關于提升復變函數與積分變換課堂教學質量的幾點思考

【摘要】針對復變函數與積分變換課程教學的現狀和存在的問題，結合近三年學生對本人的復變函數與積分變換課堂教學質量的評教結果，本文對“實現知識間有機銜接，能夠將新知識、新成果引入課堂”“注重理論在實踐中的應用”等五項內容進行了逐項分析，提出了“加強與高等數學的銜接性”“添加一些具體應用實例”和“在課堂上增加新知識、新成果等方面”的具體改進措施；通過分析和反思目前教學中存在的問題，提出了本人在提高課堂教學質量方面的一些認識與思考，給出了有效提升課堂教學質量的幾點建議.

【關鍵詞】復變函數與積分變換；課堂教學改革；傅里葉變換；輻角

一、引言

復變函數與積分變換在信號與系統(tǒng)、電路分析基礎、自動控制原理等專業(yè)課中有著廣泛的應用，是我校電子信息工程和自動化等專業(yè)的重要基礎課.通過學習本課程，可以使學生掌握復變函數與積分變換的基本理論和方法，為學習相關專業(yè)課程及實際應用提供必要的數學基礎，因此，做好本門課的教學工作十分重要.結合學生對本人近三年的復變函數與積分變換課程教學的評教結果，本文分析了復變函數與積分變換課程教學的現狀和存在的問題，總結了幾點提高課堂教學質量的經驗和體會，希望能對提高復變函數與積分變換課程的教學效果提供一些有益借鑒.

二、復變函數與積分變換的課堂教學現狀及改進措施

課堂教學質量評估依據既定的教育目的，系統(tǒng)地搜集課堂教學過程的信息，并對信息進行科學分析，從而對教育者本職工作做出有效判定.課堂教學質量評估可以對教師的教學態(tài)度、教學質量、工作能力、業(yè)務水平等進行科學有效地鑒定，更能夠有效剖析教師課堂教學的情況與優(yōu)缺點，讓教師基于課堂現狀，發(fā)揮優(yōu)點，避免缺點，進而形成特色.

我們學校每學期末讓學生評價教師的教學效果，評教指標有10項：1.“課程內容熟練，基本理論知識講解正確無誤”，權重為0.15；2.“實現知識間有機銜接，能夠將新知識、新成果引入課堂”，權重0.15；3.“注重理論在實踐中的應用”，權重0.10；4.內容充實，信息量適當，權重0.10；5.“思路清晰，邏輯性強”，權重0.05；6.“以不同方式充分調動學生學習自主性，教與學互動性強”，權重0.05；7.“語言簡練、生動，感染力強”，權重0.05；8.“針對教學內容，合理運用教學方法與手段，且效果好”，權重0.10；9.“注重上下課禮儀，課堂秩序良好，對課堂紀律進行適當管理，且有效”，權重0.10；10.“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”，權重0.15.

近三年本人每年都講復變函數與積分變換，根據學校教務系統(tǒng)的統(tǒng)計結果，2012-2013年第一學期，參評學生人數：284，有效參評學生人數：256，對教師總評價分為93.406；2013-2014年第一學期，參評學生人數：519，有效參評學生人數：467，對教師總評價分為94.63；2014-2015年第二學期，參評學生人數：86，有效參評學生人數：78，對教師總評價分為94.833.

下圖給出了近三年復變函數與積分變換課程學生對本人的每個單項評教結果.

從近三年的教學總評價結果可以看出，學生對教師的教學評價分值逐年提高，這與教師平時注意進行教學反思，根據經驗調整教學內容、加強課堂秩序和紀律管理密不可分.說明了教師的教學改革和實踐得到了學生的肯定和認可.

從上面的評教結果也可以看出，學生滿意度較低的前四項為：2.“實現知識間有機銜接，能夠將新知識、新成果引入課堂”；3.“注重理論在實踐中的應用”；4.“內容充實，信息量適當”；10.“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”.下面分別對這四項進行分析，給出改進措施.另外，盡管學生對課堂秩序和紀律管理表示肯定（見第9項評教結果），但本人認為還有提升空間，也將對之進行分析，討論改進措施.

（一）“實現知識間有機銜接，能夠將新知識、新成果引入課堂”

復變函數與積分變換是一門承上啟下的課程，它是高等數學的后繼課程，是高等數學的繼續(xù)和發(fā)展.同時，復變函數與積分變換在信號與系統(tǒng)等后續(xù)課程中有著非常廣泛的應用.因此，在本門課的教學中我們盡量做到知識間的有機銜接[1].

復變函數與高等數學的聯系主要有兩方面：（1）由于復變函數是高等數學在復數域中的推廣，因而，在內容上有很多相似之處，比如，復變函數中極限、連續(xù)、導數、積分、級數等概念是高等數學中相應內容的推廣.它們之間有聯系也有區(qū)別，必須讓學生弄清這種聯系和區(qū)別.比如，在講授復變函數中的指數函數、對數函數和三角函數等初等函數時，通過與高等數學中的初等函數對比，讓學生了解它們的相同性質及深刻的差異.（2）復變函數中經常用到高等數學的知識和內容，學生對高等數學知識的掌握程度直接影響著其對復變函數的學習，比如，復變函數連續(xù)和可導都可以轉化為對兩個二元實變函數連續(xù)和可導的判定.因此，有必要要求學生將高等數學教材作為學習復變函數的重要參考書，隨時查閱對比.

復變函數與積分變換和后續(xù)課程的銜接也比較緊密，因此，講解積分變換部分時對后續(xù)課程要用到的內容詳細闡述.比如，部分分式法在積分變換書中內容很少，只有一個簡單例子，但它是信號與系統(tǒng)、電路分析基礎等專業(yè)課中求解拉普拉斯逆變換的重要方法.因此，為了方便學生后面的學習，我們對部分分式法進行了詳細講解.此外，雖然在積分變換教材中初值定理與終值定理是選講內容，但由于它們在自動控制原理里面有重要應用，我們也講了這兩個定理.

復變函數與積分變換教學內容多，而課時少，因此，對新知識、新成果的介紹要精煉.為此，教師平時要多了解新知識和新成果，注重這方面的知識積累.比如，講傅里葉變換時可以簡單說明傅里葉變換在分析處理信號時有一定的局限性，它只能給出信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻并無所知，因此，兩個時域相差很大的信號，可能頻譜圖一樣.而后來發(fā)展起來的小波變換在一定程度上克服了傅里葉變換的這一弱點.為使學生有直觀認識及節(jié)省時間，輔以實例圖片說明.

（二）“注重理論在實踐中的應用”

按照目前的課程大綱和教材內容安排，在教學過程中，本人對復變函數與積分變換的應用主要是詳細講解了用拉普拉斯變換求解常微分方程初（邊）值問題和積分方程.講解復球面時，通過觀看《維度：數學漫步（Dimensions：a walk through mathematics）》視頻，讓學生了解地圖繪制術之父托勒密利用球極投影繪制地圖的方法及方法的兩個主要特點—保角性和保圓性[2].

在今后的教學過程中將增加一些應用實例.例如，在講復數的輻角時，可以用照相機的例子來說明，通過對比普通相機和數碼相機照出的照片可以發(fā)現，數碼照相機照出的照片更有立體感，原因在于普通相機只反映出復數的模（距離），而數碼相機除了模之外，還反映出每個點的輻角（位置），因此，也就有了立體感.在講柯西積分公式的性質時，讓學生思考“如何測量地心溫度”.啟發(fā)學生可以通過測得地球表面各點的溫度，結合柯西積分公式，推導出地心溫度.可以用工程實例推導傅里葉級數.在工程中經常會用到的一些方波、三角波、鋸齒波等信號，這些信號波沒有精確的數學模型，怎么表示這些信號呢？眾所周知，正弦波是一種規(guī)則信號，有精確的數學模型.因此，通過用Matlab仿真說明方波、三角波、鋸齒波等可以由正弦波合成，進而說明所有工程中的周期函數都可以由一系列三角函數的線性組合來逼近，這就是傅里葉級數[3].

（三）“內容充實，信息量適當”

學生普遍反映復變函數部分定理多，需要理解的概念和定義多，內容枯燥.積分變換部分內容多是變換和推導公式，抽象難懂[4].近幾年的教學中，我們對教學內容逐步進行適當調整，主要是淡化理論推導，根據學生的實際水平和學時，適當刪減理論性較強而專業(yè)實用性較弱的內容和方法雷同的煩瑣定理證明，只保留體現數學思想方法的核心定理的證明.用寶貴的課時講好重要內容，使學生真正消化重點內容和體會研究問題的思想方法.比如，映射是為第六章共形映射做準備的，而我們的教學大綱中不包含共形映射，故略去了映射的概念.類似的，狄拉克函數的一些復雜的性質、復變函數在無窮遠點的性態(tài)、留數在定積分計算上的應用均略去不講.對于原函數存在定理，由于與高等數學中內容相近，故只強調結論成立的條件，略去證明的講解.由于洛朗展開定理的證明和泰勒展開定理的證明類似，故只做簡單介紹.由于復變函數冪級數的阿貝爾定理和收斂半徑求法和高等數學中的內容類似，故只做簡單介紹，不給詳細證明.

在今后的教學中我們將沿著淡化理論推導、重視實際應用的思路，繼續(xù)調整教學內容，達到既方便學生學習又完成既定教學任務的目標.

（四）“合理布置作業(yè)，批改及時；有固定答疑時間，能夠做到有問必答”

為了方便學生學習復變函數與積分變換，2007年倪培溉教授編寫了《復變函數與積分變換練習冊》.由于教學內容變更和習題冊上部分題目難度較大，在2013年7月本人和倪培溉教授向校教材科申請了教材編寫計劃，重新編寫習題冊.增加重點、難點的內容練習，刪減一些不重要的、和高等數學重復的內容.新修改的習題冊于2014年1月投入使用，學生普遍反映良好.學生的作業(yè)一直按習題冊的題目布置，習題冊上的每次作業(yè)對應一節(jié)課，每節(jié)課結束本人都給學生布置作業(yè)，因此，能做到作業(yè)布置合理.

主要問題是“有固定答疑時間，能夠做到有問必答”.由于復變函數與積分變換課程內容多，而課時有限，因此，習題課上只能選擇重點、難點題目和學生普遍存疑的題目進行講解，每道題目都詳細講解時間不允許.而班級的人數較多，課堂上很難做到對每名學生的學習困難點進行有針對性的指導.盡管每學期都和學生約定固定答疑時間（絕大多數學生沒有課的時間段）和地點，并鼓勵學生利用課間和課后答疑，但是很少有學生來問題.

為了方便答疑，本學期本人讓每個班的班長都建了一個答疑微信群，學生復習功課和做作業(yè)過程中可以利用微信隨時提出問題.學生有問題一般會拍照片傳到群里，本人寫好答案傳回群里，答案不容易解釋清楚時，會錄個帶有聲音的視頻傳到群里.遇到本人在上課或在開會不能及時回復的情況，其他同學會幫忙回復.經過一個學期的實踐，發(fā)現效果很好，可以做到一舉三得，一方面，學生有問題能夠得到及時答復；另一方面，避免了重復問同一個問題，學生在問問題之前一般會先翻看其他學生問過的問題；再有就是群里的其他同學也能看到問題的提出與解答過程，對其有檢驗和啟示作用.

（五）“課堂秩序良好，對課堂紀律進行適當管理，且有效”

由于學生人數較多和課時有限，很難對課堂上的每一名學生進行逐一管理，存在學生缺課和遲到的現象.近三年本人對學生進行嚴格考勤，通過考勤和交作業(yè)情況確定學生是否有資格參加期末考試，基本上每個班都有2～3名學生由于作業(yè)和出勤不到總次數的三分之一而被取消參加期末考試的資格.有資格參加考試的學生會比較珍惜機會，好好準備考試.從本人的經驗來看，嚴格管理非但不會影響學生評教的分數，反而分數在不斷提高.這說明學生更希望教師對其學習進行督促.從近三年期末考試學生的及格率可以看出，本人的課堂管理是有效的，2012—2013年第一學期期末考試及格率為62.1%，2013—2014年第一學期期末考試及格率為63.5%，2014—2015年第二學期期末考試及格率為72.1%.

智能手機和互聯網的快速發(fā)展給課堂管理帶來新的難題.很多學生在課堂上玩手機，不認真聽課.有的學生甚至上課時只帶手機，不帶教材.教師只在課堂上泛泛地提醒收效不大.本人準備在今后上課時推行“無手機課堂”：上課前先讓班長或學習委員把手機收起來.

三、關于加強課堂管理的幾點建議

根據本人近幾年的教學經驗，對加強復變函數與積分變換課程課堂管理提出幾點建議，希望能受到有關部門的關注，進而提出有效的改進措施.

1.建議復變函數與積分變換課程安排在大二第一學期.目前復變函數與積分變換課程安排在大二的不同學期，一部分學生是大二第一學期上，另一部分學生是大二第二學期上.根據我們的教學經驗應該安排在大二第一學期，理由有二：（1）復變函數是高等數學的后繼課程，是復數域上的高等數學，很多的基本概念和定理都與高等數學類似，比如，極限、導數、級數，有一些復變函數的定理要用到高等數學中的結論，比如，復變函數可導的充要條件和復數項級數收斂的充要條件都要利用實變函數的結論給出來，大一第二學期剛學完高等數學，在大二第一學期接著學復變函數，學生在學習新知識時，復習了舊知識，能起到溫故而知新的效果；（2）積分變換是通信與自動化專業(yè)基礎課信號與系統(tǒng)的基礎，信號與系統(tǒng)課中要用到傅里葉變換和拉普拉斯變換的很多知識.信號與系統(tǒng)安排在大二第二學期，因此，復變函數與積分變換應該安排在大二第一學期.

2.建議后續(xù)課程教師和復變函數與積分變換的教師在一起做教學研討，討論積分變換部分應該怎么講.原因有二：（1）數學教師在講積分變換課程時不知道后續(xù)的課程到底要用到哪些內容，哪些知識在后續(xù)課程里有重要應用，以及怎么用的問題；（2）數學教師在講傅里葉變換和拉普拉斯變換的應用時只講了在微（積）分方程中的應用，不了解實際應用，希望專業(yè)課教師能在這方面給予一些簡單的應用實例.

3.建議減少學生重修次數.目前我們學校的學生可以反復重修同一門課，導致一部分學生不重視重修的機會.很多重修的學生不去上課，不交作業(yè)，大約有三分之一的人甚至不去參加考試，這樣導致了教學資源的極大浪費.建議減少學生重修次數，每門課程只給兩到三次重修機會.

4.建議取消教室的WIFI.教室的WIFI對學生學習起到的正面作用有限，而副作用極大.有了WIFI，學生更方便上課看手機.很多學生上課時間用手機看視頻、玩游戲，不學習現象更加嚴重.為此，教師對學生要反復強調不要看手機，甚至要班長把一個班學生的手機收集到一起.

【參考文獻】

[1]李景和.復變函數與積分變換課程的教學改革與實踐[J].教學研究，2013（4）：92-95.

[2]董巧麗.CDIO模式下復變函數與積分變換課程教學改革的探討[J].數學學習與研究，2015（7）：13-14.

[3]肖亞峰，侯強，楊明.復變函數與積分變換課堂教學方法改革研究[J].中北大學學報（社會科學版），2007（23）：160-162.

[4]裴定東，郭玉琴.關于復變函數與積分變換課堂教學的思考[J].高等數學研究，2009（4）：93-95.