一類廣告的隨機最優(yōu)控制模型的奇攝動解

王 攀，包立平

(杭州電子科技大學(xué)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一類廣告的隨機最優(yōu)控制模型的奇攝動解

王 攀，包立平

(杭州電子科技大學(xué)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

討論隨機情形下廣告投入的最優(yōu)控制問題，應(yīng)用最優(yōu)控制原理得到關(guān)于廣告投入的奇異攝動隨機最優(yōu)控制問題的HJB方程，利用奇攝動漸近展開的方法得到HJB方程的形式漸近解，并得到其一致有效估計.

廣告投入；最優(yōu)控制；奇攝動；形式漸近展開；一致有效估計

0 引 言

廣告的最優(yōu)投入問題由于其實際的意義而引起了人們的廣泛關(guān)注，得到了大量的研究.文獻[1-2]建立了關(guān)于廣告的控制模型，并應(yīng)用了最優(yōu)控制原理對模型進行求解，但較少考慮隨機因素對廣告投入的影響，僅建立了關(guān)于簡單隨機變量的數(shù)學(xué)模型.文獻[3]介紹了時滯隨機最優(yōu)控制問題的最大值原理，并應(yīng)用其原理解決了生產(chǎn)消費問題，但未求出模型的一般解.本文考慮了一類具有弱隨機干擾的廣告-銷售反應(yīng)模型，在研究的過程中發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)的HJB方程的系數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)情形，該問題又涉及到當(dāng)前熱門的奇異攝動理論中不連續(xù)系數(shù)問題，從而形成奇異攝動問題中一類既有意義又困難的題目，文獻[4-8]對此類問題中的一些模型進行了研究.本文應(yīng)用隨機最優(yōu)控制原理得到關(guān)于廣告投入的微分方程，利用奇異攝動漸近展開的方法得到廣告投入的形式漸近解，最后給出了一致有效估計，為實際的廣告決策提供了數(shù)學(xué)工具.

1 模型建立

設(shè)x滿足如下的隨機微分方程：

dx=[ρμ(1-x)-δx]dt+εσdω

(1)

其中，x為產(chǎn)品在整個潛在市場中所占據(jù)的份額，ρ為廣告反應(yīng)常數(shù)，μ為廣告投入率，δ為衰退常數(shù)，σ為風(fēng)險因子，ω為標(biāo)準(zhǔn)的Brown運動，ε>0為小參數(shù).

模型(1)的最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)是

(2)

上述最優(yōu)控制的哈密爾頓函數(shù)為H=e-rt(αx-μ)+Vxf，其中f=[ρμ(1-x)-δx]，

則上述問題的最優(yōu)均衡控制策略為

(3)

(4)

式(1)和式(2)的HJB方程[9]為

(5)

(6)

(7)

2 形式漸近展開

(8)

則上述方程組容易解得

(9)

(10)

ΠV1N=CΠNeλ1ρ1,(N≥0)

(11)

從表1可以看出，在扭動運動階段GMs評估為PR的早產(chǎn)兒發(fā)展為行為多動沖動或攻擊性行為等行為障礙性疾病的比例較高，尤其是在扭動階段連續(xù)出現(xiàn)PR，后期發(fā)展為多動沖動或攻擊性行為的比例較高，而在足月后扭動階段前轉(zhuǎn)歸成N的早產(chǎn)兒，發(fā)展）成為多動沖動或攻擊性行為的比例低。

RV1N=CRNeλ2ρ2,(N≥0)

(12)

(13)

(14)

(15)

下面來確定上述解中的常數(shù).

由上式及式(9)，式(11)可解出CΠ0.

此時，V10,V20中的所有常數(shù)已確定.重復(fù)上述步驟可得解中的所有常數(shù).

3 一致有效估計

(16)

證明 分別將式(16)代入式(6)、式(7)中第1式得：

(17)

4 結(jié)束語

本文建立了關(guān)于廣告投入的隨機最優(yōu)控制模型，應(yīng)用隨機最優(yōu)控制原理得到最優(yōu)廣告投入的微分方程.該微分方程其系數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)的情形，這成為本文研究的一個難點.本文首先將原問題分解為兩個不同的部分，分別應(yīng)用奇異攝動漸近展開的方法得到形式漸近展開式，再應(yīng)用匹配法進行連接得到原問題的形式漸近展開式，然后根據(jù)最大值原理得到了上述形式漸近解的一致有效性.從而得到了模型的求解方法，這為實際的廣告決策提供了數(shù)學(xué)工具，對進行銷售管理有一定的指導(dǎo)意義.

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Singular Perturbation Solution of a Class of Stochastic Optimal Control Model for Advertising

WANG Pan, BAO Liping

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

A class of stochastic singular perturbation optimal control problem is discussed in this paper. Using the Kolmogorov equation, Hamilton-Jacobi-Bellman equation of the stochastic singular perturbation optimal control problem for advertising investment is achieved. Using the singular perturbation asymptotic expansion method, the formal asymptotic expansion is obtained. And the uniform valid estimation of the formal asymptotic expansion is derived.

advertising investment; optimum control; singular perturbation; asymptotic expansion; uniformly valid estimation

10.13954/j.cnki.hdu.2017.02.022

2016-06-15

王攀(1990-)，女，山西朔州人，應(yīng)用微分方程.通信作者：包立平副教授，E-mail:baolp@hdu.edu.cn.

O175.2

A

1001-9146(2017)02-0099-04