《一元二次方程》錯題歸因分析及有效策略

王起堯

【摘 要】數(shù)學(xué)解題貫穿于整個教學(xué)過程，公式的推導(dǎo)、定理的證明以及問題的解答，都與數(shù)學(xué)解題密不可分。面對學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的各類錯誤，教師及時分析錯誤原因，采取有效的教學(xué)策略，提高學(xué)生解題能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；錯題分析；解題能力

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)解題貫穿于整個教學(xué)過程，公式的推導(dǎo)、定理的證明以及問題的解答，都與數(shù)學(xué)解題密不可分。然而，由于教學(xué)內(nèi)容的多樣性，學(xué)生學(xué)習(xí)能力存在著差異性，在數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)各類錯誤。筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)例，通過學(xué)生在《一元二次方程》學(xué)習(xí)過程中，常出現(xiàn)的解題錯誤展開分析，及時采取有效的教學(xué)策略：

一、學(xué)生基本概念理解不到位

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的一種思維形式，是運(yùn)算、推理、證明的重要依據(jù)。在教學(xué)中，教師通過一系列設(shè)問、引導(dǎo)，概括出一元二次方程概念的本質(zhì)。然而，部分學(xué)生在實(shí)際解題中仍會出現(xiàn)不同程度的錯誤。

案例1：判斷下列方程哪些是一元二次方程：

①x2=5； ②2x2-y+5=0；

③ax2+bx+c=0； ④

典型錯誤：學(xué)生在解題中普遍認(rèn)識到第②與第③選項(xiàng)存在明顯錯誤，不會選②與③。部分學(xué)生錯選第④選項(xiàng)。

分析：選④，究其主要原因，是學(xué)生沒有完全弄清一元二次方程的前提條件必須是整式方程，而第④選項(xiàng)是分式方程，它不是一元二次方程。

對策：在教學(xué)一元二次方程概念時，務(wù)必對學(xué)生強(qiáng)調(diào)一元二次方程必須同時具備三個條件：①一元二次方程是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為2。以上三個條件缺一不可。

案例2：不解方程，判斷方程4x2-3x+1=2根的情況。

典型錯誤：∵a=4，b=-3，c=1，

∴b2-4ac=（-3）2-4×4×1=9-16=-7<0，

∴原方程沒有實(shí)數(shù)根。

分析：部分學(xué)生沒有弄清一元二次方程4x2-3x+1=2根的判別式b2-4ac 中的a、b、c分別表示的含義，就把c用1代入計(jì)算，因而導(dǎo)致解題錯誤。

對策：在教學(xué)一元二次方程根的判別式時，先從概念層次復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式，然后列舉實(shí)例，要求學(xué)生化成一元二次方程的一般形式，并分別指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，最后給學(xué)生一一分析實(shí)例中根的判別式b2-4ac 中的a、b、c的含義。加深了學(xué)生印象，也避免學(xué)生今后犯類似錯誤。

正確掌握數(shù)學(xué)概念及其理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是學(xué)生糾錯的必要前提。在教學(xué)中，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解存在失誤，通常表現(xiàn)為理解不透或死記硬背，面對較難題目不懂得靈活變通。因此教師從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，在講解數(shù)學(xué)概念時，積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生找“關(guān)鍵詞”，從具體到抽象，層層遞進(jìn)，加深數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的理解，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣一來，學(xué)生就能正確、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念了。

二、學(xué)生解題思路考慮不全面

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！痹诮虒W(xué)中，教師有目的地引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致閱讀數(shù)學(xué)題目，學(xué)會提取題目中的有效信息，剖析題目中各種隱含的條件，在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將所學(xué)的公式、定理與教學(xué)情境有機(jī)重組，從而形成正確的解題思路。

案例3：已知關(guān)于x的方程（m-1）x2+x+3=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

典型錯誤：∵方程有實(shí)數(shù)根；

∴b2-4ac=-4（m-1）×3≥0，解得m≤；

∵m-1≠0，解得m≠1；

∴m的取值范圍是m≤且m≠1。

分析：從學(xué)生答題情況看，學(xué)生解題思路較全面，懂得用根的判別式去求m的取值范圍，同時也考慮到x 的二次項(xiàng)系數(shù)m-1≠0。但學(xué)生審題時已出現(xiàn)明顯偏差：第一，題中沒有明確表示該方程是一元二次方程，因此它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程。而學(xué)生解題思路是從一元二次方程的角度來求解；該方程如果不是一元二次方程，即m-1=0時就變成一元一次方程，也是可行的。第二，學(xué)生忽略了題目中的一個隱含條件：二次根式的被開方數(shù)2m必須大于或等于0，而學(xué)生沒有考慮到2m≥0，因此解題時對m的限制不全面。

對策：教學(xué)中，在學(xué)生深入理解一元二次方程根的判別式概念的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)注重解題思路的引導(dǎo)，針對判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，以精選的例題、習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生不同角度思考問題，感受新知是舊知的自然延伸，從而建立合理的邏輯過程，提升學(xué)生對一元二次方程的解題能力。

實(shí)踐證明，掌握正確的數(shù)學(xué)解題思路，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果事半功倍。教師重視數(shù)學(xué)教學(xué)中分析問題和解決問題時思維過程的層層揭示，學(xué)生通過自主探究，逐步學(xué)會把數(shù)學(xué)概念、定理內(nèi)化成自身獨(dú)特的知識建構(gòu)與感悟，形成一定的解題能力，做到舉一反三。

三、學(xué)生知識遷移能力不夠

“生活中處處有數(shù)學(xué)”。一元二次方程的應(yīng)用是我們解決實(shí)際問題的一種有效途徑，教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)情，積極創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，將題目中隱含著的數(shù)量關(guān)系抽象成一元二次方程，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識遷移能力。

案例4：在某次同學(xué)聚會上，每兩人握一次手，所有人共握手15次，問：有多少人參加這次聚會？

典型錯誤：設(shè)有x個人參加聚會，列出方程：x（x-1）=15。

分析：“握手問題”是應(yīng)用題中常見的一種題型。學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程概念、解法等基礎(chǔ)知識，但如何將這些知識充分應(yīng)用到實(shí)際問題中，有的學(xué)生無從下手，不能根據(jù)題意確定等量關(guān)系后列出正確的一元二次方程。

對策：“握手問題”貼近學(xué)生生活，教師分析其解題思路時，先請兩位同學(xué)上臺互相握手演示，大家很容易就領(lǐng)悟到甲與乙握手是相互的，甲與乙握手的同時，乙與甲也握手了，兩人相互握手算一次。接著教師請3位、4位、5位同學(xué)上臺演示，這樣學(xué)生就對重復(fù)握手有了更為直觀的認(rèn)識。然后教師通過問題教學(xué)法不斷打開學(xué)生的解題思路：①先假設(shè)這次聚會有x個人，那么甲與其他人握了幾次手？學(xué)生很快得出結(jié)論：（x-1）次；②每個人都握了（x-1）次，則x個人總共握手多少次？學(xué)生思考后得出結(jié)論： x（x-1）次；③甲與乙握手的同時，乙與甲握手了嗎？通過上述三個問題的層層引入，學(xué)生完全理解題意。最后找出已知量、未知量，確定等量關(guān)系，列出方程：x（x-1）=15。在學(xué)生充分理解“握手問題”實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師將“握手問題”加以變式，例如：足球循環(huán)賽、互送禮物、多邊形對角線等問題的設(shè)置，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)知識遷移能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識遷移能力，有針對性地選擇趣味性與實(shí)用性較強(qiáng)的例題與習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，親身體驗(yàn)運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的樂趣。與此同時，教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)：抽象出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系——列一元二次方程——解方程——驗(yàn)證，及時捕捉學(xué)生解題中常常出現(xiàn)的錯題，引領(lǐng)學(xué)生不斷地在糾錯、改錯過程中多角度類比、演變、重組，建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性。

總而言之，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題錯誤是一種正常現(xiàn)象，也是一種珍貴的教學(xué)資源。教師在教學(xué)中重視學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試多角度、有效地解決錯題，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

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