以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題賞析

周玉梅

在2017年的高考考綱中，明確增加了數(shù)學(xué)文化的要求，數(shù)學(xué)文化作為考綱新出現(xiàn)的內(nèi)容，應(yīng)引起重視.數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育中起著重要作用.以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題，在近幾年的高考試題中已多次出現(xiàn)，本文就以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題作一賞析.

一、以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)名著為背景的試題

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)名著是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)名著作為試題情境材料，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家探究、解決數(shù)學(xué)問題的過程，可以進(jìn)一步弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增加學(xué)生的愛國主義情感.

例1（2015年全國卷Ⅰ文）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

解析設(shè)米堆的底面半徑為r，則8=14·2πr，

因?yàn)棣?3，所以r=163，

則V米堆=14·13πr2h=3209（立方尺），

所以3209×1.62≈22（斛）.

二、以中外數(shù)學(xué)名題為背景的試題

數(shù)學(xué)歷史名題或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或與深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，或者深刻揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想，或者與經(jīng)典的解法相互關(guān)聯(lián)，以中外數(shù)學(xué)名題為背景命題，也是以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題的一大特色.

例2（2009年湖北理）已知數(shù)列{an}滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=an2，當(dāng)an為偶數(shù)時，3an+1，當(dāng)an為奇數(shù)時. 若a6=1，則m所有可能的取值為.

解析（本題源于角谷猜想：德國數(shù)學(xué)家克拉茨提出的：任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即n2）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.）

（1）若a1=m為偶數(shù)，則a12為偶，故a2=m2，a3=a22=m4.

①當(dāng)m4仍為偶數(shù)時，a4=m8，…，a6=m32，故m32=1m=32；

②當(dāng)m4為奇數(shù)時，a4=3a3+1=34m+1，…，a6=34m+14.

故34m+14=1得m=4.

（2）若a1=m為奇數(shù)，則a2=3a1+1=3m+1為偶數(shù)，故a3=3m+12必為偶數(shù)

…a6=3m+116，所以3m+116=1，可得m=5.

故填4，5，32.

例3（2014年湖北文）已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對圓O上那個任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則

（1）b=；（2）λ=.

解析（本題源于阿波羅圓，它的定義為：動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之比為定值λ（λ為正數(shù)），則動點(diǎn)P的軌跡是阿波羅圓.）

設(shè)圓上任一點(diǎn)（x，y），則x2+y2=1，又|MB|=λ|MA|，

所以有（x-b）2+y2=λ（x+2）2+y2，

消去y，整理得-2bx+b2+1=4λ2x+5λ2，

所以-2b=4λ2，b2+1=5λ2， 解之得b=-12，（2）λ=12.

三、以數(shù)學(xué)美為背景的試題

德國數(shù)學(xué)家克萊茵說“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌可以扣人心弦，科學(xué)可以改善物質(zhì)生活，數(shù)學(xué)則可以提供以上的一切.”以上是人們對數(shù)學(xué)認(rèn)識的最高境界，也是真正進(jìn)入數(shù)學(xué)王國的人們的真實(shí)感受.數(shù)學(xué)是一門優(yōu)美的科學(xué)，從形式到內(nèi)容，從理論到實(shí)踐，都體現(xiàn)著美的特征，展現(xiàn)著美的特征.數(shù)學(xué)具有形態(tài)美，和諧、整潔、對稱、有序；具有思維美，思路清晰、構(gòu)思巧妙、多向傳導(dǎo)；作用美，數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作；歷史美，每一個公式、定理，每一種重要的方法，都隱藏著一個美好的歷史故事.

例4（2014年福建理）如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為.

解析（本題反映了數(shù)學(xué)圖形的美妙對稱性，在這種對稱美的感化下，使得思維簡化，從結(jié)構(gòu)美最終促成了思維美.）由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對稱性，可知圖中兩塊陰影部分的面積相等，

又S=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）|10=2，

所以，落到陰影部分的概率為P=2e2.