于建立新模型、表達(dá)新結(jié)構(gòu)、解決新問題，驅(qū)動數(shù)學(xué)向前發(fā)展，這是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)價值所在，也是學(xué)生概念學(xué)習(xí)的動力之源.學(xué)生只有感受到概念學(xué)習(xí)的必要性，才有進(jìn)一步探究的欲望和動力.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)價值應(yīng)體現(xiàn)在以下三個方面.

一是已有概念難以解決新問題，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突.如無理數(shù)概念教學(xué).學(xué)生已有“有理數(shù)”概念：把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫作有理數(shù)，有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).如圖1，將兩個邊長為1的小正方形沿一條對角線剪開拼成一個大正方形，設(shè)大正方形的邊長為a，那么a2=2，用有限逼近法說明a不能寫成（m、n是正整數(shù)）的形式，a是一個無限不循環(huán)小數(shù).顯然，a不是有理數(shù)，但邊長a又是實際存在的數(shù)，那么a是什么數(shù)呢？從而引發(fā)認(rèn)知沖突，為“無理數(shù)”概念建構(gòu)的必要性作好心理鋪墊.

圖1

二是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圓周角概念教學(xué).在學(xué)生已有圓心角概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何畫板軟件拖動圓心角∠AOB（如圖2-1，可設(shè)置成將圓心O分離得到可移動點(diǎn)P）的頂點(diǎn)P，分別在⊙O內(nèi)、⊙O外和⊙O上拖動，觀察∠APB的大小有沒有變化.通過操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)（如圖2-2）和⊙O外（如圖2-3）運(yùn)動時，∠APB的大小可以變化；當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上（如圖2-4）運(yùn)動時，∠APB的大小始終不變，這里的“變中不變”正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì).既然這個角有如此奇妙的特征，那么它是什么角呢？從而有必要研究這種角.

圖2

三是刻畫數(shù)學(xué)對象的基本特征，溝通數(shù)學(xué)對象間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)家庭中的每個成員都有自身的特點(diǎn)，成員之間又有密切的聯(lián)系，當(dāng)成員不斷擴(kuò)大時，如何描述這些成員的特點(diǎn)，并建立起成員間的聯(lián)系，使得它們相互間序列清晰、層次分明呢？這就有必要建立新的概念.如“四邊形”這個家庭中有“一般四邊形”和各種特殊四邊形，平行四邊形有區(qū)別于一般四邊形和其他特殊四邊形的特點(diǎn)，而平行四邊形又是溝通一般四邊形與其他特殊四邊形的橋梁，因此有必要對這個四邊形下定義：一般四邊形+兩組對邊分別平行=平行四邊形；平行四邊形+特定條件=其他特殊四邊形.通過這樣的方式，既明確了平行四邊形的特點(diǎn)，又明晰了平行四邊形與其他四邊形之間的關(guān)系.

回到本節(jié)課，教者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實問題分別用兩種方法列出方程，并讓學(xué)生自主解決問題，用已有知識解出x，然后分析方程特征，給出了分式方程的概念.但站在學(xué)生的角度想：沒有“分式方程”概念同樣能夠解決問題，此時既無認(rèn)知沖突，又無關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么建立“分式方程”概念有必要嗎？僅僅是為了學(xué)習(xí)概念嗎？

翻開所用教材發(fā)現(xiàn)，在完整解決現(xiàn)實問題后用文字描述：“以前學(xué)過的像一元一次方程、二元一次方程等這類分母中不含未知數(shù)的方程叫作整式方程，分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.”大多教材也都是沿著“概念—方法（判定、性質(zhì)、法則）—運(yùn)用”這樣的順序呈現(xiàn)的.我們知道，教材不可能承載太多，在“學(xué)生認(rèn)知”和“知識體系”兩方面難以兼顧時，教材會作出取舍.但課堂教學(xué)要考慮到概念的教學(xué)價值，教師要在充分尊重教材、利用教材的前提下，創(chuàng)造性地使用教材，將教材形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)形態(tài)，設(shè)計順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)活動，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，驅(qū)動學(xué)生主體認(rèn)知、主動學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)價值.

本節(jié)課的知識與能力目標(biāo)是“理解分式方程及增根的意義，會將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，知道解分式方程時產(chǎn)生增根的原因”，因此，本節(jié)課完全可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部引出問題.如直接解方程（3）其中方程（3）是一元一次方程，直接去分母；對于方程（4）和（5），學(xué)生同樣用去分母的方法，解方程（4）得x=1，此時分母為0，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探究產(chǎn)生這個現(xiàn)象的原因，繼而給出分式方程的定義.

翻閱滬科版教材，發(fā)現(xiàn)這個內(nèi)容只安排了1個課時.教者或許基于教學(xué)內(nèi)容與課堂結(jié)構(gòu)的完整性考慮用1節(jié)課研究分式方程的概念、探究增根現(xiàn)象及其原因并掌握檢驗方法，又要回到實際應(yīng)用問題，但這對學(xué)生來說可能勉為其難.要知道分式方程及增根問題是學(xué)生第一次接觸，而在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還出現(xiàn)更為復(fù)雜的分式方程，其解決思路、策略等完全依賴這個階段的學(xué)習(xí)，因此本內(nèi)容的學(xué)習(xí)要抓住重點(diǎn)內(nèi)容與核心問題，并保證足夠的時間.據(jù)筆者統(tǒng)計，這部分內(nèi)容，其中，魯教版安排了4課時，人教版、北師大版、蘇科版、青島版教材各安排了3個課時，浙教版、湘教版教材各安排了2個課時，這樣的安排更為妥切.

（3）關(guān)于“強(qiáng)化”的教學(xué)價值.

“強(qiáng)化”是一種常見的教學(xué)策略.本節(jié)課在揭示分式方程概念后，教者安排了分式方程概念的辨析環(huán)節(jié)，這個過程具有概念強(qiáng)化的功能.我們知道，形式化是數(shù)學(xué)的重要特征之一.教師既要讓學(xué)生真正理解產(chǎn)生增根的原因，也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行形式化的辨析：分母中含有未知數(shù)的方程就是分式方程，這個思維過程就有可能產(chǎn)生增根，就必須對解得的根進(jìn)行檢驗，即：分母中含有未知數(shù)→分式方程→增根→檢驗.因此解方程時必須先判斷是不是分式方程，進(jìn)而考慮要不要對根進(jìn)行檢驗.試想：將判斷“分式方程”環(huán)節(jié)去掉行不行？顯然不行.因為缺少了“判斷是否為分式方程，確定是否需要檢驗”這個環(huán)節(jié)，可能會增加學(xué)生的失誤.因此，適當(dāng)?shù)男问交嫖龅膹?qiáng)化過程不可或缺.

我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣一種課堂現(xiàn)象：有經(jīng)驗的教師在概念形成或定理（法則）語言表征后，讓全班學(xué)生齊讀一遍；學(xué)生回答問題后讓其他學(xué)生“再說一遍”；還有教師讓學(xué)生在教材重要的文字、圖形下劃線等，這些環(huán)節(jié)本質(zhì)上就是一種強(qiáng)化.當(dāng)然，“強(qiáng)化”的方法多樣，讓學(xué)生舉例是又一種方法.史寧中認(rèn)為：“對一個概念或者命題是否理解，就是舉例.能舉出適當(dāng)?shù)睦泳褪抢斫?，否則就是不理解.”他還舉了這樣一例子：4÷為什么等于12？即為什么等于4×3？這是一些數(shù)學(xué)教育專業(yè)博士生都難以回答的問題.事實上，從逆運(yùn)算上理解：被除數(shù)等于商乘以除數(shù)，問題就變成“兩邊同時乘以3，即得“？=4×3=12”.就分式方程概念而言，學(xué)生能夠運(yùn)用已有知識和經(jīng)驗，列舉出“屬于”和“不屬于”分式方程兩方面的例子，說明已經(jīng)真正掌握了分式方程概念.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋嫖?、多形式表征與轉(zhuǎn)換、復(fù)述齊讀、在教材關(guān)鍵文字下加下劃線等多種形式的強(qiáng)化工作，具有極其重要的教學(xué)價值.

三、寫在后面

教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，難以“魚和熊掌”兼而得之，不同的教學(xué)理解就會有不同的教學(xué)設(shè)計，但掌握并抓住核心問題、突出教學(xué)價值，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實施的必然選擇.這里的核心問題應(yīng)該能夠圍繞目標(biāo)、自然生成、激發(fā)興趣、引發(fā)思考、發(fā)展思維，而突出教學(xué)價值的引領(lǐng)作用是一切教學(xué)設(shè)計與教學(xué)活動的前提.

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