在疑問中思考 在思考中探究

梁萬里 徐高蓉

【摘要】把一個圓剪拼成和它面積相等的近似長方形，這是通過“化圓為方”思想解決圓的面積問題.僅用“尺規(guī)作圖”不能把一個圓化成與它面積相等的正方形.如果不僅僅限于“尺規(guī)作圖”，要把一個圓剪拼成和它面積相等的近似正方形，是可以完成的.

【關(guān)鍵詞】化圓為方;剪拼;滾動;尺規(guī)作圖

【基金項(xiàng)目】本文系2017年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《小學(xué)高段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)研究》（課題立項(xiàng)號：GS[2017]GHB0780）的研究成果之一，（本文作者為該課題的負(fù)責(zé)人）

亞里士多德曾說：“思維自疑問和驚奇開始.”在課堂教學(xué)中，常常有許多學(xué)生隨機(jī)生成的問題引發(fā)我們的疑問和思考.

在一次“圓柱的體積”教學(xué)研討課上，授課教師給同學(xué)們提出了一個問題：“同學(xué)們，上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了圓的面積，大家回憶一下，圓可以剪拼成哪些和它面積相等的圖形？”同學(xué)們踴躍發(fā)言，有的說，“圓可以剪拼成和它面積相等的平行四邊形”，有的說，“圓可以剪拼成和它面積相等的長方形”，還有一個同學(xué)說，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”.老師聽完同學(xué)們的發(fā)言后，說大家回答得都很好，接著就進(jìn)入了下一個教學(xué)環(huán)節(jié).聽到最后這名同學(xué)的發(fā)言，作為聽課老師的我當(dāng)時一頭霧水，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形嗎？”是授課老師當(dāng)時沒聽清楚，還是老師不懂?dāng)?shù)學(xué)史知識？對于這么好的課堂隨機(jī)生成的資源，老師為什么不進(jìn)一步追問和評判呢？為了搞清楚這個問題，在課后我問那位授課教師，學(xué)生說“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”，你為什么不進(jìn)一步追問怎么剪呢？怎么不評價呢？她說當(dāng)時為了趕課，也沒細(xì)想，圓是否能剪拼成和它面積相等的正方形，她也不清楚.我又好奇地去問那名學(xué)生，你在課堂上說，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”，圓怎么剪成和它面積相等的正方形呢？你是怎么剪的.我原以為他有辦法，結(jié)果在我的一再追問下，他面露為難情緒，說是他隨口說的，他根本不知道怎么剪.可見，在課堂上有時候?qū)W生為了表現(xiàn)自己，為了配合老師的教學(xué)，活躍課堂氣氛，隨口說出的一句話，引起了我深深地思考.圓到底能否剪拼成和它面積相等的正方形呢？作為老師，我們有必要認(rèn)真分析研究一下.

首先我們要知道數(shù)學(xué)史上的一個歷史事實(shí)，只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)作圖，“化圓為方”是不能完成的，即把一個圓做成與它面積相等的正方形，僅用直尺和圓規(guī)作圖是不能夠完成的.這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上三個不能用尺規(guī)作圖完的著名問題之一，即“化圓為方”問題.另外兩個不能用尺規(guī)作圖的問題是“三等分角”問題和“倍立方”問題.“化圓為方”這個著名的數(shù)學(xué)問題，早在2400年前的古希臘人就已經(jīng)提出來了，在隨后的幾千年中，無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者苦苦探索，希望能用尺規(guī)作圖把一個圓做成和它面積相等的正方形，有的還給出了具體的作圖方法，但到最后都被數(shù)學(xué)家證明是錯誤的.數(shù)學(xué)家苦苦探索了幾千年，直到1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”才被證明為尺規(guī)作圖不能完成的問題.

在人民教育出版社編著的新人教版（2013）小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，在六年級上冊第五單元講“圓的面積”這一課時，老師讓學(xué)生用剪拼法把圓剪成面積相等的小扇形并拼成一個和它面積相等的近似平行四邊形，隨著剪的扇形的份數(shù)越來越多，拼成的圖形越來越近似于一個長方形.（如圖1）這個長方形的長近似于圓的周長的一半，等于πr，寬近似于圓的半徑，等于r.因?yàn)殚L方形的面積等于長×寬，所以圓的面積等于πr×r=πr2.這就是小學(xué)教材所謂的“化圓為方”，讓學(xué)生通過動手操作活動，用剪拼這個方法把圓這個曲邊圖形轉(zhuǎn)化成直邊圖形，借助圖形直觀，用轉(zhuǎn)化方法解決了圓的面積問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想和極限思想.而這個“化圓為方”與數(shù)學(xué)史上的“化圓為方”絕不是同一個概念.

如果按課堂上那名同學(xué)的想法我們進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，假設(shè)一個圓能剪拼成一個和它面積相等的正方形，那么就會有πr=r，移項(xiàng)得（π-1）r=0，根據(jù)兩個因數(shù)乘積為0，必有一個因數(shù)為0，要么r=0;要么r≠0，π=1，無論哪種情形都是錯誤的.可見，根據(jù)六年級學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，說把一個圓剪拼成一個和它面積相等的正方形是沒有經(jīng)過思考隨口說出的，是經(jīng)不起追問和推理的.

那么，如果要把一個圓剪拼成和它面積相等的正方形，就沒有辦法了嗎？作為老師，我們要認(rèn)真研究思考并回答這個問題，把在課堂上出現(xiàn)的疑問認(rèn)認(rèn)真真解決好，這樣既能進(jìn)一步提升教師的專業(yè)素養(yǎng)，又能不斷豐富厚實(shí)我們的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化知識.我仔細(xì)查閱有關(guān)資料，經(jīng)過深入學(xué)習(xí)研究思考后，發(fā)現(xiàn)辦法確實(shí)是有的，而且很多，下面我僅提供三種方法供大家思考.

方法一：割補(bǔ)法（如圖2）

這種方法就是在圓的內(nèi)接正方形和圓的外切正方形的中間找一個正方形，逐漸調(diào)整正方形的大小，使它的面積與圓的面積相等.

因?yàn)槲覀冎?，一個圓的面積總比它的內(nèi)接正方形的面積大，總比它的外切正方形的面積小，所以對于圓這種曲邊圖形來說，和這個圓面積相等的正方形只有在圓的內(nèi)接正方形和外切正方形中間找，這是一種最容易想到的最直接的方法.我們不斷調(diào)整正方形的大小，使得圓多出正方形的每一個小弓形的面積恰好等于正方形每一個角多出圓的面積.這樣，把每一個小弓形剪下來割補(bǔ)到正方形每一個角，使得它們的面積恰好相等，這樣圓的面積就等于正方形的面積，我們就完成了把一個圓剪拼成和它面積相等的正方形.

這種方法和中國古代的“出入相補(bǔ)”一樣，經(jīng)過分割和移補(bǔ)，把圖形多出的面積正好移到需要補(bǔ)的地方，使得多出的面積與補(bǔ)的部分的面積相等，雖然圖形的形狀發(fā)生改變但是面積保持不變.這個方法有一個缺點(diǎn)，要想使得圖中正方形多出的每一個弓形的面積恰好等于正方形里面每一個角多出圓的面積，只能通過不斷剪拼與調(diào)整，需要重復(fù)操作好多次才能完成，并且有一定的誤差.

方法二：剪拼法+尺規(guī)作圖法（如圖3、4）

這種方法就是按照小學(xué)課本上的方法，先把一個圓剪成很小的扇形，再把這些小扇形拼成一個近似長方形，再用尺規(guī)作圖把這個長方形做成和它面積相等的近似正方形.

具體做法如下：

1.作線段AD等于長方形的長（πr）;

2.延長AD至E，使DE等于長方形的寬（r）;

3.以AE為直徑作圓;

4.過點(diǎn)D作AE的垂線段交圓于點(diǎn)H，連接AH，EH;

5.以DH為邊作正方形DHGF.

則正方形DHGF為所作的與原來的圓面積相等的近似正方形.

為什么正方形DHGF的面積與原來的圓面積相等呢？其實(shí)道理很簡單，只要學(xué)過初中的數(shù)學(xué)知識就能聽懂.因?yàn)橐訟E為直徑作圓，DH垂直于AE，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，所以三角形AHE為直角三角形.根據(jù)射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=πr×r=πr2.以DH為邊作正方形DHGF，說明以DH為邊作的正方形DHGF的面積（DH2）就等于πr2，所以，正方形DHGF的面積與原來的圓面積相等.不過，這個面積相等也是一種近似的相等，因?yàn)樵陂_始把圓剪拼成長方形時存在一定的誤差，盡管后面的尺規(guī)作圖是嚴(yán)格的幾何作圖，但仍然是一種近似的面積相等.

方法三：滾動法+尺規(guī)作圖法（如圖5、6）

這種方法就是先滾動直徑為1個單位的圓一圈，做出π，再用尺規(guī)作圖法做出正方形.

具體做法如下：

1.作線段AD等于圓滾動一周的長（π）;

2.延長AD至E，使DE等于1[]4個單位長;

3.以AE為直徑作圓;

4.過點(diǎn)D作AE的垂線段交圓于點(diǎn)H，連接AH，EH;

5.以DH為邊作正方形DHGF.

則正方形DHGF為所作的與原來的圓面積相等的近似正方形.

道理與方法二相近.因?yàn)橐訟E為直徑作圓，DH垂直于AE，所以三角形AHE為直角三角形.根據(jù)射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=π×1[]4=1[]4π.以DH為邊作正方形DHGF，說明以DH為邊作的正方形DHGF的面積（DH2）就等于1[]4π，而直徑為1個單位的圓的面積就是1[]4π，所以，正方形DHGF的面積與原來的圓面積相等.這個面積相等也是一種近似的相等，因?yàn)樵陂_始把圓滾動時作π存在一定的誤差，盡管后面的尺規(guī)作圖也是嚴(yán)格的幾何作圖，但仍然是一種近似的面積相等.

以上三種作圖方法，都可以把一個圓做成和它面積相等的近似正方形，都已經(jīng)超越了尺規(guī)作圖的限制，達(dá)到了“化圓為方”的目的.并且后兩種幾何作圖應(yīng)用了初中的“射影定理”，超出了小學(xué)生的認(rèn)知水平.

把一個圓做成和它面積相等的正方形，是數(shù)學(xué)史上的著名問題，僅僅使用直尺（沒刻度）和圓規(guī)是不能完成的.因?yàn)閳A周率π是一個無理數(shù)，算出圓面積后進(jìn)行算術(shù)平方根運(yùn)算，最后得到的正方形的邊長仍然是無理數(shù).因?yàn)闊o理數(shù)不可能用尺規(guī)精確做出它在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)的，這就是為什么一個圓不能用直尺和圓規(guī)做成和它面積相等的正方形的原因.

數(shù)學(xué)課是最能培養(yǎng)學(xué)生思維能力的課，在數(shù)學(xué)課上出現(xiàn)的與預(yù)設(shè)不同的隨機(jī)生成的問題是一種很好的教學(xué)資源，老師要善于捕捉這種資源并利用它為我們的教學(xué)服務(wù).作為老師一定要養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣，在學(xué)生有疑問的地方多一些思考，在思考時多一些探究.要挖掘每節(jié)課的廣度和深度，既要關(guān)注備課的預(yù)設(shè)，又要考慮課堂上隨機(jī)生成的問題，要能在學(xué)生的問題中深挖數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，透過問題把我們的課堂教學(xué)進(jìn)一步引向深入.在課堂上要加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練，有效滲透數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化知識.只有這樣，我們的課堂教學(xué)才能不斷促進(jìn)學(xué)生深度思考，學(xué)生的思維品質(zhì)才能不斷提升，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能真正在課堂落地生根.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京： 高等教育出版社，2000.

[2]董毅.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012.