融合數(shù)學(xué)之本，運(yùn)籌帷幄之中

融合數(shù)學(xué)之本，運(yùn)籌帷幄之中

徐菊萍

“三角形”是初中數(shù)學(xué)“空間與圖形”中最基本也是最核心的內(nèi)容.知識(shí)點(diǎn)非常多，考查形式也多樣化，既可獨(dú)立成題，又常融入四邊形、圓、函數(shù)等知識(shí)，以綜合題的形式出現(xiàn).要對(duì)三角形的知識(shí)融會(huì)貫通，我們可以從以下五個(gè)方面來(lái)串聯(lián).

一、三角形內(nèi)部的知識(shí)

例1（2016·黃石）如圖1所示，線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)D，∠A=50°，則∠BDC=（）.

圖1

A.50°B.100°C.120°D.130°

【解析】已知線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)D，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AD=DC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠DCA= 50°，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDC=∠A+∠DCA=100°，故答案選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì).不少同學(xué)通過(guò)內(nèi)角和先求∠ADC=80°，再用鄰補(bǔ)角求∠BDC，雖然也能求出答案，但不是捷徑，要尋求最佳途徑，需熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.

例2（2016·廣州）如圖2，已知△ABC，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分線(xiàn)，DE交AB于D，連接CD，CD=（）.

圖2

A.3B.4C.4.8D.5

【解析】已知AB=10，AC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理的逆定理可判定△ABC為直角三角形，又因DE為AC邊的中垂線(xiàn)，可得DE⊥AC，AE= CE=4，所以DE為△ABC的中位線(xiàn)，即可得DE為BC的一半，值為3，再根據(jù)勾股定理求出CD=5，故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理及其逆定理、中位線(xiàn)定理、中垂線(xiàn)的性質(zhì).要熟練掌握三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中位線(xiàn)、中垂線(xiàn)的重要性質(zhì)，尤其要注意與中點(diǎn)有關(guān)的幾條線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系.

變式：（2016·達(dá)州）如圖3，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若AB=10，BC=16，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為（）.

圖3

A.2B.3C.4D.5

【解析】已知AF⊥BF，AB=10，D為AB中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)是斜邊的一半，可得DF=12AB=AD=BD=5，且∠ABF=∠BFD，又因BF平分∠ABC，可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，可判定△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例或者中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得DE=8，所以EF=DE-DF=8-5=3，答案選B.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)中點(diǎn)出現(xiàn)在直角三角形斜邊上時(shí)，就要聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合相似得到三角形中位線(xiàn)，很好地將三角形的重要線(xiàn)段整合在一起.

二、幾類(lèi)特殊三角形的知識(shí)

例3（2016·鄂州）如圖4，AB=6，O是AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠1=120°，P是直線(xiàn)l上一點(diǎn).當(dāng)△APB為直角三角形時(shí)，AP=.

圖4

【解析】直角三角形是有一個(gè)角為直角的三角形，當(dāng)△APB為直角三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)所在的角都有可能為直角，確定P點(diǎn)在直線(xiàn)l上的位置是解決本題的關(guān)鍵.

要使△APB為直角三角形，我們就聯(lián)想到以AB為直徑的外接圓，但AB也有可能為直角邊，所以要分類(lèi)討論.我們將滿(mǎn)足條件的P逐一畫(huà)在圖上.如圖5，P1，P2在以O(shè)為圓心的外接圓上，P3，P4在⊙O的切線(xiàn)上，再根據(jù)題目的已知條件逐一解答即可.故本題分以下3類(lèi)情況討論：

圖5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了外接圓、切線(xiàn)、直角三角形的判定、勾股定理、三角函數(shù)、分類(lèi)討論思想.本題難度雖然不大，但容易遺漏，要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.四種情況中，有兩種情況的結(jié)果相同.

例4（2016·懷化）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，則它的周長(zhǎng)為（）.

A.16cmB.17cm

C.20cmD.16cm或20cm

【解析】等腰三角形是有兩條邊相等的三角形，相等的兩邊可以是4cm或是8cm，故需要分類(lèi)討論.分腰長(zhǎng)為4cm或腰長(zhǎng)為8cm兩種情況：當(dāng)腰長(zhǎng)是4cm時(shí)，則三角形的三邊是4cm，4cm，8cm，因?yàn)?cm+4cm=8cm不滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系，所以此種情況應(yīng)舍去；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，三角形的周長(zhǎng)是20cm.故答案選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題容易出錯(cuò)的地方在于，一是忘了分類(lèi)討論，漏掉情況；二是分類(lèi)討論后忘了用隱含的三角形三邊關(guān)系來(lái)驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形.熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

三、兩個(gè)三角形的關(guān)系

例5（2016·永州）如圖6，點(diǎn)D，E分別在線(xiàn)段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）.

圖6

A.∠B=∠CB.AD=AE

C.BD=CED.BE=CD

【解析】已知AB=AC，∠A為公共角，選項(xiàng)A，添加∠B=∠C，根據(jù)“ASA”即可證明△ABE≌△ACD；選項(xiàng)B，添加AD=AE，根據(jù)“SAS”即可證明△ABE≌△ACD；選項(xiàng)C，添加BD=CE，由等量關(guān)系可得AD=AE，根據(jù)“SAS”即可證明△ABE≌△ACD；選項(xiàng)D，添加BE=CD，因?yàn)椤癝SA”不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件，故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】全等三角形的判定方法中，尤其要小心兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，如那對(duì)角不是夾角，是不能證明兩個(gè)三角形全等的.但是特別的，在直角三角形中，兩邊一角中的那對(duì)相等的角可以不是夾角，此時(shí)用直角三角形特有的“HL“可以證明兩個(gè)三角形全等，需要我們好好辨析.

例6（2016·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）如圖7，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，下列說(shuō)法中不正確的是（）.

圖7

【解析】已知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)定理得到DE∥BC，DE=，再根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得，所以△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)可得以A，B，C正確，D錯(cuò)誤，故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】相似三角形的判定及性質(zhì)靈活運(yùn)用，尤其要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比、周長(zhǎng)比都等于相似比，而面積比是相似比的平方，本題選項(xiàng)D就是錯(cuò)在面積比還是等于相似比.

四、兩個(gè)三角形的運(yùn)動(dòng)變換

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種運(yùn)動(dòng)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，即運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)圖形全等，因此我們把這三種變換稱(chēng)為全等變換.全等變換的圖形，變換前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等.我們還要掌握平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的特征，諸如平移的方向、距離，旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)角等，熟悉概念和對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

例7（2016·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）如圖8所示，將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B，A，C′在同一條直線(xiàn)上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）.角就是旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)角是∠CAC′=180°-30°=150°，故答案選D.

圖8

【點(diǎn)評(píng)】本題要分清邊角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并理解旋轉(zhuǎn)角的概念，切勿將∠CAB′看成旋轉(zhuǎn)角.

我們不難發(fā)現(xiàn)，在各地中考中，“三角形”是必考內(nèi)容，難度系數(shù)有大有小，覆蓋面也非常廣，既注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，又有基本思想的滲透、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的感悟，體現(xiàn)對(duì)大家動(dòng)手能力、空間想象能力、創(chuàng)新意識(shí)的考查，因此，我們既要融會(huì)貫通地將這部分專(zhuān)題中的知識(shí)點(diǎn)整合在一起，由面到線(xiàn)再到點(diǎn)逐步細(xì)化、豐富，并能用好幾何語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言三種語(yǔ)言，學(xué)會(huì)以基本思想為引領(lǐng)，靈活運(yùn)用本專(zhuān)題相關(guān)知識(shí)、技能，更有效地解決相關(guān)問(wèn)題.在復(fù)習(xí)備考中，我們要觀(guān)察更仔細(xì)，下筆多分析、多創(chuàng)新，不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能游刃有余地迎戰(zhàn)中考.

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，兩對(duì)應(yīng)邊的夾