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    高考數(shù)學(xué)填空題的解題策略

    2017-04-18 18:35張志達(dá)
    關(guān)鍵詞:偶函數(shù)填空題題意

    張志達(dá)

    填空題是高考數(shù)學(xué)試題中的一類重要題型,主要考查學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和基本運(yùn)算能力.從填寫內(nèi)容上,主要有兩類:一是定量型,要求填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系;二是定性型,要求填寫具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì).解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算和合乎邏輯的推理、計(jì)算.本文就高考數(shù)學(xué)填空題的常用解題策略做一例釋.

    一、直接求解法

    直接從題設(shè)條件出發(fā),運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則等知識(shí),通過(guò)推理運(yùn)算,得出結(jié)論的方法叫直接法.它是解填空題的最基本、最常用的方法.

    例1(2016新課標(biāo)Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tanθ-π4=.

    解析由題意sinθ+π4=sinθ-π4+π2=cosθ-π4=35,

    因?yàn)?kπ+3π2<θ<2kπ+2π(k∈Z),

    所以2kπ+5π4<θ-π4<2kπ+7π4(k∈Z),

    從而sinθ-π4=-45,因此,tanθ-π4=-43.

    故填-43.

    二、特值代入法

    當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量,但題目暗示答案可能是一個(gè)定值時(shí),可以將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置或者一種特殊情況來(lái)求出這個(gè)定值,這樣,可簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.

    例2(2014湖南)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=.

    解析由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù),

    所以f-13-f13=0,

    即ln(e-1+1)-a3-ln(e+1)-a3=0,

    lne-1-23a=0,解得a=-32.

    三、圖像法

    對(duì)一些含有幾何背景的填空題,若能數(shù)中思形,以形助數(shù),將問(wèn)(如,解方程、解不等式、求最值、求取值范圍)與某些圖形結(jié)合起來(lái),使代數(shù)問(wèn)題以幾何的形式直觀地呈現(xiàn)出來(lái),使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合,利用圖形進(jìn)行直觀分析,再輔以必要的計(jì)算,則可以簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,得出正確的結(jié)果.

    例3(2014新課標(biāo)Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍是.

    解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

    又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,

    則f(x)的大致圖像如圖所示,

    由 f(x-1)>0,得-2

    四、構(gòu)造法

    在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),可以通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論充分細(xì)致的分析,抓住問(wèn)題的特征,聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型,然后變換命題,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素,它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)方程、一個(gè)等價(jià)命題等,以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而使問(wèn)題得以解決,這種解題的數(shù)學(xué)方法,稱之為構(gòu)造法.

    例4不等式x2-3>ax-a對(duì)一切3≤x≤4恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

    解析由題意得,不等式a

    設(shè)f(x)=x2-3x-1,則f′(x)=x2-2x+3(x-1)2=(x-1)2+2(x-1)2>0,

    所以f(x)=x2-3x-1在[3,4]上是增函數(shù),故 f(x)的最小值為f(3)=3,

    所以a

    五、等價(jià)轉(zhuǎn)換法

    等價(jià)轉(zhuǎn)換是把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)范圍內(nèi)的問(wèn)題的一種重要的思想方法.通過(guò)不斷轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

    例5(2014重慶)函數(shù)f(x)=log2x·log2(2x)的最小值為.

    解析f(x)=log2x·log2(2x)=12log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x).

    設(shè)t=log2x,x∈R,則原函數(shù)可化為

    y=t(t+1)=t+122-14,

    因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小值為-14,故f(x)的最小值為-14.

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