“三角形”典型中考題剖析

萬廣磊

“三角形”典型中考題剖析

萬廣磊

“三角形”是多邊形中最基本的圖形，其中重要的知識包括三角形的內(nèi)角和定理、三邊不等關(guān)系、“五線”（高線、中線、角平分線、垂直平分線和中位線）的性質(zhì)、全等與相似的性質(zhì)與判定、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定等，內(nèi)容豐富，題型新穎，解法靈活，一直是中考命題的核心內(nèi)容.

一、三角形的內(nèi)角和定理

例1（2016·鄂州）如圖1所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（）.

圖1

A.50°B.40°C.45°D.25°

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)及垂直、三角形內(nèi)角和定理.因?yàn)镋F⊥BD，∠1=50°，所以在△DEF中，∠D=90°-50°=40°，又因?yàn)锳B∥CD，所以∠2=∠D=40°，故選B.

【評析】解決本類問題常用的方法是利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”轉(zhuǎn)移角度.

二、三角形的三邊關(guān)系

例2（2016·南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）.

A.3，4，4B.3，4，5

C.3，4，6D.3，4，7

【解析】本題考查了三角形三邊不等關(guān)系與勾股定理.運(yùn)用三角形三邊不等關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判定各選項(xiàng)的三邊是否可以組成三角形.首先排除選項(xiàng)D，因?yàn)?+4=7，不能構(gòu)成三角形；然后再用勾股定理判斷，因?yàn)?和4的平方和等于5的平方，這是直角三角形，排除B選項(xiàng)；再觀察A選項(xiàng)，最長邊為4，小于5，肯定是銳角三角形；而選項(xiàng)C中，最長邊為6，大于5，一定是鈍角三角形，故選C.

【評析】對于三角形的形狀判定，除了用三角形中最大角的判定方法外，還可結(jié)合勾股定理判定：銳角三角形的兩條較短邊的平方和大于最長邊的平方，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，鈍角三角形的兩條較短邊的平方和小于最長邊的平方.

三、三角形的“四線”

例3（2016·恩施）如圖2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為19cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為（）.

A.3cmB.6cm

C.12cmD.16cm

圖2

【解析】本題考查線段垂直平分線的定義及性質(zhì).由DE是AC的垂直平分線，得AE=CE，AD=CD.因?yàn)椤鰽BD的周長=AB+BD+AD=AB+ BD+CD=AB+BC=13cm，△ABC的周長=AB+ BC+AC=19cm，所以AC=6cm，則AE=AC=×6=3cm，故選A.

【評析】線段的垂直平分線可以讓等長線段通過旋轉(zhuǎn)移動位置，而求與線段的垂直平分線有關(guān)的三角形的周長、線段的長時，常常會用到轉(zhuǎn)化和整體思想.

例4（2016·南充）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長為（）.

圖3

A.1B.2C.3D.1+3

【解析】本題考查了三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì).因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C= 90°，A=30°，所以AB=2BC=2.而點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，△ACB的中位線DE=AB=1.故選A.

【評析】由三角形的中點(diǎn)條件計(jì)算線段的長，可以考慮三角形的中位線定理.遇有銳角為30°的直角三角形要考慮30度角所對的直角邊等于斜邊的一半.

四、折疊三角形

例5（2016·南充）如圖4，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平，再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上G點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，展平紙片后∠DAG的大小為（）.

圖4

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì).如圖5，由題意可得∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，則NG=AM=AN，得∠2=∠4，由EF∥AB，所以∠4=∠3，則∠1=∠2=∠3=×90°=30°，所以∠DAG=60°.故選C.

【評析】矩形的翻折通常和等腰三角形、等邊三角形相關(guān)，除了運(yùn)用全等三角形的知識，還要用到直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換.

五、等腰三角形

例6（2016·濱州）如圖6，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD= BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（）.

圖6

A.50°B.51°

C.51.5°D.52.5°

【解析】本題考查等腰三角形的兩個底角相等和三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用.先根據(jù)AC=CD，得∠ADC=∠A=50°，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，從而求出∠B=∠ADC-∠BCD= 25°；由BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，最后根據(jù)∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，得∠CDE=180°-∠ADC-∠BDE=52.5°.

【評析】等腰三角形的“等邊對等角”的性質(zhì)用來推導(dǎo)出兩角相等，然后再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算相關(guān)角度．

六、直角三角形

例7（2016·東營）在△ABC中，AB=10，AC=2 10，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）.

A.10B.8C.6或10D.8或10

【解析】本題考查勾股定理和分類討論思想.如圖7所示，

在Rt△ABD中，

在Rt△ACD中，

所以BC=BD+CD=8+2=10.

如圖8所示，同理求出BD=8，CD=2，所以BC=BD-CD=8-2=6.故選C.

圖8

圖7

【評析】解答本題要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形.易出現(xiàn)漏解的錯誤：只考慮高在三角形內(nèi)部的情況，忽視高在外部的情況.

例8（2016·武漢）如圖9，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA= 5 5，則BD的長為．

圖9

【解析】本題考查了勾股定理及其逆定理的運(yùn)用、相似三角形的構(gòu)造及其性質(zhì).

連接AC，過D作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E.

【評析】解答本題的關(guān)鍵是先要根據(jù)題中的已知線段的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)Rt△ACD，得到AC⊥CD，再利用一線三等角模型構(gòu)造相似三角形，從而將BD放到一個直角三角形中，最后利用勾股定理求解即可．

七、全等三角形

例9（2016·金華）如圖11，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是（）.

圖11

A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA

C.∠C=∠DD.BC=AD

【解析】本題考查三角形全等的判定方法.題目中已給出一組角相等，圖形中有一條公共邊，即已有一邊及一角對應(yīng)相等，再需要一邊或一角相等即可.A選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成SSA，不能確定兩個三角形全等；B選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成ASA，能確定兩個三角形全等；C選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成AAS，能確定兩個三角形全等；D選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成SAS，能確定兩個三角形全等.故選A．

【評析】本題容易出錯的地方是誤以為有兩邊一角分別相等的兩個三角形全等而錯選．

例10（2016·常德）如圖12，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OB于點(diǎn)C，且PC=3，點(diǎn)P到OA的距離為.

圖12

【解析】本題考查了角平分線的性質(zhì).如圖13，直接過P作PD⊥OA于D，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”可得PD=PC，從而得解.故答案為3.

圖13

【評析】求角平分線上的點(diǎn)到角的一邊的距離，一般情況是過該點(diǎn)作這條邊的垂線段，利用角平分線性質(zhì)求解.

例11（2016·泰州）如圖14，在△ABC中，AB=AC，E在BA的延長線上，AD平分∠CAE.

（1）求證：AD∥BC；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，若AF=4，求BC的長.

圖14

【評析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證得△GAF∽△GBC.問題（1）是個基本問題：等腰三角形頂角的外角的角平分線平行于底邊，比較容易解決.問題（2）中，根據(jù)∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易發(fā)現(xiàn)△AFC≌△AFG，得CF=FG=CG，再利用問題（1）所證“AD∥BC”得△GAF∽△GBC，問題得解.

揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）