|x|α(0<α<2)在Newman結(jié)點組下的漸近性質(zhì)

王徐煒，胡曉敏，查星星

(杭州電子科技大學數(shù)學研究所,浙江 杭州 310018)

|x|α(0<α<2)在Newman結(jié)點組下的漸近性質(zhì)

王徐煒，胡曉敏，查星星

(杭州電子科技大學數(shù)學研究所,浙江 杭州 310018)

在前人研究的Newman型有理插值函數(shù)對|x|逼近效果的基礎(chǔ)上，考慮了Newman-α型有理算子在Newman結(jié)點組上對|x|α的逼近效果，并給出了確切的漸近公式.該結(jié)果不僅包含了謝庭藩和周頌平的研究結(jié)果，而且優(yōu)于結(jié)點組取作等距結(jié)點的情形.

Newman-α型有理算子;Newman結(jié)點組;漸近公式

0 引言

1 定義及引理

2 結(jié)論及證明

證明x∈[0,εn]時，有0

應(yīng)用引理1得

進一步計算可得

結(jié)合上式可得

其中，Cα=21-α.

x∈[εn,1]時，化簡|en(x)|得

?j，s.t.εj+1≤x≤εj，j=1,2,…n-1，有：

進一步計算可得

同理可得

因此結(jié)合上式有

所以

綜上所述，x∈[0,1]時，有：

(1)

故由上式可得

因此，得到：

(2)

其中，Cα=21-α.

結(jié)合不等式(1)和(2)，定理得證.

3 結(jié)束語

[1]BERNSTEIN S. Sur la meilleure approximation de |x| par des polynomes de degres donnes[J]. Acta Mathematica， 1913，37(1):1-57.

[2]NEWMAN D J. Rational approximation to|x|[J]. The Michigan Mathematical Journal， 1964，11(1):11-14.

[3]VYACHESLOV N S. Uniform |x| approximation by rational function[J]. Doklady Akademii Nauk Sssr， 1975，220(3):512-515.

[4]STAHL H. Best uniform rational approximation of|x|on [-1,1][J]. Russian Academy of Science Sbornik Mathematics， 1992，76(2):85-118.

[5]XIE T F， ZHOU S P. The asymptotic property of approximation to |x| by Newman's rational operators[J]. Acta Mathematica Hungarica， 2004，103(4):313-319.

[6]張慧明，段生貴，李建俊.|x|α(1≤α<2)在等距結(jié)點的有理插值[J].華中師范大學學報(自然科學版)，2016，50(1):21-23.

[7]ZHAN Q， XU S S， ZHANG Y H. Asymptotic property of approximation toxαsgnxby Newman type operators[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series，2010，26(4):617-624.

The Asymptotic Property of Approximation to |x|α(0<α<2) at Newman Nodes

WANG Xuwei, HU Xiaomin, ZHA Xingxing

(InstituteofMathematics,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Based on previous researches about the approximation effect of the Newman rational interpolation function approximating to|x|, this paper considers the approximation effect of Newman-αtype rational operator approximating to|x|α, which is based on the Newman nodes. And it gives the precise asymptotic formula, which include the research result of Xie Tingfan and Zhou Songping. What’s more, it’s better than which of the nodes taking for the equidistant nodes.

Newman-αtype rational operator; Newman nodes; asymptotic formula

10.13954/j.cnki.hdu.2017.02.021

2016-06-02

王徐煒(1992-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，函數(shù)逼近論.通信作者：胡曉敏副教授;E-mail：mathhuxm@163.com.

0174.41

A

1001-9146(2017)02-0095-04