用母函數(shù)法統(tǒng)一解決三類排列與組合問(wèn)題

關(guān)于三類排列與組合問(wèn)題在排列組合知識(shí)中已經(jīng)得到解決，但其方法都不相同，有的方法簡(jiǎn)單，有的方法復(fù)雜。如果用母函數(shù)概念，不僅可以統(tǒng)一三類排列與組合問(wèn)題，而且使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)單問(wèn)題一目了然。下面我們就用母函數(shù)方法，通過(guò)舉例解決三類排列與組合問(wèn)題。

一、用母函數(shù)法統(tǒng)一解決三類組合問(wèn)題

首先，什么是母函數(shù)？

形式冪級(jí)數(shù)A（x）=anxn叫數(shù)列{an}的普通母函數(shù)，簡(jiǎn)稱母函數(shù)。

其次，舉例用母函數(shù)法統(tǒng)一解決三類組合問(wèn)題。

例1 在四張不同的卡片中任取3張，問(wèn)有多少種不同的取法？

解：這是一個(gè)無(wú)重合組合問(wèn)題

設(shè)從中任取r個(gè)的不同取法有ak種

則{an}的母函數(shù)為（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=（1+x）4展式中 項(xiàng)x3的系數(shù)a3=C=4

所以有4種不同的取法

例2 在a，b，c，d，e五個(gè)字母中任取3個(gè)，允許重復(fù)，問(wèn)有多少種不同的取法？

解：這是一個(gè)無(wú)限重合組合問(wèn)題

設(shè)從中任取r個(gè)的不同取法有ak種

則{an}的母函數(shù)為（1+x+x2+x3）5，而

（1+x+x2+x3）5=（）5=（1+x2）5（1+x）5

=（1+Cx2+Cx4+Cx6+Cx8+Cx10）

（1+Cx1+Cx2+Cx3+Cx4+x5）

=1+5x+10x2+35x3+…

展式中項(xiàng)x3的系數(shù)a3=35

所以有35種不同的取法

例3 在口袋中放著12個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，6個(gè)黑球，從中任取8個(gè)球，問(wèn)有多少種不同的取法？

解：這是一個(gè)有限可重的組合問(wèn)題

設(shè)從中任取r個(gè)的不同取法有ak種

則{an}的母函數(shù)為

（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6）

直接計(jì)算得項(xiàng)x8的系數(shù)a8=3+4+3+2+1=13

所以 有13種不同的取法

二、用母函數(shù)法解決三類排列問(wèn)題

首先，什么是指母函數(shù)？

形式冪級(jí)數(shù)u（x）=ar叫數(shù)列{an}的數(shù)型母函數(shù)，簡(jiǎn)稱指母函數(shù)。

其次，舉例用母函數(shù)法統(tǒng)一解決三類排列問(wèn)題。

例4 用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解：這是一個(gè)無(wú)重排問(wèn)題

設(shè)有ar個(gè)三位數(shù)

則{an}的指母函數(shù)為u（x）=（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=P

展式中項(xiàng)的系數(shù)a3=4？鄢3？鄢2=24

所以，可以組成24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

例5 有n個(gè)正方形排成一行，今用紅、白、黑三種顏色給這n個(gè)正方形染色，每個(gè)正方形只染一種顏色。如果要求染白色的正方形必須是偶數(shù)個(gè)，問(wèn)有多少種不同的染法？

解：這是一個(gè)無(wú)限可重排問(wèn)題

設(shè)有ar種不同的染法

而在問(wèn)題中對(duì)紅、黑兩種沒(méi)有要求，只要求白色出現(xiàn)偶數(shù)次，則{an}的指母函數(shù)為：

u（x）=（1+x+++…++…）

？鄢（1+x+++…++…）

？鄢（1+++…++…）

又問(wèn)題是求n一無(wú)限可重排列的個(gè)數(shù)

u（x）=（1+x+++…++…）2

？鄢（1+++…++…）

=（3r+1）

所以ar=an=（3n+1），即有（3n+1）不同的染法。

例6 有五個(gè)數(shù)字，其中兩個(gè)1，兩個(gè)2，一個(gè)3，問(wèn)用這五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)四位數(shù)？

解：這是一個(gè)有限可重排問(wèn)題

設(shè)ar表示組成r位數(shù)的個(gè)數(shù)

則{an}的指母函數(shù)為

u（x）=（1+x+）（1+x+）（1+x）

=1+3x+8+18+30+30

所以a4=30，即有30個(gè)四位數(shù)

綜上所述，用母函數(shù)法確能統(tǒng)一解決三類排列與組合問(wèn)題，它是一種行之有效的簡(jiǎn)便方法，它能使讀者在學(xué)習(xí)時(shí)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，給其帶來(lái)莫大的方便，大家不妨試一試。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹汝成.《高等代數(shù)》 （組合數(shù)學(xué)）

作者簡(jiǎn)介：

高仕學(xué)（1956.08.30-），男，漢族，重慶人，理學(xué)士，教授，五次參與主持市級(jí)課題研究，主編數(shù)學(xué)教材，發(fā)表多篇教學(xué)論文。