基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實踐與反思
——以課題“一次函數(shù)的概念”課堂教學(xué)為例

☉浙江寧波市海曙區(qū)段塘學(xué) 校章民

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實踐與反思
——以課題“一次函數(shù)的概念”課堂教學(xué)為例

☉浙江寧波市海曙區(qū)段塘學(xué) 校章民

史寧中教授指出學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要落在學(xué)科核心素養(yǎng)上，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)要把握知識本質(zhì)、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境.核心素養(yǎng)下的教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度挖掘材料，從數(shù)學(xué)“四基”的角度分析材料，從數(shù)學(xué)“四能”的角度理清思路，從數(shù)學(xué)思想的角度設(shè)計教學(xué).但在現(xiàn)實教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落實狀況不太樂觀，因為考試的高壓使得教學(xué)的絕大多數(shù)時間都花在應(yīng)試上，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)注極少.因此，對于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師要加以重視，選取合適的教學(xué)案例，采用“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式，在日常教學(xué)中逐步培養(yǎng).下面就以課例“一次函數(shù)的概念”學(xué)習(xí)來簡要闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，望能與廣大同仁一起探討，共同提高.

一、一次函數(shù)的概念學(xué)習(xí)過程及分析

函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的常用模型，其中最為簡單的是一次函數(shù)，也是函數(shù)內(nèi)容的起始章節(jié).本節(jié)課是新浙教版八年級上冊第五章第三課時，它是在認(rèn)識了常量與變量、函數(shù)的概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行授課的.它既是前面知識的深化和應(yīng)用，又為今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)（反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)）概念提供了學(xué)習(xí)思路和方法.

1.創(chuàng)設(shè)問題情境.

情境1：杭州到長春空中距離約2100千米，飛機(jī)的平均航速為1000千米/小時，老師坐飛機(jī)從杭州去長春，飛機(jī)離長春的距離為y千米，飛行x小時后，y（千米）與x（小時）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

情境2：水池中有水300m3，每小時放水15m3，放水x小時后，水池中還有水ym3，則y（m3）與x（h）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

情境3：汽車加油前，油箱里已經(jīng)沒油了.已知給汽車加油的加油槍流量為25升/分.在加油的過程中，油箱里的油量Q（升）與加油時間t（分）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

情境4：已知長方形的面積為20（cm2），長方形的長為m（cm），寬為n（cm），則長方形的長m與長方形的寬n有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

【設(shè)計分析】函數(shù)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象.一次函數(shù)的概念課是通過列舉實際問題，讓學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，用模型思想貫穿整個教學(xué)的過程.本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)豐富的實際情境，激起學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在情境中不知不覺體會函數(shù)存在于現(xiàn)實生活中.四個情境內(nèi)容多樣，有一次函數(shù)模型，也有的不是一次函數(shù)模型，啟發(fā)學(xué)生抽象出函數(shù)模型，為給一次函數(shù)下定義作好準(zhǔn)備.

2.你能對以上四個函數(shù)分分類嗎？

【設(shè)計分析】通過實際問題讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題，通過分類比較，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納出第一類函數(shù)的共同特征，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實際問題，也就是用函數(shù)來解析實際問題.在這一環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生從函數(shù)形式上分出兩類函數(shù)（一次函數(shù)和反比例函數(shù)）.比較這兩類函數(shù)，有利于學(xué)生對函數(shù)右邊是整式的認(rèn)識；有利于對一次函數(shù)自變量為1次的特征歸納；有利于學(xué)生掌握比例系數(shù)k≠0的要求及它的合理性.

3.概括一次函數(shù)的定義.

歸納第一類函數(shù)的共同特征：（1）自變量的次數(shù)為1；（2）函數(shù)右邊是整式.

上述函數(shù)關(guān)系式都是用自變量的一次整式表示的，所以定義如下：形如y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），我們稱它們?yōu)橐淮魏瘮?shù).當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y＝kx（常數(shù)k≠0）也叫作正比例函數(shù).正比例函數(shù)也是一次函數(shù)，它是一次函數(shù)的特例.

【設(shè)計分析】讓學(xué)生在體驗實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型——函數(shù)，從中概括一次函數(shù)所具有的特征，給出一次函數(shù)的定義.這一過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

4.概念再認(rèn)識（一次函數(shù)在生活中的意義）.

從以上三個實際問題情境中，我們可以得到三個公式：

情境1：新的距離=固定距離+均勻變化部分.

情境2：新的水量=固定水量+均勻變化部分.

情境3：新的油量=固定油量+均勻變化部分.

通過比較分析，我們可以用一個水池和一個公式來表達(dá)一次函數(shù)在生活中的意義：

“新的總量”=固定部分+均勻變化部分.

圖1

【設(shè)計分析】具有一次函數(shù)形式的三個實際問題可以統(tǒng)一理解為一個水池放水（或進(jìn)水）問題.我們在數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的過程中可以借助一個水池，直觀、形象地幫助學(xué)生建立一次函數(shù)模型，讓學(xué)生更簡便地理解一次函數(shù)與實際問題之間的密切關(guān)系；也能讓學(xué)生理解兩個常數(shù)所具有的實際意義，從而總結(jié)出一次函數(shù)的現(xiàn)實意義是“新的總量=固定部分+均勻變化部分”.

5.活動鞏固.

活動一：每位同學(xué)寫一個一次函數(shù)表達(dá)式，請你的同桌指出其中k、b的值.

活動二：寫出下列兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷是否是一次函數(shù).

（1）倉庫內(nèi)原有粉筆400盒，如果每個星期領(lǐng)出36盒，求倉庫內(nèi)余下的粉筆盒數(shù)Q與星期數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）空調(diào)廠的裝配車間原計劃用2個月時間（每月以30天算），每天組裝150臺空調(diào)完成任務(wù).問：每天組裝的臺數(shù)m（臺／天）與組裝的時間t（天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

拓展練習(xí)：己知y＝（k-2）x|k|-1＋2k-3是關(guān)于x的一次函數(shù)，求這個函數(shù)的表達(dá)式.

【設(shè)計分析】學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模有初步認(rèn)識后，通過基礎(chǔ)訓(xùn)練環(huán)節(jié)對一次函數(shù)的概念加以鞏固，對一次函數(shù)的表達(dá)式加深認(rèn)識.同時對一次函數(shù)中的兩個常數(shù)的現(xiàn)實意義進(jìn)行再認(rèn)識，也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).此外，讓學(xué)生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程，發(fā)展了學(xué)生的推理能力和語言表達(dá)能力.

活動三：你能賦予一次函數(shù)y=10x+150一個實際背景嗎？

【設(shè)計分析】給出一個一次函數(shù)模型，讓學(xué)生賦予其實際背景.它的實際背景不止一種，讓學(xué)生感受到同一個函數(shù)模型可以有豐富的實際背景.這是一種逆向思維的訓(xùn)練，對學(xué)生的模型思想提出了更高的要求，也能進(jìn)一步讓學(xué)生體會和感受數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想在實際情境中的運用價值.

6.課堂小結(jié).

本節(jié)課我們對一次函數(shù)有哪些認(rèn)識？初步感受了哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)？你對本節(jié)課還有什么疑惑？

【設(shè)計分析】在課堂小結(jié)中，讓學(xué)生回顧學(xué)到了什么知識，初步感受了什么數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要進(jìn)一步提升.又用一個水池和一個公式對一次函數(shù)進(jìn)行了現(xiàn)實意義上的理解，更直觀、形象地認(rèn)識了一次函數(shù).

二、在課堂教學(xué)中提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考

1.充分理解知識的整體性.

學(xué)生從知識的深度和廣度來整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能比較清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的網(wǎng)狀化和系統(tǒng)化.這是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，也是提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件.初中階段的函數(shù)內(nèi)容主要研究函數(shù)概念、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等.新浙教版初中數(shù)學(xué)教材八年級上冊第五章中，函數(shù)的概念是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，一次函數(shù)是最簡單的線性函數(shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的研究思路、研究方法對其他函數(shù)的研究具有方法論意義.在教學(xué)中，教師要適時啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生掌握研究一次函數(shù)的過程和方法，使他們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念的過程中逐漸了解一次函數(shù)與生活實際間的聯(lián)系，并通過一次函數(shù)在生活中的意義（一個水池和一個公式）再一次理解一次函數(shù)，相關(guān)知識連接成線，并為學(xué)習(xí)二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等奠定基礎(chǔ)，使知識鋪成面，形成體，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供基礎(chǔ)條件.

2.充分把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性.

知道數(shù)學(xué)基本事實（定理、法則等）不等于理解；會背概念不等于理解；會做題不等于理解.所以說學(xué)習(xí)不僅要掌握知識結(jié)果，更重要的是把握好學(xué)習(xí)的過程性，因為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有漸進(jìn)性.我們既要注重數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，又要關(guān)注學(xué)生的思維活動過程.根據(jù)這個原則，在本課題學(xué)習(xí)過程中，先呈現(xiàn)幾個實際問題情境，通過數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模得出幾個函數(shù)關(guān)系式，再對不同的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分類、比較，逐漸歸納出一次函數(shù)形式的基本特征，最后概括形成一次函數(shù)的概念.此教學(xué)過程是以生活實例為情境，重視數(shù)學(xué)概念的概括過程，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，而且關(guān)注了學(xué)生的思維過程.在掌握了一次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等新技能，感悟了研究問題的基本思想和基本方法.

3.充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的思想性.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不僅讓學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識，更重要的是讓學(xué)生在掌握知識的過程中提升能力、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在函數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)思想，主要有數(shù)學(xué)抽象思想、數(shù)學(xué)推理思想和數(shù)學(xué)建模思想，以及由這三個基本思想派生出來的中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想、方程思想等.通過實際問題情境的創(chuàng)設(shè)，數(shù)學(xué)問題的抽象，形式的分類比較，一次函數(shù)形式特征的發(fā)現(xiàn)過程、一次函數(shù)概念的形成過程等，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在數(shù)學(xué)思想的滲透中，教師還要掌握滲透數(shù)學(xué)思想的方法，教師通過有意滲透、啟發(fā)引導(dǎo)、直接追問的形式，讓學(xué)生有所體會、漸漸感悟、清晰表達(dá)，最終讓學(xué)生主動運用數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，逐漸掌握數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.充分提高“用數(shù)學(xué)”的自覺性.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的基本途徑是“用數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價值突出體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)”解決實際問題上.在本節(jié)課中，教師在啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生充分理解一次函數(shù)的實際背景，圍繞一次函數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)、歸納、解釋、運用這一主線合理展開教學(xué)，積極引導(dǎo)學(xué)生對實際問題中的有關(guān)現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理簡化和量化，建立一次函數(shù)模型.在問題情境的引入、數(shù)學(xué)抽象、函數(shù)建模等過程中給學(xué)生提供充分交流的機(jī)會，使學(xué)生逐漸學(xué)會清晰、準(zhǔn)確、有邏輯地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考，逐漸提高理解、內(nèi)化他人思想的能力.同時培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式來交流的能力，處理問題時能自覺引進(jìn)符號或表達(dá)式表述問題的關(guān)鍵事項，能夠用適當(dāng)?shù)牧炕P(guān)系來表示各事項之間的關(guān)系，提高“用數(shù)學(xué)”的自覺性.

1.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

2.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）：自然界中的數(shù)學(xué)模型［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2012.

3.王冰.教材分析——從宏觀到微觀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

4.王冰.提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本策略［J］.大連教育學(xué)院學(xué)報，2016，32（1）.