運(yùn)用三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定定理快捷解決高考綜合題

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

運(yùn)用三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定定理快捷解決高考綜合題

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

設(shè)有三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4(b2-3ac).

①當(dāng)Δ≤0時(shí),若a>0,則f′(x)≥0;若a<0,則f′(x)≤0,所以f(x)在(-∞,+∞)是單調(diào)函數(shù).由圖象直觀可知函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn).

(其中Δ=4(b2-3ac),x1,x2是f′(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根)

本文以2014年，2015年高考的三道壓軸題為例，說(shuō)明定理在解題中的應(yīng)用.

例1 (2014年高考課標(biāo)2文科21壓軸題)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

(1)求a；

(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

解 (1)因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.所以f′(0)=1?a=1.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,“曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)” 等價(jià)于“ 函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2即g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4只有一個(gè)零點(diǎn)”.k<1,設(shè)1-k=3m，則m>0,只須證明“ 函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個(gè)零點(diǎn)”即可.g′(x)=3x2-6x+3m，Δ=36-4×3×3m=36(1-m).

當(dāng)m≥1時(shí)，Δ≤0，由“定理”知：函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)00，設(shè)g′(x)=3(x2-2x+m)=0的兩根為x1,x2則x1+x2=2,x1x2=m.因?yàn)間(x)=x3-3x2+3mx+4=(x-1)(x2-2x+m)+2(m-1)x+m+4，

g(x1)g(x2)=[2(m-1)x1+m+4][2(m-1)x2+m+4]

=4(m-1)2x1x2+2(m-1)(m+4)(x1+x2)+(m+4)2=4(m-1)2m+4(m-1)(m+4)+(m+4)2

=m(4m2-3m+24)>0.由“定理”知：函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上知當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

評(píng)注 本題難度很大，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；考查推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想.

在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用判定定理就參數(shù)的范圍分類討論，巧設(shè)參數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算，體現(xiàn)了明確的目標(biāo)意識(shí).

例2 (2014年高考北京卷文科壓軸題) 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值；

(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；

(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫(xiě)出結(jié)論)

(3)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切；過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切.

評(píng)注 能夠快速解答第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)的判定定理；第(3)問(wèn)運(yùn)用函數(shù)圖象的對(duì)稱性及(2)的結(jié)論得“過(guò)點(diǎn)A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”；畫(huà)草圖，利用直覺(jué)思維得“過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切”.

本題難度較大，主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值的方法；考查了運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

例3 (2015年高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)試討論f(x)的單調(diào)性；

思路 (1)可利用導(dǎo)數(shù)分類討論解決；

(2)可利用必要條件求出c的值再做充分性驗(yàn)證或利用充要條件解決.

利用導(dǎo)函數(shù)的圖象(如圖)可得：

a=0時(shí)，f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增；

評(píng)注 本解法根據(jù)題設(shè)，運(yùn)用“定理”，等價(jià)轉(zhuǎn)化，比較系數(shù)得答案.

可見(jiàn)，運(yùn)用“定理”解決有關(guān)問(wèn)題，能優(yōu)化解題過(guò)程，精簡(jiǎn)解題程序，提高解題效率！

設(shè)圓C半徑為R，則PT2=PC2-R2,∴PC2-R2=2MN2.

G632

B

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